小学奥数精讲第二讲 圆柱与圆锥
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3
5. (1)一个圆柱的高如果减少 2 厘米,它的侧面积就减少 50.24 平方厘米,则此时它的体积会减少多少 ( π 取 3.14) ?
\1/
(2)已知:如图,在长为 35 厘米的圆筒形管子的横截面上,最长直线段为 20 厘米,求这个管子的体积 ( π 取 3.14). (3)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表 面积大 2008cm2 ,则这个圆柱体木棒的侧面积是多少( π 取 3.14)?
2 π r h 2 3.14 502 3152.56(cm2 ) .
6. 一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为 6.28 立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（π 取 3.14）.
【答案】8
【解析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即
6.28＝3.14×边长×
度为： 2700 300 30 10 分米.
（2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底面积为： 300 30 2 240 平方分米，则水面高度为： 2700 240 11.25 平方分米.由于在此种情况下，已超 过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为 2700 330 2 3360 立方分米.则高应为
【解析】 18 3 22 3 5 1 45 （立方厘米）
3
4. 某商店用大号圆锥形纸筒盛装爆米花来卖,纸筒的高度为 15cm,底面半径 4cm,那么纸筒的体积是 多少?如果爆米花的平均体积是 0.4cm3,那么这个纸筒从体积看理论上可以装多少爆米花?实际上装 得了吗,为什么( π 取 3.14)? 【答案】628 【解析】 1 π 42 15 251.2 cm3,共可以装 251.2 0.4 628 粒;装不了,主要由于爆米花间缝隙很大.
\2/
8. 如图，从棱长为 10 的立方体中挖去一个底面半径为 2，高为 10 的圆柱体后，得到的几何体的表 面积是______，体积是______．（π 取 3）
【答案】 696 ， 880 【解析】表面积为 6 10 10 2 2 310 3 22 2=696 ，体积为10 10 10 3 22 10=880 .
(A)
(B)
(C)
【答案】B 【解析】由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长.设底座的一边长为 2a，则塔的 上部的体积为 ×π ×27，底座的体积为 4 ×27，所以，塔的上部的体积是底座的体积的 ， 答案为 B.
15. 有两个体积之比为 5：8 的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和
\4/
3360 300 11.2 分米； （3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为 12 分米.
14. 世界上最早的灯塔于公元 270 年，塔分三层，每层都高 27 米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱 柱，上部呈正圆锥.上部的体积是底座的体积的______.
9. 图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度 为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长?（π 取 3.14）
【答案】71.435 米
【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这
里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
20厘米
35厘米
A
C
B
O
第（2）题图
第（3）题图
【答案】（1）100.48 （2）10990 （3）3152.56
【解析】(1)先算半径 r 50.24 2 π 2 4 ,再算体积减少量 π 42 2 100.48 立方厘米.
(2)整体代入.圆筒的底面积为 OA2 OC2 (OA2 OC2 ) AC2 ( AB)2 ,所以这个管子的体积 2
8
4 (单位：厘米)
【答案】100.48 【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出， 瓶中的水构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分 之和，所以瓶子的容积为： π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48 (立方厘米)．
2
2 4
4
去年粮囤底面积是
22
，高是 1． ( 32
22 2) (
1) 4.5. 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5
4
4
4
倍．
12. 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是______ 立方厘 米．( π 取 3.14 )
10 6
宽同时增加 6，其面积增加了 114．那么这个长方形的面积为______．
【答案】40
【解析】设长方形长为 a，宽为 b ，因为两个圆柱的侧面积的展开图为相同的长方形，而体积比却
不同，说明一个是以
a
为高，以
b
为底面周长，而另一个正好相反．一个圆柱的体积为
b 2
2
a
，
另
一
个
圆
柱
的
体
油
水
【答案】7 【解析】铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了 128 平方厘米，“水层”高度变成了 9 厘米，说明 9 厘米高的铁块没入水中，3 厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是 3 8 8 192 立方厘米， 增加的高度是192 16 12 1厘米．因此“油层”的高度是 7 厘米．
积
为
a 2
2
b
.所以其体积比为
b 2
a 2
2
a
2
b
5 8
，得到
b a
5 8
.另外，又知道
a 6 b 6 6 6 114 （见 下图）， 得到 a b 13 ，所以 a 8,b 5 ， 长方形面 积为：
因此，纸的长度
：
纸卷侧面积 纸的厚度
3.14 102 3.14 32 0.04
3.14 100 9
0.04
7143.5 (厘米)
所以，这卷纸展开后大约 71.435 米．
10. 有一个足够深的水槽，底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形，原本在水槽里盛有 6 厘米 深的水和 6 厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、8 厘 米、12 厘米的铁块，那么油层的层高是______厘米．
6
6
2
2. 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 48 平方厘米．求这个圆柱体 的表面积是多少?(π 取 3)
4cm
【答案】168 【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短 4 厘米，表面积就 减少 48 平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是 48 平方厘米，所以底面周长是
ab 40 .
