3矩阵的特征值和特征向量解析
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式为==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此如果存在一组实数使(3)则上式两边乘以得(4)另一方面,,即(5)(4)－(5)有由归纳假设,线性无关,因此而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五５－12§２相似矩阵定义2设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理3设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．证明因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有于是所以是矩阵的属于的特征向量．下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．定理4阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．证明必要性设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使=设则由上式得即，因此所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故线性无关.充分性如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，则有设则是满秩的，于是，即=[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．课后作业：习题五13－16§３向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．定义3设有维向量，，令=，则称为向量和的内积．[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立．定义4令||=称||为维向量的模（或长度）．向量的模具有如下性质：（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；（2）||=|| ||，（为实数）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特别地，当||=1时，称为单位向量.如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．如果、都为非零向量，由性质（3）≤1，于是有下述定义：定义5当||≠0，||≠0时称为维向量、的夹角．特别地：当=0时，，因此有定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6已知个非零向量，若=0，则称为正交向量组．定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．例如，维单位向量组=，，是正交向量组．正交向量组有下述重要性质：定理5正交向量组是线性无关的向量组．定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，，，…….再取则为标准正交向量组．上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．例5把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.将，，正交化，令=，=，再把单位化，则即为所求的标准正交向量组．定理7若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使，成为正交向量组．推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．例6已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.解应满足方程=0，即.它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取其中于是得定义8如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式（其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有定理8一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．课后作业：习题五1－4§４实对称矩阵的相似对角化在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．是分别属于的特征向量，则，根据内积的性质有，又所以，因，故，即与正交.定理11 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量，.于是得正交矩阵易验证.课后作业：习题五17。
3矩阵的特征值和特征向量
3矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念之一，它们在许多应用中具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵的特征值和特征向量，并说明它们的性质和应用。
一、矩阵的特征值和特征向量定义对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的特征向量。
我们可以用以下的形式表示矩阵的特征方程：det(A-λI)=0其中，det(A-λI)是矩阵A-λI的行列式，λ是一个常数，I是单位矩阵。
根据特征方程，我们可以求解出矩阵A的特征值λ。
然后，将每个特征值代入特征方程，可以求解出对应的特征向量x。
二、特征值和特征向量的性质1.特征值的性质：-一个矩阵的特征值可以是实数，也可以是复数。
-一个n×n的矩阵最多有n个不同的特征值。
- 特征值与矩阵的行列式有关，它们的乘积等于矩阵的行列式：det(A)=λ1*λ2*…*λn。
2.特征向量的性质：- 特征向量具有标量倍数的自由度，即如果x是矩阵A的特征向量，则kx也是矩阵A的特征向量，其中k是任意非零标量。
-特征向量可以用于表示矩阵的一组基，这意味着可以用特征向量表示矩阵的任意向量。
三、特征值和特征向量的计算对于一个给定的n×n矩阵A，我们可以通过以下步骤计算其特征值和特征向量：1. 解特征方程det(A-λI)=0，求得特征值λ1, λ2, ..., λn。
2. 将每个特征值代入特征方程，解出对应的特征向量x1, x2, ..., xn。
对于一些矩阵，特征值和特征向量可以通过简单的计算得到。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是其主对角线上的元素，而对应的特征向量可以是单位向量。
对于一些特殊的矩阵，如上三角矩阵和下三角矩阵，其特征值也可以很容易地得到。
四、特征值和特征向量的应用1.线性系统的稳定性分析特征值和特征向量在控制论中经常用于分析线性系统的稳定性。
对于一个线性系统，通过求解其特征值，可以判断系统是否稳定。
线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。
