大物习题答案第5章机械波

第5章机械波
基本要求
1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.
2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．
3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件.
4．理解驻波及其形成。

5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.
基本概念
1．机械波
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。

它可以分为横波和纵波。

2.波线与波面沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。

介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。

在某一时刻，最前方的波面叫波前。

3．波长λ在波传播方向上，相位差为2π的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。

4．周期T与频率ν一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。

周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。

5．波速u单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。

它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。

6．平面简谐波的波动方程在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为
()2cos y A t
x ωϕπ
λ
=+
或s )co (x y A t
u ωϕ⎡
⎤=+⎢⎥⎣
⎦
其中，“-”表示波沿x 轴正方向传播；“+”表示波沿x 轴负方向传播。

波函数是x 和t 的函数。

给定x ，表示x 处质点的振动，即给出x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t ，表示t 时刻的波形，即给出t 时刻质点离开自己平衡位置的位移。

7．波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势
能相等。

任意体积元的222k 211d =d d d sin ()22P W W W VA t x π
λ
ρωωϕ==-+
8．平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w 表示。

单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I 表示。

其中22
011d 2
T w w t A T ρω=
=⎰，2212wuTS I wu A u TS ρω=== 9．波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。

10．波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。

产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。

加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差21
212π
r r ϕϕϕλ
-∆=--，
()2π0,1,2,...k k ϕ∆=±= 时，合振幅达到极大max 12A A A =+，称为干涉
相长
()()21π
1,2,3...k k ϕ∆=±-=振幅为极小，12A A A =
-，称为干涉相消。

11．驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。

驻波方程：2π
2cos
cos y A x t ωλ
=。

12．半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。

13．多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。

基本规律
1．惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。

据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。

因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。

下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。

如图5-1所示，t 时刻的波面是半径为R 1的球面 S 1，按惠更斯原理，S 1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。

以 S 1面上各点为中心，以r u t =∆为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S 2就是（t+Δt ）时刻的波面。

2．多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率
R ν和波源的频率S ν不相同的现象称为多普勒效应。

当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为R
R S S
u v u v νν±=。

u ：机械波在介质中的传播速度
S v ：波源相对于介质的速度
R v ：观察者相对于介质的速度为
观察者接近波源时，R v 前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，S v 前取“-”号，远离时，则取“+”号。

学习指导
图
5-1
1重点解析
下面将讨论本章的习题分类及解题方法：
（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.
通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。

（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式
基本步骤如下：（a ）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。

(b )在波线上建立坐标后，任取一点P ，距原点为x ，计算出p 点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。

设超前或落后的时间为t ’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t ’，即得该波的表达式。

也可计算出P 点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为
2x π
λ
，则将原振动表达式中的相位加上或减去
2x π
λ。

注意：超前为加，落后为减。

为方便起见，有时常把波线上的已知点选
为坐标原点。

（3）已知波形曲线，建立波动表达式
从波形曲线上确定有关的物理量。

如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。

例1 已知一平面波在t=0s 时的波形曲线如图5-2所示，波沿x 轴正向传播，已知波的周期3T s =.
求（1）该波的波函数；（2）点P 处质元的振动方程。

分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A 、ϕ、ω。

然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。

将P 点x 坐标值代入波函数即可求P 处质元的振动方程。

解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅
2410A m -=⨯，3T s
=，则圆频率
图5-2
1223
rad s T ππω-=
=⋅ 波沿x 轴正向传播，显然00v >，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋
转矢量图如图5-3所示，则3
π
ϕ=-
，于是原点处质元的振动方程为
22410cos(
)33
y t m ππ
-=⨯- 为求波函数，要求出波长λ或波速u 。

先设波函数为222410cos(
)33
y t x m πππ
λ-=⨯-- 由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m 处，2410y m -=-⨯,代入波函数
222410410cos(0.4)3
π
π
λ---⨯=⨯-
⨯-
得 1.2m λ=
所以波函数为225410cos(
)333
y t x m πππ
-=⨯-- （2）P 点 x=0.8m 代入波函数即可求P 处质元的振动方程是
22410cos(
)33
y t m ππ
-=⨯+
（4）波的干涉和驻波
波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。

驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。

例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为
2144.0010cos(
8)3y x t π
π-=⨯- 2144.0010cos(8)3y x t π
π-=⨯+
求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 解：（1）与标准的波动方程()2cos y A t
x ωϕπ
λ
=+比较可得：
频率4Hz ν=、波长 1.50m λ=、波速16.00u m s λν-=⋅=⋅。

