高一数学第一节知识点

高一数学第一节知识点

一、函数及其表示方法

在高一数学中，我们首先要学习的是函数及其表示方法。函数是数学中的一种基本概念，可以理解为具有一定规律的输入和输出之间的关系。函数可以用符号、图像以及函数式来表示。

1. 函数的符号表示

函数通常用小写字母来表示，比如f(x)，g(x)等。其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)表示函数对应的因变量。

2. 函数的图像表示

我们可以将函数的输入和输出的对应关系用图像来表示。一般情况下，我们将自变量x作为横坐标，函数值f(x)作为纵坐标，将这些点连接起来，形成函数的曲线。

3. 函数的函数式表示

函数可以用函数式的形式来表示，例如：

- f(x) = 2x + 3

- g(x) = x^2 - 1

二、函数的性质

了解函数的一些基本性质对于我们解题非常重要。下面是几个

常见的函数性质：

1. 定义域和值域

函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合。而值域则是

函数的所有可能输出值构成的集合。

2. 奇偶性

对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，

则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。

3. 单调性

函数的单调性可以分为增函数和减函数。如果对于定义域内的

任意两个数x1和x2，当x1 < x2时，恒有f(x1) < f(x2)，则函数是

增函数；如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1 < x2时，恒有f(x1) > f(x2)，则函数是减函数。

函数的零点是指使得函数取值为0的自变量值。函数的极值是在定义域上使函数取得最大值或最小值的点。

三、一元二次函数

在高一数学中，我们还要学习一元二次函数及其性质。一元二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且

a≠0。

1. 顶点及轴对称

一元二次函数的图像是一个抛物线，其顶点是抛物线的最高点或最低点。顶点的横坐标可以用公式x = -b / (2a)来求得，纵坐标则是将横坐标代入函数式中得到的值。抛物线还具有轴对称性，即顶点在函数图像的中心轴上。

2. 开口方向

函数的开口方向由二次项a的正负号决定。当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

一元二次函数的零点是使得函数值为0的自变量值。零点可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来计算。判别式Δ = b^2 - 4ac可以帮助我们判断一元二次函数有几个零点以及抛物线与x轴的关系。

四、函数图像的平移与伸缩

最后，我们要学习函数图像的平移与伸缩的概念和方法。通过对函数的自变量和函数式进行变换，可以改变函数图像的位置和形状。

1. 水平平移

将函数图像沿横轴方向平移，可以用函数式f(x±a)来表示。当a > 0时，函数图像向左平移a个单位；当a < 0时，函数图像向右平移|a|个单位。

2. 垂直平移

将函数图像沿纵轴方向平移，可以用函数式f(x)±a来表示。当a > 0时，函数图像向上平移a个单位；当a < 0时，函数图像向下平移|a|个单位。

3. 水平伸缩

将函数图像沿横轴方向进行伸缩，可以用函数式f(kx)来表示。当k > 1时，函数图像沿横轴方向收缩；当0 < k < 1时，函数图像沿横轴方向拉伸。

4. 垂直伸缩

将函数图像沿纵轴方向进行伸缩，可以用函数式kf(x)来表示。当k > 1时，函数图像沿纵轴方向拉伸；当0 < k < 1时，函数图像沿纵轴方向收缩。

通过以上的讲解，我们初步了解了高一数学中第一节课的几个重要知识点，包括函数的表示方法、函数的性质、一元二次函数以及函数图像的平移与伸缩。掌握这些基础知识对于我们后续的学习和解题都具有重要的意义。希望同学们能够认真学习并灵活运用这些知识，打好数学的基础，为接下来更深入的学习打下坚实的基础。