对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A —1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。
性质2（1） nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ（2） || 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
矩阵的特征值与特征向量 正文
引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。
自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。
近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。
另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。
可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。
因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。
线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。
求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。
一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。
特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷3
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1αB.P Tα√C.PαD.(P -1 ) Tα解析：解析：设B是矩阵(P -1 AP -1 )属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵A T＝A，有 (P -1 AP) Tβ＝λβ，即P T A(P -1) T＝λβ．把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα＝λα，可得选项B正确，即左端＝P T A(P -1 ) T (P Tα)＝P T Aα＝P Tλα＝λP Tα＝右端所以府诜B．3.n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件√B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：若A～A＝，则有可逆矩阵P使P -1 AP＝∧，或AP＝P∧．令P＝(γ1，γ2，…，γn )，即 A(γ1，γ2，…，γn )＝(γ1，γ2，…，γn ) ＝(a 1γ1，a 2γ2，…，a nγn ) 从而有 Aγi＝a iγi，i＝1，2，…，n．由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n 个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，且满足 Aαi＝λiαi，i＝1，2，…，n．那么，用分块矩阵有A(α1，α2，…，αn)＝(α1，α2，…，αn由于矩阵P＝(α1，α2，…，αn )可逆，所以P -1 AP＝∧，即A与对角矩阵∧相似．所以应选A．A与B( )（分数：2.00）A.合同且相似√B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：由｜A－λE｜＝＝－(4－λ)λ3＝0．可得A的特征值λ1＝4，λ2＝λ3＝λ-1 AP＝P T AP＝＝B．可见矩阵A 4＝0．又因为A为实对称矩阵，所以必存在正交矩阵P，使得 P与B既相似又合同，所以应选A．5.设三阶矩阵A的特征值是0，1，－1，则下列命题中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵A－E是不可逆矩阵．B.矩阵A＋E和对角矩阵相似．C.矩阵A属于1与－1的特征向量相互正交．√D.方程组Aχ＝0的基础解系由一个向量构成．解析：解析：因为矩阵A的特征值是0，1，－1，所以矩阵A－E的特征值是－1，0，－2．由于λ＝0是矩阵A－E的特征值，所以A－E不可逆．故命题A正确．因为矩阵A＋E的特征值是1，2，0，矩阵A＋E有三个不同的特征值，所以A＋E可以相似对角化．命题B正确(或由A～A＋E～A＋E而知A＋E可相似对角化)．因为矩阵A有三个不同的特征值，知 A～A因此，r(A)＝r(∧)＝2，所以齐次方程组Aχ＝0的基础解系由n－r(A)＝3－2＝1个解向量构成，即命题D正确．命题C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交．6.已知A是一个3阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是( )（分数：2.00）A.3，i，－1．B.2，－1，3．C.2，i，4．D.1，3，4．√解析：解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项B也不正确；应用排除法，答案为D．7.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（分数：2.00）√解析：解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE－A｜＝λ3－4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ＝0，由秩r(0E－A)＝r(A)＝1 可知齐次方程组(0E－A)χ＝0的基础解系有3－1＝2个线性无关的解向量，即λ＝0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，－1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ＝1，由秩r(E－A)＝＝2 可知齐次方程组(E－A)χ＝0只有3－2＝1个线性无关的解，亦即λ＝1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．8.设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(χ，y，z)A＝1在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为（分数：2.00）A.0B.1 √C.2D.3解析：解析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，1．故A的正特征值个数为1．故应选B．9.设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α，A(α1＋α2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.λ1≠0B.λ2≠0√C.λ1＝0D.λ2＝0解析：解析：令k 1α1＋k 2 A(α1＋α2 )＝0，则 k 1α1＋k 2λ1α1＋k 2λ2α2＝0，即(k 1＋k 2λ1 )α1＋k 2λ2α2＝0．