（2）节点位置
4()32x k πππ=±+ 则有：31
()(0,1,2,3)42
x k k =±+=
（3）波腹位置：43x k π
π=±
则有：3
(0,1,2,3)4
x k k =±=
（5）多普勒效应
求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。

应特别注意公式中符号规则。

对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。

2难点释疑
疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。

两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。

其表达式为：
2π
2π
2π
cos()cos()2cos
cos y A t x A t x A x t ωωωλ
λ
λ
=-
++
=
波节位置：(21)(0,1,2,)4
x k k λ
=±+=
波腹位置：(0,1,2,)2
k x k λ
=±
=
相邻两波节或波腹之间的距离为
2
λ，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧2
λ
范围内媒质的振动相位差为π。

驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。

但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。

半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。

相对于入射波，反射波相位突变π，相当于出现了半个波长的波程差。

疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。

理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机
械能保持不变。

波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。

在学习过程中，很多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。

问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。

从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。

习题解答
一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量[ ]
(A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 解析：正确答案（B ）
介质中某质元的动能表达式222k 1d d sin 2()2W V x A t ρωωπλ
ϕ=-+，质元的弹性势能222p 1d d sin 2()2W V x A t ρωωπ
λ
ϕ=
-+，所以在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能均随,x t 作周期性变化，且变化是同相位的。

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。

体积元的位移最大时，三者均为零。

一平面简谐波的波动方程为y = (3t －x+) (SI)t = 0 时的波形曲
线如图所示，则[ ]
(A) O 点的振幅为－0.1m (B) 波长为3m (C) a 、b 两点间相位差为/2
(D) 波速为9m/s 解析：正确答案（C ） 波动方程的一般表达式是
()2cos y A t x ωϕπ
λ
=-
+，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m ，
习题图
波长2m λ=，角频率13rad s ωπ-=⋅，所以波速112
3322u m s m s λωπππ
--=
⋅=⨯⋅=⋅。

a 、b 两点间距离差是
4
λ
，对应的相位差是 2π2ππ42
r rad rad λϕλλ∆=∆=⨯=。

某平面简谐波在t = 时波形如图所示,则该波的波函数为[ ] (A)0.5cos[4()]82x y t cm π
π=--
(B)0.5cos[4()]82x y t cm π
π=++
(C)0.5cos[4()]82x y t cm π
π=+-
(D)0.5cos[4()]82x y t cm π
π=-+
解析：正确答案（A ）
波动方程的一般表达式是())cos x u y A t ωϕ⎡⎤
=±+⎢⎥⎣⎦
，由图可知，
A=0.5cm ,10.08u m s -=⋅, 所以x 前系数取负值。

t=时，00y =，00v <，此时的相位是
2
π
已知条件代入方程可得：2
π
ϕ=-
所以，波的波函数为0.5cos[4()]82
x y t cm π
π=--
一余弦波沿x 轴负方向传播，已知x=-1m 处振动方程为cos()y A t ωϕ=+，若波速为ｕ，则波动方程为[ ]
(A)cos x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (B)1cos x y A t u ωϕ⎡-⎤
⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (C)1cos x y A t u ωϕ⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (D)1cos x y A t u ωϕ⎡+⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 解析：正确答案（C ）
沿x 轴负方向传播的波动方程的一般表达式是())cos x u y A t ωϕ⎡⎤
=++⎢⎥⎣⎦
，本
题中x=-1m 处的相位是t ωϕ+，相位差与波程差之间的关系是
y (
x
= 习题图
2π
r r u
ω
ϕλ
∆=
∆=
∆，可知任意x 处的相位比x=-1m 的相位多
(1)x u
ω
+，所以任意
x 处的相位是1
(1)()x t x t u
u
ω
ωϕωϕ+++
+=+
+。

频率为100Hz ，传播速度为1300m s -⋅的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π，则此两点相距[ ]
(A)1.5m (B)2.19m (C)0.5m (D)0.25m 解析：正确答案（A ）
相位差与波程差之间的关系是2π
r ϕλ
∆=
∆，
本题中100Hz ν=，1300u m s -=⋅，3003100u
m m λν
=
=
=。

3
1.52π2π
r m m λϕπ∆=∆=⨯=。

两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波,则相邻波节间各质点的振动[ ] (A)振幅相同,相位相同 (B)振幅不全相等,相位相同 (C)振幅相同,相位不同 (D)振幅不全相等,相位不同 解析：正确答案（B ） 驻波方程为2π
2cos cos y A x t ωλ
=，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅
不同，但相位相同。

