浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020年教学质量检测高三数学试卷
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衢州、丽水、湖州三地市 2020 年教学质量检测
高三数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每 小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A 0, 4 ， B x R | x 1 ，则 ðR A B
A．1, 0
B.1, 0
C． 0,1
D. 1, 4
2. 椭圆
的离心率是
C.
D
3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体
的体积（单位：cm3）是
A． 32
3
B． 16
3
C． 4
D．8
Fra Baidu bibliotek
第 3 题图
4. 明朝的程大位在《算法统宗》中（1592 年），有这么个算法歌诀：三人同行
七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。它的意思是说：
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
섐᧗
C. － ᧗ D.
᧗
”是“
ab ab
1”的
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8. 已知任意
岸 ᧗，若存在实数 b 使不等式 岸
᧗恒成立，则
A. b 的最小值为 4
B. b 的最小值为 6
对任意的
C. b 的最小值为 8
D. b 的最小值为 10
9. 如图，正方形 ABCD 的中心与圆 O 的圆心重合， P 是圆 O 上的动点， 则下列叙述不．正．确．的是
引抛物线的切线，切点分别为
（Ⅰ）求直线 与 轴的交点坐标；
（Ⅱ）若 E 为抛物线弧 AB 上的动点，抛物线在 E 点处的切线与三角形
的
边
分别交于点 h ,记
若不是请说明理由.
,问 是否为定值？若是求出该定值；
h
22.（本小题满分 15 分）
第 21 题 图
已知 f x x2 a ex ， g x a ex 1
求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以 3 所得的余数乘以 70，
除以 5 所得的余数乘以 21，除以 7 所得的余数乘以 15，再将所得的三个积相
加，并逐次减去 105，减到差小于 105 为止，所得结果就是这个数的最小正整
数值。《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数 ”问题：“今有物不知其数，
三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。”用上面的算法歌诀
来算，该物品最少是几件.
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
5. 函数 f (x) (e x e x) ln x 的图象大致为
A
B
C
D
岸 6. 若实数 满足约束条件 岸 岸
，则
的取值范围是
A. － 섐᧗
B.
7. 若 a 0,b 0 ,则“
A , A B ，则实数 a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题：本大题共 5 个题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
18.（本小题满分 14 分）
在 ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a, b,
c
.已知
tan(
A)
3.
4
（Ⅰ）求 sin 2A cos2 A 的值；
（Ⅱ）若 ABC 的面积 S 1 ， c 2 ，求 a 的值.
A. PA PC PB PD 是定值.
B. PA PB PB PC PC PD PD PA 是定值.
C. PA PB PC PD 是定值.
2
2
2
2
D. PA PB PC PD 是定值.
第9题
10. 对任意 >0,不等式
岸݊ ݊
恒成立，则实数 的最小值为
A．
B．
C.
D．
已知数列 an的前 n 项和 ݊ ݊ ݊，且 an 0(n N*) .
（Ⅰ）写出 a1, a2 , a3 的值,并求出数列 an的通项公式；
（Ⅱ）设݊
݊， Tn
为数列 bn 的前
n
项和；求证：
n2 2
n
Tn
n2
2
2n
.
21.（本小题满分 15 分）
如图，设抛物线方程为
h h＞ 为直线 岸 h 上任意一点，过
xOy
中，已知点
M
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 上的异于
顶点的任意一点，过点
作双曲线的切线
l，若 kOM
kl
1 ，则双曲线离心率 3
e 等于 ▲ .
第 16 题图
17. 已知函数 f (x) x2 ax a ，A x R f (x) x，B x R f [f (x)] f (x) ,
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11. 若复数 z i i 为虚数单位），则|
▲.
12. 在数列an 中，Sn 为它的前 n 项和，已知
，
，且数列an n 是
等比数列,则 an ▲ Sn = ▲ .
13. 二项式 ( 1 x )6 的展开式的各项系数之和为 ▲ ，x4 的系数为 ▲ ．
（Ⅰ）当 a 1时,判断函数 f x 的单调性； （Ⅱ）当 a 1时,记 f x 的两个极值点为 x1, x2 x1 x2 ，若不等式
x2 f x1 f ' x2 g x1
恒成立，求实数 的值.
x2
14. 已 知 直 线 l : mx y 1, 若 直 线 l 与 直 线 x my 1 0 平 行 ， 则 m 的 值 为
▲ ，动直线 l 被圆
岸岸
截得的弦长最短为 ▲ _.
15. 已知随机变量 X 的分布列如下表：
X
a
P
b
其中 .且 䁮 ,则 ▲ , 岸
▲.
16.
在平面直角坐标系
19.（本小题满分 15 分）
如图，已知四棱锥 A BCDE ，正三角形 h 与正三角形 直， BC / / 平面 ADE ,且 h （Ⅰ）求证： BC // DE ；
（Ⅱ）若 AF 2FD ，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值.