因为α1，α2线性无关，于是有当λ2≠0时，显然有k 1＝0，k 2＝0，此时α1，A(α1＋α2 )线性无关；反过来，若α1，A(α1＋α2 )线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1＋α2 )＝λ1α1，线性相关)，故应选B．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.已知λ＝12是A a＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为λ＝12是A的特征值，因此｜12E－A｜＝0，即｜12E－A9(4－a)＝0 所以a＝4．11.设A是3阶矩阵，如果矩阵A的每行元素的和都是2，则矩阵A必定有特征向量 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，1) T）解析：解析：已知矩阵A的每行的元素的和都是2，因此有即，也就是矩阵A必定有特征向量(1，1，1) T．12.设α＝(1，－1，α) T，β＝(1，a，2) T，A＝E＋αβT，且λ＝3是矩阵A的特征值，则矩阵A 属于特征值λ＝3的特征向量是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k(1，－1，1) T，k≠0）解析：解析：令B＝αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα＝a＋1，由此可知矩阵B的特征值为a＋1，0，0．那么A＝E＋B的特征值为a＋2，1，1．因为λ＝3是矩阵A的特征值，因此a＋2＝3，可得a＝1．那么就有Bα＝(αβT)α＝α(βTα)＝2αα＝(1，－1，1) T是矩阵B属于特征值λ＝2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ＝3的特征向量．13.已知矩阵A a＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－2）解析：解析：因为｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－3) 2．所以矩阵A的特征值分别为2，3，3，可见矩阵A的特征值有重根，已知矩阵A和对角矩阵相似，因此对应于特征根3有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E－A)χ＝0有两个线性无关的解，因此矩阵3E－A的秩为1．3E－A＝因此可见a＝－2．14.已知矩阵A a＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－1）解析：解析：A的特征多项式为｜λE－A｜＝＝(λ＋1) 3．所以矩阵A的特征值是－1，且为3重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，即 r(－E－A)＝＝1，因此a＝－1．15.已知矩阵A A的三个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为如果矩阵A有n个不同的特征值，则对应的n个特征向量是线性无关的．已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量．由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知1＋2＋3＝3λ，进一步可知λ1＝λ2＝λ3＝2．16.已知A3个线性无关的特征向量，则χ＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由A的特征方程｜λE－A｜＝＝(λ－1)(λ2－1)＝0，因此A的特征值是λ＝1(二重)，λ＝－1．因为A有3个线性无关的特征向量，因此λ＝1定有两个线性无关的特征向量，因此必有r(E－A)＝3－2＝1，根据 E－A＝，因此χ＝0．三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷1
考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
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[小题体验]
1．矩阵 M ＝－12
6 －6
的特征值为__________．
解析：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝λ－21 －λ＋66＝(λ＋2)
(λ＋3)，令 f(λ)＝0，得 M 的特征值为 λ1＝－2，λ2＝－3.
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法二：利用逆矩阵公式，对矩阵 A ＝ac db：
①若 ad－bc＝0，则 A 的逆矩阵不存在．
②若 ad－bc≠0，则 A －1＝ad－－dcbc
ad－bc
ad－－bbc a
.
ad－bc
[即时应用]
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1
已知A ＝
0
012
，B
＝10
－23
1 .
－2 1
答案： 5 3
－23
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2．已知矩阵 A ＝a1 －24的一个特征值为 λ，向量 α＝－32
是矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为 A α＝λα，所以a1
2 －4
－23＝λ－23，
即22－ a＋6＝ 12＝2λ，－3λ， 解得aλ＝＝－－23，， 所以 a＋λ＝－3－2＝－5.
答案：－5
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
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考点一 求逆矩阵与逆变换
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
已知矩阵
A
＝
2 1
1 3
，B
解得λa＝＝41，.
答案：1
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必过易错关
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1．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当ca db中 ad－bc≠0 时，
最基本题型及例题解析-特征值与特征向量
1
(2 )
1 (2 )( 1)2,
展开
4 3
1 1( 二重),2 2 是A 的所有特征值.
解 | A E | (2 )( 1)2,
1 1( 二重),2 2 是A 的所有特征值.
解A( A的XE属1)于X(特10征,得值2,基1)1T础, 解1 的系所有特征向x124量xx11为x3k2xXx2012(k0,0, 0).
A2 2A 3E 的特征值为 6,2,3 ,| A | 2 , | A1 | 1 2,| A2 2 A 3E | 36 .
2 1 1
例
设矩阵A
0 4
a 1
0 3
的特征值为
1, 2, 2,
则a 2 .
3. 矩阵对角化.
4 2 2
解( A A
的 2属EX于)2X特(0征0,0值得,1)基T2,础 2解的系所有特征向x134量xx为 110kxxX222(k00,,
0).