在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ［ ］ (A)
4λ (B) 2
λ
(C) 34λ (D) λ
解析：正确答案（B ） 驻波方程为2π
2cos
cos y A x t ωλ=，波腹处质点就满足条件是：2πcos
1x λ
=，
(0,1,2,)2
k x k λ=±
=相邻波腹间的距离是波长的一半，为
2
λ。

一机车汽笛频率为750 Hz ，机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者
听到的声音的频率是（设空气中声速为1340m s -⋅）［ ］
(A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz 。

解析：正确答案（D ）
本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。

所以观察者
听到的声音的频率可用公式：34025
750695
340
R
R S
u v
Hz Hz
u
νν
--
==⨯=。

选（D） t=0时刻波形曲线如左图所示，此时a点运动方向，b点运动方向，坐标为x的质点振动曲线如右图所示时，则a 时刻运动方向，b时刻运动方向。

解析：-y,＋y, ＋y,-y
本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。

求解本题要弄清波动图和振动图的不同的物理意义。

左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴负向，b点运动方向是沿y轴正向。

右图是振动曲线，由曲线和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴正向，b点运动方向是沿y轴负向。

一横波波函数为0.5cos[(20010)]
2
y t x
π
π
=-+m，则频率ν= ，波长
λ= ,初相
ϕ= 。

解析：100HZ,0.2m,
2
π
波动方程的一般表达式是()
2
cos
y A t x
ωϕ
π
λ
=+，对比将已知波的表达式，
可知频率ν=100HZ, 波长λ=0.2m, 初相
ϕ=
2
π
波相干的条件是。

解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。

频率为500Hz的波，其波速为1
350m s-
⋅，相位差为
2
3
π的两点间距离为。

解析：0.23m
相位差与波程差之间的关系是
2π
r
ϕ
λ
∆=∆，本题中500Hz
ν=，1
350
u m s-
=⋅，
习题图
3500.7500u
m m λν
=
=
=。

0.727
2π2π330
r m m λπϕ∆=∆=⨯=。

沿x 轴正向传播的波，波速为12m s -⋅，原点振动方程为0.6cos()y t π=，试求
(1) 此波的波长。

(4m) (2)波函数。

(3)同一质元在1s 末和2s 末这两个时刻的相位差(πrad) (4)1A x m =, 1.5B x m =处两质元在同一时刻的相位差 解析：
（1）由原点的振动方程知，振动周期T=2s . 所以此波的波长是224uT m m λ==⨯= （
2
）
由
原
点
的
振
动
方
程
可
得
波
函
数
0.6cos 0.6cos ()2x x y t t SI u ππ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
（3）同一质元在两个时刻的相位差为()t rad ϕωπ∆=∆= （4）波线上两点在同一时刻的相位差为0.5()()2
4
x rad rad u
ω
π
π
ϕ∆=∆=
⨯=
B 点比A 点滞后。

一横波波函数为0.5cos 42x y t ππ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求：
(1) 振幅、波长、频率和初相位 (2)x=2m 处质点在t=2s 时振动的位移
(3)传播方向上时间间隔为1s 的两质点的相位差 解析：
（1）将给定的方程化为
0.5cos(42)y t x πππ=-+
与标准形式的波动方程()2cos y A t x ωϕπ
λ
=-+比较，可得
振幅
A=0.5m ，波长1m λ=，角频率14rad s ωπ-=⋅，频率
4222Hz Hz ωπνππ
=
==，初相位rad ϕπ= （2）把x=2m ，t=2s 代入波函数，可得振动的位移
20.5cos 420.52y m ππ⎡⎤
⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

（3）本题目中221
42
T s s π
πωπ=
=
=，传播方向上时间间隔为1s 的两质点之
间的距离是两个波长。

对应的相位差是2224x rad ππ
ϕλπλλ
∆=∆=⨯=
一波源位于坐标原点向x 轴正方向发射一横波，周期T=1s ，波长λ=10m ，振幅A=0.5m ，当t=0s 时刻波源振动位移恰好为正方向最大值，求：（1）波函数；（2）t 1=时，x=2.5m 处质点位移；（3）t 2=时，x=2.5m 处质点的振动速度。

解析：波函数动方程一般形式是()2cos y A t x ωϕπ
λ
=-+，要求波函数只要求
振幅、波长、角频率和初相位。

（1）振幅A=0.5m ，波长λ=10m ，角频率122rad s T
π
ωπ-=
=⋅，当t=0s 时刻波源振动位移恰好为正方向最大值,可知此时对应的的相位是0，即是初相位。

