最新固体物理一维单原子链
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03-02一维单原子链--(1)幻灯片
22
a / m q VEla q stic VElastic a /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
q
a
2 /msin(aq)
2
max 2 /m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
n Aei(tna)q
2 q
格波波矢 qv 2 nv
格波相速度
vp
q
不同原子间相位差 n'a qna (n q'n)aq
m2
a
频率极小值 min0
频率极大值 max 2 /m
0 q 02 /m
a
只有频率在 02 /m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 q0, a
2 sin(aq)
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
到环链的循环性
设第n个原子的位移 n
再增加N个原子之后
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
31一维单原子解析
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑， 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
3.1一维单原子
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相 同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动 以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei (t naq )
—— 格波的波形图
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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e
i[ 2n )]
=1
e cos x i sin x
ix
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 2 sin aq m 2
两种波矢的格波中，原子的振动完 全相同
- 2a -
a
0
a
2 a
波矢的取值
波矢q的周期:
2 / a
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质
基本概念
1、晶格振动：晶体中的原子、离子实际上不是静止 在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为 晶格振动；
2、关于热学性质(热容、热膨胀、热传导)：对晶格 振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为 固体比热容服从杜隆—珀替定律；1907年爱因斯坦提出 固体比热容的量子理论；1912年德拜提出固体的比热容 理论，把固体当成连续介质处理；此后，玻恩及其学派 建立与发展了比较系统的晶格振动理论。
固体物理一维单原子链ppt课件
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
x1
2h1 N1a1b1
x1
h1 N1
x2
2h2 N 2 a2b2
x2
h2 N2
x3
2h3 N3a3b3
x3
h3 N3
波矢空间一个点占据的体积
11、一维原子链(第二章)
则第n个原子受到的力为：
un2
un1
un
un1
un 2
f n ( un un1 ) ( un un1 ) ( un1 un1 2un )
第n个原子的牛顿运动方程为：
一维原子键振动
d 2 xn m 2 ( un1 un1 2un )(n 1,2, N )(1) dt
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第2页
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因是原子间存在着相互作用力。对于
一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格
振动的基本特点。
把一些主要方法和结论推广到三维情况。
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第3页
一、一维简单晶格
为了简单起见，采用简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力， 正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。 设两原子间的互作 用势为U（r）,这两原 子间的互作用力为：
a
dU f dr
一维原子键振动
一般条件下，原子作微小振动， Un＜＜a， 为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：
子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变
2
的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。
第三章
晶体振动与晶体的热学性质
第 13 页
格波的波速
在长波区域，波矢
q 2
qa qa sin 2 2
(q ) 2 m a q m
格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不 同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中
一维单原子链有 支格波,且是 波(光学或声学)。
一维单原子链有支格波,且是波(光学或声学)一维单原子链是指所有原子都位于同一条直线上的晶格结构。
在这样的结构中，支格波是一种特殊的波动形式，它在晶格内传播，由于晶格的周期性结构而呈现出特定的性质。
支格波可以分为光学支格波和声学支格波两种类型，它们分别对应着不同的波动性质和传播特点。
在一维单原子链中，光学支格波是指在晶格中原子的振动与电磁波的耦合现象。
这种耦合导致了支格波在晶格中的传播，其频率范围通常高于声学支格波。
光学支格波的频率与晶格的结构有关，通常在布里渊区的边界处出现，对应着晶格的高频振动模式。
光学支格波通常具有较高的能量和传播速度，其在晶体中传播时能够产生材料的光学性质变化，例如光学吸收、光学色散等现象。
另声学支格波是指晶格中原子的振动与物质的机械性质耦合所形成的波动现象。
声学支格波的频率范围通常低于光学支格波，对应着晶格的低频振动模式。
声学支格波在晶格中的传播速度通常较慢，且具有较低的能量。
它们在晶体中的传播会导致声学性质的变化，例如声子散射、声子导热等现象。
对于一维单原子链中的支格波，其理论描述和实验观测都具有重要意义。
从理论上讲，通过研究支格波的频谱和传播特性，可以深入理解晶格动力学和固体材料的特性。
从实验上讲，通过光学或声学手段观测支格波的传播行为，可以验证理论模型，并且为材料科学和物理学的研究提供重要数据。