2. 利用性质求特征值.
例 设3阶矩阵A 的特征值为 1,1,2, 则A3 的特征值为 1,1,8 , A1 的特征值为 1,1,1 2 ,
例
设矩阵A
2 2
4 2
2 4
,
试求一个可逆矩阵P
和
一个对角阵 使得P 1AP .
4 2 2 解 | A E | 2 4 2
2 2 4
8
c1 c2
8
c1 c3
8
2
4
2
2
1
2 (8 ) 1
4
1
2
第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量
2
[a 2 , b1] b1
2
2
b1
b1 +
[a 3 , b2] b2
2
b2
b1= a1
[a 2 , b1 ] b1
2
[a 3 , b1] b1
b1
a 2 在 b1 上的 投影向量
a 3 在b1上的 投影向量
b1
例3
设 a 1 = (1, − 1, − 1) , 求求求向量
α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交。 两两正交。
正交单位向量组： 两两正交， 正交单位向量组： 求求实向量 α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交， 标准正交向量组） 且每个向量长度全为1。 （标准正交向量组） 且每个向量长度全为 。
1( i = j ) 即 (α i ,α j ) = 0( i ≠ j )
1 0 1 0 1 0
x1 = −x3 , ∴ x2 = 0.
−1 取 a3 = 0 即可 即可. 1
− 1 令 x3 = 1，得基础解系 ξ = 0 . 1
2. Schmidt正交化、单位化法。 正交化、单位化法。 正交化 定义5： 定义 ： 正交向量组： 正交向量组：求求实向量
定理：正交向量组是线性无关的。 定理：正交向量组是线性无关的。
线性无关。 设a1 , a 2 , L , a r 为正交向量组 , 则a1 ,L, a r 线性无关。 定理 T 证 设λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ r a r = 0 两端左乘 a 1 : T T T T ⇒ λ1 a 1 a 1 = 0 ⇒ λ1 a1 a1 + λ 2 a1 a 2 + L + λ r a1 a r = 0
第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ212222111211称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性 即A A ~;(2)对称性 若B A ~,则A B ~;(3)传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为 ⎪⎭⎫⎝⎛221211A OA A , 其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .推论 若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λA是*A 的特征值;④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λA、)(0λP 的特征向量.)6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质若A ～B ,则(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化;)3(*实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.例题解析例1 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量α为( ).(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(解 根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA , 所以,=α()T 0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ).例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关解 对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a解 在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).例4 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解 矩阵A 的特征多项式为 )2)(3(2221-+=+-=-λλλλλA E ,故A 的特征值为31-=λ,22=λ.因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ). 例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .解 因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有XAX λ=,于是有XX A λ11=-,X AX A A X A λ==-1*,X X A kkλ=,从而推得1-A的特征值为λ1,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从而可写出各自具体内容.应填6-;31,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .解 由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为23,2,1--,所以 3)23()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.解 由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162===A A A AA T T .因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则αααααα3133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,又因为0≠A ,所以11,31-*-=-=AA A A A A αα,故αα34=*A ,可知*A 的特征值为34.应填34.例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证 反证法.设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.例9 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式)1()2(110201122--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(,因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,由此可得同解方程组 ⎩⎨⎧==+00231x x x ,取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常数).对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E , 由此可得同解方程组 032=+x x . 取自由未知量⎪⎪⎭⎫⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫⎝⎛10可得方程组的基础解系TT-==)1,1,0(,)0,0,1(32αα于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.例10 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值. 解 A 的特征多项式12122212221r r A E ++-+---+=-λλλλ12211221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ.所以,A 的特征值为1,1,5-.由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,51-,于是1-+A E 的特征值为2,2,54.例11 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解 A 的特征多项式为λλλλ0111-----=-y xA E )1()1(2+-=λλ,所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ. 只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵A E -⋅1的秩等于1. 因为A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1010101y x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000101x y ,只要满足0=+y x 即可.例12 设向量TK )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量,试求常数K 的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论.解 设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121112111211K Kλ, 由此,得方程组 ⎩⎨⎧=+=+KK K )22(1)3(λλ,其解为11=λ,21-=K ;412=λ,12=K .