波函数是0.5cos(2)5
y t x π
π=-
（2）t 1=时，x=2.5m 代入波函数，即可得质点位移
0.5cos(2)0.5cos(20.25 2.5)0.55
5
y t x m m π
π
ππ=-
=⨯-
⨯=
（3）t 2=时，x=2.5m 处质点的振动速度
00
22
1,,(0.52sin 2)
5
x t x t y v s t t
x m π
πππ--
∂=
=-⨯=-⋅∂
如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求
(1) 该波的波动方程。

(2) 在距原点为100m 处质点的振动方程的表达式。

解析：由P 点的运动方向，可判定该波向左传播。

习题图
对坐标原点处质元，t=0时的位置，有
0cos 2A y A ϕ=
=，00v <，所以3
rad π
ϕ= 原点的振动方程为0cos(500)()3y A t SI π
π=+
波动方程为0cos(500)()1003
y A t x SI ππ
π=+
+ （2）在距原点为100m 处质点的振动方程是cos(500)()3
y A t SI π
π=-+
如图所示为平面简谐波在4
T
t =时的波形曲线，求该波的波动方程。

解析：设x=0处质元的振动方程是
cos()y A t ωϕ=+
由图可知：A=0.1m,12165()
u rad s π
ωπλ
-=
=⋅,4
T t =
时，
0cos()04
T
y A ω
ϕ=+=，速度方向为+y 方向， 342T π
ωϕ+=
324
T πϕωπ=-=
原点处质元的振动方程是0.1cos(165)()y t SI ππ=+ 该波的波动方程为0.1cos(165)()2
y t x SI π
ππ=-
+
一平面简谐波以u=0.8m ∙s -1的速度沿x 轴负方向传播。

已知距坐标原点x=0.4m 处质点的振动曲线如图所示。

试求：
(1) x=0.4m 处质点的振动方程 (2) 该平面简谐波的波动方程 (3) 画出t=0时刻的波形图
习题图
解析：
（1）振动方程的表达式cos()x A t ωϕ=+，由图可知振幅A=0.05m ，T=1s,角频率122rad s T
π
ωπ-=
=⋅，t=0s 时，位移是正的最大可知初相位0ϕ=。

所以振动方程是0.05cos(2)y t m π=
（2）沿x 轴负方向传播的平面简谐波的波动方程的表达式
()2cos y A t x ωϕπ
λ
=+
+
其中A=0.05m ，角频率122rad s T
π
ωπ-==⋅，波长0.810.8u T m m λ=⋅=⨯=，所以波动方程可写成
8
0.05cos(2)5
y t x m ππϕ=++
由x=0.4m 处质点的振动方程可知，当t=0s, x=0.4m 处质点的的相位是0， t=0s, x=0.4m 代入波动方程可得相位表达式
8
200.40.6405
ππϕπϕ⨯+⨯+=+=
0.64ϕπ=-
波动方程是
8
0.05cos(20.64)5
y t x m πππ=+-
（3）t=0代入波动方程可得8
0.05cos(0.64)5
y x m ππ=-。

图略
一平面波在介质中以u 沿x 轴正方向传播，已知A 点振动方程cos y A t ω=，A 、B 两质点相距为d ，x A <x B ，求：
（1）以A 点为坐标原点写出波动方程；（2）以B 点为坐标原点写出波动方
习题图
程。

解析：A 点振动方程cos y A t ω=，将t 换成x
t u
-
就得到以A 为原点的波动方程cos ()x
y A t u
ω=-
(2) 令x=d 就得到B 点振动方程cos ()d y A t u ω=-,将式中t 换成x
t u -就得
到以B 为原点的波动方程
cos ()x d y A t u
ω+=-
一平面简谐波,频率为300Hz,波速为340m ∙s －1,在截面积为×10－2m 2的管内空气中传播,若在10s 内通过截面的能量为×10－2J,求
(1) 通过截面的平均能流； (2) 波的平均能流密度； (3) 波的平均能量密度. 解析：
（1）通过该截面的平均能流2
312.710 2.71010
W P J s t ---⨯==
=⨯⋅ （2）波的平均能流密度312212
2
2.7109.0010
3.0010P I J s m J s m S -------⨯==⋅⋅=⨯⋅⋅⨯
（3）波的平均能量密度由于I Wu =
所以2
2429.0010 2.6510340
I W J m J m u ----⨯==
⋅=⨯⋅ 5.21 一正弦波沿直径为d 的圆柱传播，波的平均能量密度为
531010J m --⨯⋅，频率为200Hz ，波速为200m ∙s -1，求：（1）波的平均强度；（2）
每两个相邻相面波带中含能量7410J -⨯，求d 。