a
6
b源自文库
6
\5/
2
13. 如图，一个底面长 30 分米，宽 10 分米，高 12 分米的长方体水池，存有四分之三水，请问：
（1）将一个高 11 分米，体积 330 立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米? （2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米? （3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米? 【答案】（1）10 （2）11.2 （3）12 【解析】(1)若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为： 30 10 9 2700 立方分米，而现在放入的 圆柱的底面积为： 330 11 30 平方分米.将圆柱放入后，除去现在的圆柱即为有水部分，则水面高
边长 2
2
所以(边长) ＝ 6.28 4 8 ，即纸盒的容积是 8 立方厘米. 3.14
7. 有一个沙漏,上下两部分的形状都是半径 10 厘米,高 20 厘米的圆锥. 现在上半部分沙漏已经装满了 沙,如果每小时流出 1 立方分米沙,那么沙漏里的沙全部流到下半部分需要多少小时 (π 取 3) ? 【答案】2 小时 【解析】圆锥的体积为 310 10 20 3 2000 立方厘米,时间为 2000 1000 2 小时.
\3/
深化练习
11. 张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长 3 米宽 2
米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
【答案】4.5
【解析】底面周长是 3，半径是 3 ， ( 3 )2 32 所以今年粮囤底面积是 32 ，高是 2．同理，
是
20 2
2
35
3500
10990
(立方厘米).
(3)根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.
设圆柱体底面半径为 r ,高为 h ,那么切成的两部分比原来的圆柱体表面积大:
2 2r h 2008(cm2 ) ,所以 r h 502(cm2 ) ,所以,圆柱体侧面积为:
48 4 12 (厘米)，侧面积是：12 12 144 (平方厘米)，两个底面积是： 3 12 3 22 2 24 (平
方厘米)．所以表面积为：144 24 168 (平方厘米)．
3.一个圆锥的底面周长是 18 厘米，高是 5 厘米，它的体积为______立方厘米.（π 取 3） 【答案】45
第 2 讲 圆柱与圆锥
同步练习：
1.一个圆柱，底面周长是 23 厘米，高是 6 厘米，求它的侧面积和体积. （π 取 3）
【答案】138 平方厘米， 529 立方厘米 2
【解析】注意题目所求是侧面积和体积. 侧面积只需底面周长乘以高，体积则需要先求出底面半径
r 23 2 3 23 ，再用公式求体积V 3 (23)2 6 ，答案为 138 平方厘米； 529 立方厘米.
5. (1)一个圆柱的高如果减少 2 厘米,它的侧面积就减少 50.24 平方厘米,则此时它的体积会减少多少 ( π 取 3.14) ?
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(2)已知:如图,在长为 35 厘米的圆筒形管子的横截面上,最长直线段为 20 厘米,求这个管子的体积 ( π 取 3.14). (3)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表 面积大 2008cm2 ,则这个圆柱体木棒的侧面积是多少( π 取 3.14)?
2 π r h 2 3.14 502 3152.56(cm2 ) .
6. 一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为 6.28 立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（π 取 3.14）.
【答案】8
【解析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即
6.28＝3.14×边长×
度为： 2700 300 30 10 分米.
（2）若无完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱为有水部分，有水部分的底面积为： 300 30 2 240 平方分米，则水面高度为： 2700 240 11.25 平方分米.由于在此种情况下，已超 过，则圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为 2700 330 2 3360 立方分米.则高应为
【解析】 18 3 22 3 5 1 45 （立方厘米）
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4. 某商店用大号圆锥形纸筒盛装爆米花来卖,纸筒的高度为 15cm,底面半径 4cm,那么纸筒的体积是 多少?如果爆米花的平均体积是 0.4cm3,那么这个纸筒从体积看理论上可以装多少爆米花?实际上装 得了吗,为什么( π 取 3.14)? 【答案】628 【解析】 1 π 42 15 251.2 cm3,共可以装 251.2 0.4 628 粒;装不了,主要由于爆米花间缝隙很大.
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8. 如图，从棱长为 10 的立方体中挖去一个底面半径为 2，高为 10 的圆柱体后，得到的几何体的表 面积是______，体积是______．（π 取 3）
【答案】 696 ， 880 【解析】表面积为 6 10 10 2 2 310 3 22 2=696 ，体积为10 10 10 3 22 10=880 .
(A)
(B)
(C)
【答案】B 【解析】由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长.设底座的一边长为 2a，则塔的 上部的体积为 ×π ×27，底座的体积为 4 ×27，所以，塔的上部的体积是底座的体积的 ， 答案为 B.
15. 有两个体积之比为 5：8 的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和
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3360 300 11.2 分米； （3）再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过 12，有水溢出，此时水面高度应为 12 分米.
14. 世界上最早的灯塔于公元 270 年，塔分三层，每层都高 27 米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱 柱，上部呈正圆锥.上部的体积是底座的体积的______.