于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎝--=a c b A 0135,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵 *A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0λ的值.解 由题设知E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有0λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111101351a c b c a . 得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2(1)1(000a c b c a λλλ.由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ00A , 即A 为数量矩阵.证 设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1εn εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有 i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001i niiii i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝=n A λλ02 . 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值.证 如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .即AB 与BA 都有特征值0.当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得)()(0αλαB B BA =.令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似解 由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).例17 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ). (A )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3001200121A(B )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000200122A (C )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000201023A(D )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3110210024A 解 因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E , 于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A 不与A 相似.对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).注 矩阵A 对角化的步骤:(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求: (1)B 的特征值;(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵; (3)行列式E A B 2-和的值.解 设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则 λαα=A , )0(≠α. 所以αλαλα22==A A ,αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300080001. 于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .又因为)2(E A A B -=,所以46242=--==-AB E A .例19 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3212A ,求100A .分析 直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式)4)(1(2212--=----=-λλλλλA E ,故A 的特征值为11=λ,42=λ.当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α. 当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A 因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100PP A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A . 解 因为可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , 则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3000300061AP P . 故A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/130030006111201111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有 1555555555332336336⨯=⨯⨯==Λ=A .*例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .解 设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即 ⎩⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a ,解之可得 2c a =,c b =,c c =.令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α. 取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-221122212911P. 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2411AP P , 所以1241-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ241, 故5A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221122212913210241212221122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2110000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ; (2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得11130000310013-----y ()02811133113=-=-----=y y .所以2=y .(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445112A ,只要将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由0910544521=+-=----=-λλλλλA E ,得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=111α, ⎪⎭⎫⎝⎛=112α.单位化⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11212β. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121212111P 使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9111)()(AP AP T .注 由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.证 必要性因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA . 而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =. 充分性设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有 )()()(αλααB B A A B ==.若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量. 总之,A 的特征向量也是B 的特征向量.例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵 ⎪⎭⎫⎝⎛B OO A 与⎪⎭⎫⎝⎛D OO C 相似. 证 由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=. 取⎪⎭⎫⎝⎛=Q OO P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---111Q O O P X.