解析：本题要求能正确的理解波的平均能量密度、波的平均强度，及相互之间关系。

（1）5212211010200210I J m s J m s ων------=⋅=⨯⨯⋅⋅=⨯⋅⋅
（2）2222200sin ()()()22x d d u
W dV A t dx u λλωρωωπωπν
==-=⎰⎰，
可得0.071d m =
湖面上方 h=0.5m 处有一电磁波接收器,当某射电星从地面上渐渐升起时,接收器可测得一系列波强的极大值。

已知射电星所发射的电磁波的波长λ=20cm,求第一个极大值时射电星的射线与铅垂线夹角θ。

(湖水可看作电磁波的反射体。

电磁波的干涉与机械波的干涉有同样的规律,电磁波从空气射向水面而反射时有半波损失)
解析：接收器测得的电磁波是射电星所发射的信号直接到达接收器的部分与经湖面反射的部分相互干涉的结果。

解 计算波程差
(1cos 2)2
2
r AC BC AC λ
λ
α∆=-+
=-+
sin AC h α=
(1cos 2)sin 2
h r λ
αα∆=
-+ 极大时，r k λ∆=
(21)sin 4k h
λ
α-=
取k=1，
2120010arcsin 574405
-...α⨯==︒⨯
图示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉。

S 为受电磁铁影响而振动的薄膜, D 为声音探测器,如耳机或话筒。

路径 SBD 的长度可以变动,而路径 SAD 的长度是固定的, 干涉仪内是空气。

现测知声音强度在 B 的第一位置时为极小值100单位, 而渐增至 B 距第一位置为×10- 2m 的第二位置时, 有极大值900单位。

求:
(1) 声源发出的声波频率:
(2) 抵达探测器的两波的相对振幅。

习题图
习题图 B
A
C
(空气中声速设为1340m s -⋅)
解析：声波沿路径 SBD 和路径 SAD 分别分别传到D 处时产生干涉。

产生极小值时波程差r k λ∆= 产生极大值时波程差(2'
1)
2
r k λ
∆=-
根据条件可知2'2 1.6510r r m -∆-∆=⨯⨯,k ’=k+1 所以26.610m λ-=⨯
3
2
3405106.610
u
Hz νλ
--=
=
=⨯⨯ （2）抵达探测器的两波的相对振幅是2 如图所示，S 1和S 2为相同的声源，当L 1＝L 2时，P 点听到了较大的声音，若随着L 1逐渐增加，当L 1-L 2为20.0cm,60.0cm 和100.0cm 时，在P 点听到的声音最弱。

求声源的频率。

已知声速为1340m s -⋅。

解析：当L 1＝L 2时，P 点听到了较大的声音，说
明S 1和S 2为同相位的声源。

当S 1和S 2中一方为波峰另一方为波谷到达P 点，声
音最弱。

故L 1－L 2为12λ，32λ，5
2λ等时，声音最弱。

所以P 点连续两次声音最
小时，L 1增加的距离为λ，由已知数据得40cm λ=。

声源频率为
340
8500.4
u
Hz Hz νλ
=
=
= 如图所示，原点O 是波源，振动方向垂直于纸面，波长是λ。

AB 为波的反射平面，反射时无相位突变π。

O 点位于A 点的正上方，AO=h 。

ox 轴平行于AB 。

求ox 轴上干涉加强点的坐标。

（限于x>0）
习题图
解析：沿ox 轴传播的波与从AB 面上的P 点反射来的波在x 处相遇，两波的波程差是
习题图
222()2
x
r h x ∆=+-
代入干涉加强的条件，有
222(),
1,2,
2
x
r h x k k λ∆=+-==
可得222
421,2,3,,
2h k h
x k k λλ
λ
-=
=<
（当x=0时，由22240h k λ-=，可得2h
k λ
=
）
如图，一角频率为ω，振幅为A 的平面简谐波沿x 轴正方向传播。

