差分方程与微分方程的求解

求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：

11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0

x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪

+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

则令31120

1112-⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.

则231121

(2)(1)01

12λ

λλ

λλλ

---=

-=--=--A E

可解得1232,2,1λλλ===

设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭β

同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

β

设方程组的通解为：111222333()n

n

n

x n c c c λλλ=++βββ

代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===

得到121233

22122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

可得123

120c c c ⎧

-=

⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；

综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

2. 求差分方程之通解：

2

(4)2(

2)()32n

x n x n x n n n

+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：4

2

210λλ-+= 即2

2

(1)0λ-=

从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：

()(1)()1()n n x

n A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()n

x

n A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2

(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n

与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.

从而原方程具有如下的特解形式：

221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++

将特解形式代入原方程，可得001012001481

192240224488391

4890

A A A A A A

B B B =⎧⎪+=⎪⎪

++=-⎨⎪=⎪

⎪+=⎩，从而0120114816

124194881A A A B B ⎧

=⎪⎪

⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪

⎪=-⎪⎩

综上，原方程的通解为

22111148

()()()(1)()()2()48624981

n n x n x

n x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：

2112

122121211

20d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x t

t t x

x x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩

解：方法一：降阶法

令13d d x x t =，则原方程组可表示为：1

33231223

12d d d d 320d d d 20d x x t x

x x x x t

t x x x x t ⎧=⎪⎪

⎪++++=⎨⎪⎪

++-=⎪⎩

化简得：1

321233

23d d d 2d d 22d x x t x

x x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩

它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

A ，

特征方程是012

11(2)(2)(1)00

2

2λ

λλλλλλ

--=---=+-++=---A E

特征根为1232,2,1λλλ=-==-

求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫

⎪ ⎪=- ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

T .