这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q OO P B OO AQ O O P X B OO A X111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--D OO C BQ Q OOAPP 11, 即⎪⎭⎫⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫⎝⎛D O O C相似. 例25 设 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b aA 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.证 因A 的特征多项式 dcbaA E ----=-λλλ)()(2bc ad d a -++-=λλ,其判别式04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.练习题一.是非题1.( )A 是n 阶方阵,若有数λ与n 维列向量α满足λαα=A ,则λ是A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量.2.( )若21,αα是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则21,αα一定线性无关.3.( )若21,αα是两个线性无关的特征向量,则它们一定是分别属于不同特征值的特征向量.4.( )若1α是A 的属于1λ的特征向量,则1αK 也是A 的属于1λ的特征向量.5.( )A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量.6.( )A 与T A 有相同的特征多项式.7.( )方程O X A E =-)(0λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量.8.( )若21,αα为方程O X A E =-)(0λ的一个基础解系,则2211ααc c +(,1c 2c 为非零常数)是A 的属于特征值0λ的全部特征向量.9.( )设21,αα为A 的二个特征向量,则2211ααc c +(21,c c 不全为零)也是A 的特征向量.10.( )若矩阵A ,B 有相同的特征多项式,则A ～B .11.( )若A ～B ，则存在唯一的可逆阵P ,使B AP P =-1. 12.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征值. 13.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征向量. 14.( )若A ～B ,则B E A E -=-T λλ.15.( )若A ～B ,则)(A E -λ～)(B E -λ.16.( )若矩阵A 有三重的特征值,则A 一定不能对角化. 17.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个特征值.18.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个线性无关的特征向量. 19.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则T A 有n 个相异的特征值. 20.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个不同的特征向量. 二.填空题1.设三阶矩阵A 的特征值为1-,1,2,则1-A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,)3(A E +的特征值为 .2.设三阶方阵A 有三个特征值1λ,2λ,3λ,如果36=A ,21=λ,32=λ则=3λ .3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=160420125A , 则A 的三个特征值的和是 ,积是 .4.已知三阶方阵A 有三个特征值1-,1,2,22)(2+-=x x x f ,则)(A f 的特征值是 ,=)(A f .5.设三阶矩阵O A =,则A 的全部特征向量为 .6.设A 为n 阶方阵,O AX =有非零解,则A 必有一个特征值是 .7.若A ～E ,则=A .8.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123122与⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321相似,则=x .9.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y 3122与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321相似,则=x ,=y .10.设二阶实对称矩阵A 的特征值为1,2;对应于特征值1的特征向量为T-=)1,1(1α,则A 的对应于特征值2的特征向量=2α . 三.单项选择题1.设A 为n 阶方阵,以下结论中成立的是( ).(A )若A 可逆,则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值λ1的特征向量(B )A 的特征向量即为方程O X A E =-)(λ的全部解 (C )A 的特征向量的线性组合仍为特征向量 (D )A 与T A 有相同的特征向量2.可逆矩阵A 与矩阵( )有相同的特征值. (A )T A (B )1-A (C )2A (D )E A +3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=53342111a A ,且A的特征值为61=λ,232==λλ如果A 有三个线性无关的特征向量,则a 为( ).(A )2 (B )2- (C )4 (D )4- 4.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是( ). (A )数量矩阵)1(≠K KE(B )对角矩阵Λ(主对角元素不为1) (C )E(D )任意n 阶可逆矩阵5.设B A ,均为n 阶矩阵,并且A ～B ,则下述结论中不正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B )B A = (C ))()(B r A r = (D )1-A ～1-B6.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300020001,则下列各矩阵中是可逆矩阵的为( ).(A )A E + (B )A E - (C )A E -2 (D )A E -37.设A ,B 为n 阶矩阵,且A 可逆,A ～B ,则下列结论中正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征向量 (B )A ,B 都相似于一个对角矩阵 (C )AB ～BA (D )BA AB = *8.下列矩阵中,不是正交矩阵的为( ).(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001(B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos (C )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23212123(D )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-122221 四.计算题1.求矩阵A 的特征值和特征向量(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ;(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101410213A ;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a A;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120A .2.判断下列矩阵是否与对角矩阵相似,如果可与对角矩阵相似,试求出可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6123020663A ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=022242111A ; (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=266157113A . 3*.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=124222421A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q 1-为对角形矩阵.4.设B AP P =-1,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112012001P ,求A 和5A .5.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为T =)1,1,1(1α,T=)1,0,1(2α,T =)1,1,0(3α,试求矩阵A .6*.设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3;属于特征值2,1的特征向量分别为T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α.(1)求属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A .7*.