第4章 频率特性分析

频率特性有幅频特性和相频特性。
频率特性的物理意义
频率特性是线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的稳态 分量的复相量与输入正弦信号复相量之比。 线性定常系统在正弦输入信号作用下： 稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系 统的幅频特性； 稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系 统的相频特性。
x0 (t ) L1[ xi (s)G(s)]
2. 将传递函数中的s换为jω （s=jω ）来求取
x0 (t ) xi G( j) sin[t G( j)]
3. 用试验方法求取
s
微分方程
d dt
j
d dt
传递函数
s j
频率特性
图
4.1.4 频率特性的特点和作用
1.频率特性的作用 频率特性的分析方法始于20世纪40年代，目前 已广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为 分析线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理 论的重要组成部分。
2.频率特性的特点 1）对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的 频谱分析。 2）时间响应分析用于分析线性系统的过渡过程， 以获得系统的动态特性，而频率特性分析则将通过 分析不同的谐波输入对系统的稳态响应，以获得系 统的动态特性。
3）在研究系统的结构及参数变化对系统性能的影响时， 许多情况下频域分析容易些。根据频率特性可以较方 便判别系统的稳定性及其稳定储备，并可通过频率特 性进行参数选择或对系统进行校正。根据频率特性可 以选择系统的工作频率范围。 4）在分析不能用传递函数或微分方程表示的高阶系统 时，频率特性更具优势。 5）频率特性分析法可选择出合适的通频带，抑制噪声 的影响。 频率特性分析也有其缺点。由于系统中非线性的存在， 使得频率特性分析存在误差；难于应用于时变系统和 多输入多输出系统；对系统的在线识别困难。
( j ) R0 cos[ t ( j ) ] ( j ) R0 sin[ t ( j )] 2

对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋 于零，稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应. 可见在正弦信号作用下,系统的稳态输出也是同 频率的正弦信号.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r (t ) sin(t )
r (t ) sin(2t )
3. 频率特性的几何表示
1）奈氏图（Nyquist 图） G( j ) Re[G( j )] j Im[ G( j )]
U () Re[G( j)] ~ w 实频特性 V ( ) Im[G( j )] ~ w 虚频特性
(s) G(s) 4 2 1 G ( s) s 2s 4
4 ( j ) 4 2 j 2
( j 2) j 1 e
j 90
即 ： A(2)=1, φ (2)=-90°, 因 此 稳 态 输 出 为 CS(t)=2sin(2t-90°)。 在计算稳态误差时，可把误差作为系统的输出量， 利用误差传递函数来计算，即：
A sin(t 1 )
系统的稳态输出
G ( j )
B sin(t 2 )
G ( j )
B A
G ( j ) 2 1
对于稳定系统可以采用实验的方法得到系统的频率特性，即 在感兴趣的频率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系 统稳态输出与输入的幅值比和相角差，就可以得到系统的幅 频特性和相频特性曲线。
r (t ) sin(t ) r (t ) sin(2t )
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
G (s)
G ( j )
1 Ts
稳态输出
1
稳态输出
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
稳态输出
0
20 lg G( j )
G( j )
20 lg G( j )
G( j )
G( j )
相频特性
4.1.2 频率特性与传递函数的关系
证明:对于图示一般线性定常系统，可列出描述输出量 c(t)和输入量r(t)关系的微分方程：
r (t ) d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) an an 1 a1 a0c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) bm b b b0 r (t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
微分方程
频率特性和传递函数、 微分方程一样，也是 系统的数学模型。
s
d dt
j