一维单原子链中的支格波是一种具有特殊传播性质的波动现象，包括光学支格波和声学支格波两种类型。
它们对应着晶格中的不同振动模式，具有重要的理论和实验意义。
通过深入研究支格波的特性，可以更好地理解固体材料的性质和行为，为材料科学和物理学的发展贡献重要的理论和实验成果。
在我看来，一维单原子链中的支格波是固体物理学中非常有趣且具有挑战性的研究课题。
通过对支格波的深入探索，我们可以揭示材料的微观结构和性质，为材料设计和应用提供新的思路和方法。
支格波的研究也可以深化我们对波动理论和晶格动力学的理解，拓展物理学的研究领域。
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
03-02一维单原子链讲解
Solid State Physics
固
体
物
能量本征值
理
本征态函数
—— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
西 格波的研究
南 科
—— 先计算原子之间的相互作用力
技 大
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
学
Solid State Physics
固
体 物
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原
理 子间距a
—— 原子之间的作用力
Solid State Physics
固 体 物 理
玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等 价的，每个原子的振动形式都一样
实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长， 西 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
南 科 技 大 学
Solid State Physics
格波
格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
西
南 科
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
技
大
学
Solid State Physics
固 体 物 理
—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值
—— 第一布里渊区
西
南
科 技
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
大 学
—— 其它区域不能提供新的物理内容
固 体 物 理
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
西
南
科
技
大
一维单原子链振动
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。
它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2 n-1
n
n+1 n+2
fn n1 n1 2n
第n个原子的运动方程
aa
n-2
n-1
n
n+1
n+2
m
2un t 2
n1 n1 2n
：力常数
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律 能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 1 mol晶体的E 定 3容N比kBT热 但实际上，低温下比热随温度CV的,m降 低3N而kB降低3N。0kB
a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态
例如 波长
q1
2a
2 1
, q2
5
2a
2 2
, q2
q1
2
a
1
4a, 2
4 5
3-1一维单原子链振动
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的 位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a) 发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
2 l a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态 例如 波长
2 5 2 2 q1 , q2 , q2 q1 2a 1 2a 2 a
1 4a, 2 a
5
4
格波1(Red)相邻原子位相差
aq1 / 2 格波2(Green)相邻原子位相差 aq2 2 / 2
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律
能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 E 3Nk BT 1 mol晶体的定容比热 CV ,m 3Nk B 3N 0 k B 但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。
1 sin aq m 2
w/(4/m)
1/2
2
0.6 0.4 0.2 0.0
解得色散关系——波的频率-波矢关系 真空中光波 = cq，空气中声波 = vq 而格波的色散关系是非线性的。
材料设计—14-一维单原子链振动
这个结论与连续介质波动方程的解一致： 所以一维单原子链中的声速为： 长波极限下，波长很长，很显然原子的不连续性在这种长 波下已经不明显。晶体就类似于一个连频率ω和波矢q联系起来，称为格波的色散关系。 格波的群速度定义为：
它是介质中能量传输的速度。
同时ω是倒空间的周期函数：
所以 h为整数，上式就是波恩-卡曼边界条件 根据波恩-卡曼边界条件，波矢q只能取分立值：
波矢q在第一布里渊区均匀分布，且只能取N个值。
N是元胞数，通常很大。所以其实波矢q的数目也是很 大的，近似上是连续的。
定义单位q空间的波矢数为波矢密度：
独立波矢数 = N （元胞数） 波矢密度=
波恩-卡曼条件下，所有的独立模式构成 正交、完备集:
虽然晶体是有限的，但其中的原子数目仍然是非 常大的，可以认为是无穷多。为此波恩-卡曼提出 了周期性边界条件，来避免两端原子与中间原子 的区别。
设想把含有N个元胞的原子链，将它首尾相连，构 成一个环。如果N足够大，则这个环的半径非常大 ，波在这个环中的传播，等价于波在一个无限长 原子链中传播。
第1个元胞与第N个元胞相连接，避免了实际中第1 个和第N个元胞处在边界上这个难处理的情况。 这要求原子指标n增加到n+N时，振动完全复原。 数学上要求系统的振动满足：
32一维单原子链振动一运动方程及其解考虑一个最简单的晶格模型原子质量m间距a原子沿着链的方向振动其偏离平衡位置的位移为u类似于胡克定理相互作用力与原子位移差成正比则第n个原子受到合力为
§3.2 一维单原子链振动
一、运动方程及其解
考虑一个最简单的晶格模型
原子质量M，间距a，原子沿着链的方向振动， 其偏离平衡位置的位移为un：
我们以倒空间的波矢q为横坐标，而把每个q对应 的频率ω为纵坐标，画出一维简单晶格的色散关系 ：
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。