9. 图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度 为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长?（π 取 3.14）
【答案】71.435 米
【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这
里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
20厘米
35厘米
A
C
B
O
第（2）题图
第（3）题图
【答案】（1）100.48 （2）10990 （3）3152.56
【解析】(1)先算半径 r 50.24 2 π 2 4 ,再算体积减少量 π 42 2 100.48 立方厘米.
(2)整体代入.圆筒的底面积为 OA2 OC2 (OA2 OC2 ) AC2 ( AB)2 ,所以这个管子的体积 2
8
4 (单位：厘米)
【答案】100.48 【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出， 瓶中的水构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分 之和，所以瓶子的容积为： π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48 (立方厘米)．
2
2 4
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去年粮囤底面积是
22
，高是 1． ( 32
22 2) (
1) 4.5. 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5
4
4
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倍．
12. 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是______ 立方厘 米．( π 取 3.14 )
10 6
宽同时增加 6，其面积增加了 114．那么这个长方形的面积为______．
【答案】40
【解析】设长方形长为 a，宽为 b ，因为两个圆柱的侧面积的展开图为相同的长方形，而体积比却
不同，说明一个是以
a
为高，以
b
为底面周长，而另一个正好相反．一个圆柱的体积为
b 2
2
a
，
另
一
个
圆
柱
的
体
油
水
【答案】7 【解析】铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了 128 平方厘米，“水层”高度变成了 9 厘米，说明 9 厘米高的铁块没入水中，3 厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是 3 8 8 192 立方厘米， 增加的高度是192 16 12 1厘米．因此“油层”的高度是 7 厘米．
积
为
a 2
2
b
.所以其体积比为
b 2
a 2
2
a
2
b
5 8
，得到
b a
5 8
.另外，又知道
a 6 b 6 6 6 114 （见 下图）， 得到 a b 13 ，所以 a 8,b 5 ， 长方形面 积为：
因此，纸的长度
：
纸卷侧面积 纸的厚度
3.14 102 3.14 32 0.04
3.14 100 9
0.04
7143.5 (厘米)
所以，这卷纸展开后大约 71.435 米．
10. 有一个足够深的水槽，底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形，原本在水槽里盛有 6 厘米 深的水和 6 厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、8 厘 米、12 厘米的铁块，那么油层的层高是______厘米．
6
6
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2. 一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 48 平方厘米．求这个圆柱体 的表面积是多少?(π 取 3)
4cm
【答案】168 【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短 4 厘米，表面积就 减少 48 平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是 48 平方厘米，所以底面周长是
ab 40 .
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b源自文库
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13. 如图，一个底面长 30 分米，宽 10 分米，高 12 分米的长方体水池，存有四分之三水，请问：
（1）将一个高 11 分米，体积 330 立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米? （2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米? （3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米? 【答案】（1）10 （2）11.2 （3）12 【解析】(1)若无完全覆盖，现知原长方体水的体积为： 30 10 9 2700 立方分米，而现在放入的 圆柱的底面积为： 330 11 30 平方分米.将圆柱放入后，除去现在的圆柱即为有水部分，则水面高
边长 2
2
所以(边长) ＝ 6.28 4 8 ，即纸盒的容积是 8 立方厘米. 3.14
7. 有一个沙漏,上下两部分的形状都是半径 10 厘米,高 20 厘米的圆锥. 现在上半部分沙漏已经装满了 沙,如果每小时流出 1 立方分米沙,那么沙漏里的沙全部流到下半部分需要多少小时 (π 取 3) ? 【答案】2 小时 【解析】圆锥的体积为 310 10 20 3 2000 立方厘米,时间为 2000 1000 2 小时.
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深化练习
11. 张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长 3 米宽 2
米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
【答案】4.5
【解析】底面周长是 3，半径是 3 ， ( 3 )2 32 所以今年粮囤底面积是 32 ，高是 2．同理，
是
20 2
2
35
3500
10990
(立方厘米).
(3)根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.
设圆柱体底面半径为 r ,高为 h ,那么切成的两部分比原来的圆柱体表面积大:
2 2r h 2008(cm2 ) ,所以 r h 502(cm2 ) ,所以,圆柱体侧面积为:
48 4 12 (厘米)，侧面积是：12 12 144 (平方厘米)，两个底面积是： 3 12 3 22 2 24 (平
方厘米)．所以表面积为：144 24 168 (平方厘米)．
3.一个圆锥的底面周长是 18 厘米，高是 5 厘米，它的体积为______立方厘米.（π 取 3） 【答案】45
第 2 讲 圆柱与圆锥
同步练习：
1.一个圆柱，底面周长是 23 厘米，高是 6 厘米，求它的侧面积和体积. （π 取 3）
【答案】138 平方厘米， 529 立方厘米 2
【解析】注意题目所求是侧面积和体积. 侧面积只需底面周长乘以高，体积则需要先求出底面半径
r 23 2 3 23 ，再用公式求体积V 3 (23)2 6 ，答案为 138 平方厘米； 529 立方厘米.