d dt
传递函数
s j
频率特性
图
例
单位负反馈系统的 开环传递函数为
4 G( s) s( s 2)
若输入信号r(t)=2sin2t，试求系统的稳态输出和稳 态误差。
解 容易判断，所给系统是稳定的。在正弦信号作用 下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差 也是正弦信号，本题可以利用频率特性的概念来 求解。
1 ( j ) R0 2j
拉氏反变换，可求得系统的输出为
c(t ) Ci e si t Be j t De j t
i 1 n
稳态分量为
cs (t ) Be j t De j t
) j( t ( j ) ) 1 j ( t ( j ) 2 2 cs (t ) ( j ) R0 e e 2
主要内容：
1.频率特性的基本概念及其与传递函数的关系;
2.分析典型环节的或系统的频率特性的图形表示—
极坐标图、对数坐标图;
3.利用Nyquist图研究系统的开环与闭环频率特性
的关系;
4.讨论频率特性的特征量、最小相位系统、时间响
应与其频谱间的关系。
4.1 频率特性概述
本节将讨论频率特性的基本概念及其传递函数、 单位脉冲响应函数的关系，介绍频率特性的求法。
1 1 2 U ( ) V ( ) 2 4
G( j ) tg 1 (T )
2） 伯德图 （Bode图，由两幅图组成）
一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是幅值的分贝值，即 。另一幅是对数相频率特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是相角 20 lg G( j ) 。 幅频特性
以 为参变量，U ( ) Re[G( j )] 为横坐标，V ( ) Im[ G( j )] 为纵坐标的频率特性图。
例如，惯性环节
G ( j )
1 1 jT
的奈氏图如图所示。
U ( )
T 1 (T ) 2
G( j ) 1 1 (T ) 2
2. 频率响应
线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率 响应。
对于线性定常系统，在正弦输入信号作用下， 系统输出的稳态分量也是一个同频率的正弦信号。
A sin(t 1 )
G ( j )
系统的稳态输出 B sin(t 2 )
G ( j )
B A
G ( j ) 2 1
与其对应的传递函数为
线性定常系统
图
c(t )
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 ( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
r (t ) R0 sin t
R0 R(s) 2 s 2
4.1.1 频率响应与频率特性 1.频率特性 频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换 与输入量的傅氏变换之比。
Y ( j ) G ( j ) R ( j )
U ( j )
G ( j )
Y ( j )
频率特性与传递函数存在下列简单的关系 G( j ) G(s)
s j
频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系
统特性的主要方法,沟通了时域与频域的研究与
分析：
1.传递函数从复数域到具有明确物理概念的频域来
分析系统的特性；
2.建立系统的时间响应与其频谱;单位脉冲响应与
频率特性之间的直接关系;
3.在下列方面有重要作用：
（1）系统分析方面：任何信号可分解为叠加的谐波 信号（周期信号分解为叠加的频率谱离散的谐波信 号，非周信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号）， 可用系统对不同频率的谐波信号的响应特性的研究， 取代系统对任何信号的响应特性的研究(系统的稳定 性和响应的快速性与准确性)。 （2）系统建模方面：对于无法用分析法求得传递 函数或微分方程的系统或环节,可以通过试验求出 系统或环节的频率特性，进而求出该系统或环节 的传递函数。对于那些能用分析法求得传递函数 的系统，也通过频率特性加以验证和修正。
1 s 2 2s e ( s) 2 1 G ( s ) H ( s ) s 2s 4
ω 2 j 2ω e (jω) 4 ω 2 j 2ω
4 j4 j 45 e (j2) 2e j4
因此稳态误差为：
eS (t) 2 2 sin(2 t 45 )
4.2 频率特性的图示方法
用曲线图形表示系统的频率特性具有直观方便的 优点。常用的频率特性图示方法有极坐标图和对数坐 标图两种。 4.2.1 频率特性的极坐标图 常见的极坐标图见P137表4.2.1。
4.2.2 频率特性的对数坐标图 常见的对数坐标图见P150表4.2.2。 光盘，第4章的Section1~5。
从例可以看出，在正弦信号作用下求系统的稳 态输出和稳态误差时，由于正弦信号的象函数 R(s)的极点位于虚轴上，不符合拉氏变换终值 定理的应用条件，不能利用拉氏变换的终值定 理来求解，但运用频率特性的概念来求解却非 常方便，需要注意的是，此时的系统应当是稳