所在平面互相垂
第 19 题图
20.（本小题满分 15 分）
高三数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每 小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A 0, 4 ， B x R | x 1 ，则 ðR A B
A．1, 0
B.1, 0
C． 0,1
D. 1, 4
2. 椭圆
的离心率是
C.
D
3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体
的体积（单位：cm3）是
A． 32
3
B． 16
3
C． 4
D．8
Fra Baidu bibliotek
第 3 题图
4. 明朝的程大位在《算法统宗》中（1592 年），有这么个算法歌诀：三人同行
七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。它的意思是说：
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
섐᧗
C. － ᧗ D.
᧗
”是“
ab ab
1”的
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8. 已知任意
岸 ᧗，若存在实数 b 使不等式 岸
᧗恒成立，则
A. b 的最小值为 4
B. b 的最小值为 6
对任意的
C. b 的最小值为 8
D. b 的最小值为 10
9. 如图，正方形 ABCD 的中心与圆 O 的圆心重合， P 是圆 O 上的动点， 则下列叙述不．正．确．的是
引抛物线的切线，切点分别为
（Ⅰ）求直线 与 轴的交点坐标；
（Ⅱ）若 E 为抛物线弧 AB 上的动点，抛物线在 E 点处的切线与三角形
的
边
分别交于点 h ,记
若不是请说明理由.
,问 是否为定值？若是求出该定值；
h
22.（本小题满分 15 分）
第 21 题 图
已知 f x x2 a ex ， g x a ex 1
求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以 3 所得的余数乘以 70，
除以 5 所得的余数乘以 21，除以 7 所得的余数乘以 15，再将所得的三个积相
加，并逐次减去 105，减到差小于 105 为止，所得结果就是这个数的最小正整
数值。《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数 ”问题：“今有物不知其数，
三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。”用上面的算法歌诀
来算，该物品最少是几件.
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
5. 函数 f (x) (e x e x) ln x 的图象大致为
A
B
C
D
岸 6. 若实数 满足约束条件 岸 岸
，则
的取值范围是
A. － 섐᧗
B.
7. 若 a 0,b 0 ,则“
A , A B ，则实数 a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题：本大题共 5 个题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
18.（本小题满分 14 分）
在 ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a, b,
c
.已知
tan(
A)
3.
4
（Ⅰ）求 sin 2A cos2 A 的值；
（Ⅱ）若 ABC 的面积 S 1 ， c 2 ，求 a 的值.
A. PA PC PB PD 是定值.
B. PA PB PB PC PC PD PD PA 是定值.
C. PA PB PC PD 是定值.
2
2
2
2
D. PA PB PC PD 是定值.
第9题
10. 对任意 >0,不等式
岸݊ ݊
恒成立，则实数 的最小值为
A．
B．
C.
D．
已知数列 an的前 n 项和 ݊ ݊ ݊，且 an 0(n N*) .
（Ⅰ）写出 a1, a2 , a3 的值,并求出数列 an的通项公式；
（Ⅱ）设݊
݊， Tn
为数列 bn 的前
n
项和；求证：
n2 2
n
Tn
n2
2
2n
.
21.（本小题满分 15 分）
如图，设抛物线方程为
h h＞ 为直线 岸 h 上任意一点，过
xOy
中，已知点
M
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 上的异于
顶点的任意一点，过点
作双曲线的切线
l，若 kOM
kl
1 ，则双曲线离心率 3
e 等于 ▲ .
第 16 题图
17. 已知函数 f (x) x2 ax a ，A x R f (x) x，B x R f [f (x)] f (x) ,
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)
11. 若复数 z i i 为虚数单位），则|
▲.
12. 在数列an 中，Sn 为它的前 n 项和，已知
，
，且数列an n 是
等比数列,则 an ▲ Sn = ▲ .
13. 二项式 ( 1 x )6 的展开式的各项系数之和为 ▲ ，x4 的系数为 ▲ ．
（Ⅰ）当 a 1时,判断函数 f x 的单调性； （Ⅱ）当 a 1时,记 f x 的两个极值点为 x1, x2 x1 x2 ，若不等式
x2 f x1 f ' x2 g x1
恒成立，求实数 的值.
x2
14. 已 知 直 线 l : mx y 1, 若 直 线 l 与 直 线 x my 1 0 平 行 ， 则 m 的 值 为
▲ ，动直线 l 被圆
岸岸
截得的弦长最短为 ▲ _.
15. 已知随机变量 X 的分布列如下表：
X
a
P
b
其中 .且 䁮 ,则 ▲ , 岸
▲.
16.
在平面直角坐标系
19.（本小题满分 15 分）
如图，已知四棱锥 A BCDE ，正三角形 h 与正三角形 直， BC / / 平面 ADE ,且 h （Ⅰ）求证： BC // DE ；
（Ⅱ）若 AF 2FD ，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值.
所在平面互相垂
第 19 题图
20.（本小题满分 15 分）