设在t=0时该波在原点O 处引起的振动使介质质点由平衡位置向y 轴的负方向运动。

M 是垂直于x 轴的波密介质反射面。

已知'74OO λ=
，'1
4
PO λ=（λ为该波波长）
，设反射波不衰减，求：（1）入射波与反射波的表达式；（2）P 点的振动方程。

习题图
解析：平面简谐波的波动方程的表达式()2cos y A t x ωϕπ
λ
=±
+，
对于入射波，x 前系数取负号，反射波取正号。

题目已知条件是：t=0时该波在原点O 处引起的振动使介质质点由平衡位置向y 轴的负方向运动，由旋转矢量法可知相位是
2
π
，即是初相位，2πϕ=。

入射波表达式是2cos()2y A t x ππωλ=-+。

入射波在O ’点的相位是7322
t t ππ
ωωπ-+=-，由于M 是垂直于x 轴的波密介质反射面，波是从波密媒质反射回波疏媒质，在反射点反射时有相位π的突变。

反射波的相位是32t t ωππωπ-+=-
设反射波的表达式是()2cos y A t x ωϕπ
λ
=++，则t 时刻，反射波在O ’点的
相位是277
42
t t ωπ
λλϕπωϕ+
++=+⨯
比较以上反射波O ’点的相位的两个表达式，可得15
2
ϕπ=-，所以反射波的表达式是2cos()2
y A t x π
π
ωλ=+
+ （2）P 点的振动是入射波与反射波在P 点引起振动的合成。

入射波在P 点引起振动表达式是
12351
cos()cos()cos()2222
y A t A t A t π
πωλωπωπλ=-
⨯+=-=-+ 反射波在P 点引起振动表达式是
2237cos()cos()cos()2222
y A t A t A t π
πππωλωωλ=+
⨯+=+=-+ 所以122cos()2
y y y A t π
ω=+=-+
一驻波波函数为0.02cos 20cos750()y x t m =，求 (1)形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少 (2)相邻两波节间的距离多大
(3)32.010t s -=⨯时，25.010x m -=⨯处质点振动的速度多大 解析：
（1）将0.02cos 20cos750()y x t m =与驻波方程
2π
2cos cos y A x t ωλ
=相比较可知A=0.01m,10
m πλ=
，1750rad s ω-=⋅，
所以，传播速度137.52u m s λ
ωπ
-=
=⋅ （2）相邻两波节点之间的距离0.1572
x m λ
∆==
（3）质元振动速度
00
00
1,,22cos
sin 8.08x t x t y v A t
m s t
π
ωωλ
-∂=
=-=-⋅∂
一辆机车以125m s -⋅的速度驶近一位静止的观察者，如果机车的汽笛的频率为550Hz ，此观察者听到的声音频率是多少（空气中声速为1340m s -⋅） 解析：观察者不动，波源运动时，观察者接收到的频率为
340550594'
34025
R S S u
u Hz Hz u v ννλ=
=
=⨯=--
一声源的频率为1080Hz ，相对地面以130m s -⋅的速率向右运动。

在其右方有一反射面相对地面以165m s -⋅的速率向左运动。

设空气中声速为1331m s -⋅。

求：
（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长。

解析：
（1）波源运动时，波长将发生变化。

声源在空气中发出的声音的波长33130
0.33431080
S
u v m m λν
++=
=
= （2）声源向右运动，反射面也在运动，则反射面相当于观察者。

波源和观察者在他们的连线上相向运动时
33165
108033130
R R S S u v Hz u v νν++=
=⨯-- 求解反射回的声音的频率时，反射面相当于声源，观察者不动。

则
33133165
'108017683316533130
R R S u Hz Hz u v νν+=
=⨯⨯=--- 对应的波长是331
'0.18721768
u
m m λν
=
=
= 频率为f=400Hz 的音叉以12v m s -=⋅的速率远离一名观测者同时又朝一面大墙运动。

求：（1）观察者所听到的未经反射的声音的频率；（2）所听到经反射后声音的频率；（3）每秒能听到几次拍的声音，已知声速为1340m s -⋅。

解析：（1）此时的情景是声源远离观察者运动。

观察者所听到的未经反射的声音的频率
340
4003983402
R S S u Hz Hz u v νν=
=⨯=++ （2）此时的情景是声源靠近观察者运动。

所听到经反射后声音的频率340
'4004023402
R S S u Hz Hz u v νν=
=⨯=-- （3）拍频是' 4.7R R Hz νν-=，每秒能听到次拍的声音
4 开放性习题
请以“波浪能量”和“海洋能利用”为关键词，通过互联网了解我国利用海洋能发电的现状。

（略）
21。