定积分的应用

1．求平面图形的面积

（i）曲线围成的曲边梯形面积是

.

事实上，由所求平面图形面积S分布在区间[a,b]上.

（1）选取，

.

（2）.

注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.

（ii）特别地围成的平面图形面积S为

.

（iii）同理所围成的平面图形面积S为

.

（iv）特别地所围成的平面图形面积S为

.

如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公式.

求平面图形的步骤：

（1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。

2．根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。

例1 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。

解由

即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直

线，曲线及直线所

围成（图5-7），其面积

.

本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1及S2，分别计算S1，S2，相加才得

读者可以计算一下，这样做就复杂多了。

例2计算曲线及直线所围成的平面图形面积。

解曲边形如图5-8所示，故有

注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。

图

5-8 图5-9

例3计算椭圆所围成的平面图形面积。

解由于椭圆关于Ox轴及Oy轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形面积S（图5-9）. 由，解得，故上半椭圆的方程是

从而

特别地，当时，得圆的面积

注：计算平面图形面积时，尽可能利用图形的对称性，以简化计算。

例4求曲线所围成平面图形的面积.

解解此方程，得

当即时，y1及y2才有实数值。设

则所求的面积为

注：利用几何意义知表示半个圆面的面积。

2．求曲边扇形的面积

曲线与射线围成的曲边扇形的面积，证所求的面积分布在区间上。

（1）取

（把dS看成扇形面积）

（2）

例1由下列极坐标方程式所表曲线围成的面积S，方程中的

（1）（双纽线）；

（2）（心脏形线）；

（3）（三叶线）；

解（1）由图形关于x轴与y轴对称，只需计算

第一象限面积S1，再乘以4即可，由在第一象限

时，，知，即S1看成与所围成，故

（2）由图形关于x轴对称，在第一，二象限，

当时，需求，

知，故所求面积为

.

（3）由图形知，所求面积S为第一象内面积S1的3倍，

由时，要求，由于，

知，即时，，于是

例2变为极坐标，求曲线（笛卡尔叶形线）（a>0）围成的面积。

解由代入方程有

当时，，且当时，

所以曲线位于第一象限围成的面积，即为所求的面积。

3．立体的体积

（a）设Ω为一空间立体，它夹在垂直于Ox轴的两平面x=a与x=b之间（a），在区间[a,b]上任意一点x处，作垂直于Ox轴的平面，它截得立体Ω的截面面积，显然是x的函数，记为A（x）连续，，则立体的体积V为

证所求的立体V分布在[a,b]上（1）取区间

（2）

（b ）曲线（连续），Ox轴及直线x=a, x=b所围成的曲边梯形绕Ox轴旋转而成的旋转体

的体积Vx 为

证把旋转体看成夹在两平行平面x=a, x=b

之间，那么在[a,b]上任意一点x处作平行两底面的

平面与立体相截，截面积为

因此

同理，曲线，Oy轴及直线y=c, y=d所围成的曲

边梯形绕Oy轴旋转而成的旋转体的体积Vy 为

（c）曲线（连续）Ox轴及直线x=a, x=b所

围成的曲边梯形绕y轴旋转所成立体的体积Vy为

证所求的立体Vy分布在区间[a,b]上

（1）取，

由是的高阶无穷小，知是的线性主部，即

（2）

（3）

例1 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积

（1）绕Ox轴（2）绕Oy轴

解（1）

（2）

例2.求曲线与x轴围成的封闭图形绕旋转所得的旋转体的体积。

解

该曲线于x轴交于，由该平面

图形关于y轴对称。

且曲线上点到

的距离为曲线上点到的距离为于是

4．旋转体的侧面积及表面积

求由连续曲线轴及直线所围平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的侧面面积（图5-28）。

将所求旋转体的侧面积看成分布在区间上。

（1）选取区间，把该区间的侧面积看成上底半径为

，下底半径为，母线为曲线弧长的圆台的侧面积，因此，由圆台侧面积公式有

即又可简单地看作一圆柱体的侧面积，

该圆柱体的底圆半径为，高

（2）得微分

（3）计算积分

注意：圆柱体的高不能看成，否则，由于

一般情况下不为0（当时，），即因此，我们计算

的近似值时，要利用已知的关系，尽可能的精确。

例1. 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。

解设切点为，则过原点的切线方程为再以点代入，解得，则上述切线方程为

由曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积

由直线段绕z轴旋转一周所得到的