中考数学：2015（浙江）杭州卷压轴题

中考数学：2015（浙江）杭州卷压轴题

题目：

方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车，从M地出发沿一条公路匀速的前往N地。设乙的行使时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示。方成思考后发现了图1中的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5h后与乙相遇。

请你帮助方成同学解决以下问题：

1、分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；

2、当20＜y＜30时，求t的取值范围；

3、分别求出甲，乙形式的路程S（甲），S（乙）与时间t的函数表达式，并在图2中画出图象；

4、丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路，匀速的前往M地。若丙经过4h/3与乙相遇。问，丙出发多少时间与甲相遇。

分析：

又是一道几何与代数结合的应用题，有很多信息通过图像透露。兵来将挡，我们仍然坚持跟着问题找条件。

1、题目1要求直线的解析式。我们只要知道两点的坐标，或者一点的坐标以及直线的斜率，都可以求得直线的解析式。本题中，我们已知B（1.5，0），C（7/3，100/3），D（4，0），所以直线BC和直线CD的解析式易得。

2、题目问题很简洁，但实际上题目2的求解是整个题目求解的关键：y的解析式是什么？根据题意，y是甲、乙两人间的距离，即，

•当甲的运动路程＜乙时，y=乙的运动路程－甲的运动路程；

•当甲的运动路程≥ 乙时，y=甲的运动路程－乙的运动路程。

这样，若要求解y的解析式，需要知道甲、乙的运动路程的解析式。根据题意，

•甲乙都是匀速运动，且

•乙先出发1h，甲出发0.5h后与乙相遇。

所以，不难判断甲的运动速度大于乙：当甲乙相遇后，甲将超过

乙，直至到达N地。那么甲乙之间的位置变化将依次经历以下几个阶段：

•甲未出发，乙独自运动：此时S（甲）≡0。y=S（乙），甲乙距离不断拉大，对应线段OA；

•甲已出发，直至甲乙相遇：y=S（乙）－S（甲），甲追赶乙，距离不断缩小，对应线段AB；

•甲超过乙，直至甲到达N地：y=S（甲）－S（乙），甲乙距离不断拉大，对应线段BC；

•乙独自运动，直至到达N地。此时S（甲）≡MN。y=MN－S （乙），甲乙距离不断缩小，对应线段CD。

注意，上述分析虽然正确，但不是严谨的数学论证。我们只是从物理运动的角度去分析，事实上，目前我们仍然未知S（甲）和S（乙）的表达式，所以无法严格证明y在每个阶段所对应的线段。这段论述只是帮助去理清楚思路，下面按照严谨的数学推导去分析、求解本题。

甲、乙两人均为匀速运动，所以，在他们到达N之前，路程=速度×耗时。甲出发的时间为1h，所以甲的运动耗时为乙的运动耗时t减去1，即t-1。记甲的速度为a，乙的速度为b，则

•S（甲）=a×（t－1），0≤S（甲）≤MN；

•S（乙）=b×t，0≤S（乙）≤MN。

乙耗时4h到达N，所以MN=4b。那么甲到达N时，由a×（t－1）=4b，可知此时t=1+4b/a。下面我们求解y的表达式。

•当t≤1时，甲未运动，S（甲）≡0，S（乙）=b×t，所以y=bt。

•当t≥1时，甲开始匀速运动，直至到达N地。这段时间内，S （甲）=a（t－1）。根据a×（t－1）=4b，可知t=1+4b/a时，甲到达N。

o1≤t≤1.5时，根据题意“甲出发0.5h后与乙相遇”，可知此时甲处于追赶阶段，S（甲）≤S（乙），所以y=S（乙）－S（甲）=（b－a）t+a。由于y（1.5）=0，可得a=3b，由此从严格的数学角度得知甲的速度大于乙。所以，从t=1.5开始，甲将一直领先于乙。甲到达N之前，S（甲）=a×（t－1）；当甲到达N地后，S（甲）

