等腰三角形的存在性问题

专题训练一等腰三角形的存在性问题

专题攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况。

已知腰长（两定一动）：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；

已知底边（两定一动：）画底边的垂直平分线。

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

几何法一般分三步：分类、画图、计算。

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。

针对训练

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标。

2、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0).

(1)、求A、B的坐标;

(2)、求抛物线的解析式;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?

若存在,求出符合条件的Q点坐标；若不存在,请说明理由.

3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动。在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值。

A B C

D

P

E

4、如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．

5、如图所示，矩形ABCD 中，AB=4，BC=43，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中， 使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）个。

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；

（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．

7、如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

6．（10南通27）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12

y m

=

，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？

两年模拟

7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；

（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．

8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）

如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．

（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；

（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物

线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等

腰三角形？

若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

自编原创

9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ． （1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；