≡MN。由a=3b，可知1+4b/a=7/3，即t=7/3时，甲到达N地。

o 1.5≤t≤7/3时，S（甲）=a（t－1），S（乙）=bt，y=（a－b）t－a。

o当t≥7/3时，S（甲）≡MN，y=MN-S（乙）=4b-bt。

题目中告诉我们，t=7/3时，y=100/3，由此可以得到a=60，b=20。这样，我们得到y的表达式，如下：

•0≤t≤1时，y=20t；

•1≤t≤1.5时，y=-40t+60；

•1.5≤t≤7/3时，y=40t-60；

•7/3≤t≤4时时，y=－20t+80；

•t≥4时，y=0。

这样，根据20＜y＜30可得t的范围。

3、上面的分析中，我们已经得到S（甲）和S（乙）的解析式，如下

•S（甲）=60t-60，1≤t≤7/3；0≤t≤1，S（甲）=0；t≥7/3时，S（甲）=80；

•S（乙）=20t，0≤t≤4；t≥4时，S（乙）=80

4、题目问，丙和甲何时相遇？记这个时间点为t，则此时S（甲）+S（丙）=80；同样，当乙和丙相遇时，S（甲）+S（丙）=80。所以，如果能知道S（丙）的表达式，这个问题可得解。当t=4/3时，S （乙）=80/3，所以此时S（丙）=160/3。由于丙为匀速，从而不难得到丙的速度=（160/3）/（4/3）=40，进一步可得S（丙）=40t。于是，甲丙相遇时间可知。

解题：

1、已知B（1.5，0），C（7/3，100/3），D（4，0），所以直线BC的解析式为y=40t-60，直线CD的解析式为y=-20t+80；

2、记S（甲）、S（乙）为甲、乙的路程，记a、b为甲、乙的运动速度。由于甲乙都是匀速运动，根据题意，S（甲）=a（t－1），S （乙）=bt，MN=4b，显然S（甲）与S（乙）都小于等于4b。t=1.5时，甲乙相遇，所以1.5b=0.5a，即a=3b。

由于甲的速度大于乙，并且甲、乙均是匀速运动，所以，有如下关系：

•甲未出发时，y=S（乙）=bt，0≤t≤1；

•甲出发，直至甲追上乙，S（乙）≥S（甲），所以y=S（乙）－S（甲）=－2bt+3b，由题意1≤t≤1.5；

•甲追上乙，直至甲到达N地，S（甲）≥S（乙），所以y=S（甲）－S（乙）=2bt－3b，1.5≤t≤T甲。其中，T甲为甲到达N地的时间，所以3b（T甲-1）=4b，可得T甲=7/3；

•乙独自运动，直至到达N地，y=MN－S（乙）=－bt+4b，7/3≤t≤4。

注意到题目图示，t=7/3时，y=100/3。所以2b×7/3－3b=100/3，可得b=20，a=60。由此可知y的解析式如下：

•y=20t，0≤t≤1；

•y=-40t+60，1≤t≤1.5；

•y=40t-60，1.5≤t≤7/3；

•y=－20t+80，7/3≤t≤4；

•y=0，t≥4。

据此，求解20＜y＜30，可得2＜t＜9/4，或5/2＜t＜3；

3、根据第二问的解答，可知甲的路程

•S（甲）=0，0≤t≤1；

•S（甲）=60t－60，1≤t≤7/3；

•S（甲）=80，t≥4。

以及乙的路程

•S（乙）=20t，0≤t≤4；

•S（乙）=4，t≥4。

图像如下，为了区别，用双线条表示S（甲）4、记丙的速度为c，则当乙、丙相遇时，乙的路程与丙的路程和为80，即有

20×4/3+c×4/3=80，

从而可知c=40。记甲、丙与T丙时相遇，则此时甲的路程和丙的路程和为80，即有