设三阶实对称矩阵A 的特征值11-=λ,132==λλ,A 的对应于1λ的特征向量为T =)1,1,0(1α,求A .8*.设二阶实对称矩阵A 的一个特征值为１,A 的对应于特征值1的特征向量为T )1,1(-.如果2-=A ,求:(1)A 的另一特征值和对应的特征向量; (2)正交矩阵AQ Q Q 1,-使为对角矩阵; (3)矩阵A . 五.证明题1.设0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,试证:(1)220A 是λ的特征值; (2)0λ-k 是矩阵A kE -的特征值 (k 为常数); (3)如果A 可逆,则11-A是λ的特征值;(4)如果A 可逆,则*AA是λ的特征值.2.若n 阶矩阵A 满足A A =2,则称A 为幂等矩阵.试证:幂等矩阵的特征值只能是1或零.3.设1λ,2λ为A 的两个不同的特征值,且21,αα分别是属于21,λλ的特征向量.试证21,αα线性无关.4.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值等于43.5*.设A 为正交矩阵,若1-=A ,试证明A 一定有特征值1-.6*.设A 为正交阵,试证明:A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.7.设A ,B 均为n 阶矩阵,A ～B ,试证:k A ～k B (k 为正整数).8*.设A ,B 为两个实对称矩阵,证明:存在正交矩阵Q ,使B AQ Q =-1的充分必要条件是A ,B 具有相同的特征值.。
考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题后含
考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( ) A．[α1，-α2，α3]．B．[α1，α2+α3，α2-2α3]．C．[α1，α3，α2]．D．[α1+α2，α1-α2，α3]．正确答案：D解析：若P-1AP=A=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA．即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关．若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确．对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )A．λ-1｜A｜B．λ-1｜A｜C．λ｜A｜D．λ｜An｜正确答案：B解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有Ax=λx．上式两边左乘A*，并考虑到A*A=｜A｜E，得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，从而可见A*有特征值所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值．B．至少是A的二重特征值．C．至多是A的二重特征值．D．一重、二重、三重特征值都有可能．正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)-1的特征值．因此的特征值为．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．三阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )A．秩r(A)=0B．秩r(A)=1C．秩r(A)=2D．条件不足，不能确定正确答案：D解析：考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )A．λE-A=λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似．正确答案：D解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D正确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P-1AP=B 于是P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE- B．可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )A．充分必要条件．B．必要而非充分条件．C．充分而非必要条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B解析：由A-B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P-1AP｜=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜即A 与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题8．设A是3阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______正确答案：t(-1，0，1)T，t≠0解析：设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有所以可知x1=-t，x2=0，x3=t．所以对应于特征值2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________正确答案：1解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(0，2α1+α2)=(α1，α2)记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵．因此，则A与B相似，从而有相同的特征值．因为所以λ=0，λ=1．故A的非零特征值为1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵必有一个特征值为_________正确答案：解析：根据矩阵特征值的特点，A有特征值-3，所以有特征值知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_______正确答案：2解析：因为αTβ=2，所以βαTβ=β(αTβ)=2×β，故βαT的非零特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=__________正确答案：-1解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=-1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是-24，则b=________正确答案：-3解析：已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此a+3+(-1)=∑λt=3，所以a=1．又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b=-3．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．设A=有二重特征根，则a=________正确答案：解析：=(λ-2)(λ2-2λ-2(a-2))=0．如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2-2λ-2(a-2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2-2λ-2(a-2)=0是完全平方，则有(λ-1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时-2(a-2)=1，即a= 知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章矩阵的特征值与特征向量5.1矩阵的特征值与特征向量一、基本概念定义5.1设A 为n 阶矩阵，l 是一个数，如果存在n 维非零向量a ，使得A a la =，则称l 是A 的一个特征值，向量a 称为矩阵A 对应于特征值l 的特征向量.例如311,2,131A l a -æöæö===ç÷ç÷-èøèø可以验证31121213121A a -æöæöæöæö===ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøèøèø所以，2l =是A 的一个特征值，a 是A 对应于特征值2l =的特征向量。
特征值和特征向量的性质：如果a 是A 的对应于特征值l 的特征向量，则(0)k k a ¹也是A 的对应于l 的特征向量。
如果12,a a 都是A 的对应于特征值l 的特征向量，则1122(0)k k a a +¹也是A 的对应于l 的特征向量。
因为11221122()()A k k k k a a l a a +=+.由此可知A 的属于同一个特征值l 的有限个特征向量的非零线性组合仍然是矩阵A 的属于l 的特征向量。
注：矩阵A 的对应于一个特征值的特征向量有无限多个，但是A 的同一个特征向量不可能属于两个不同的特征值。
二、特征值和特征向量的计算由A 的特征值和特征向量的定义知A a la=或()0E A l a -=由于0a ¹，这说明a 是齐次线性方程组()0E A X l -=的非零解.根据齐次线性方程组有非零解的充要条件得到E A l -=这是一个关于l 的n 次方程，它的根与矩阵A 的特征值是一一对应的.所以我们有如下的定义.定义5.2设A 为n 阶方阵，含有未知量l 的矩阵E A l -称为A 的特征矩阵；特征矩阵的行列式E A l -是一个关于l 的n 次多项式，称为A 的特征多项式；0E A l -=称为A 的特征方程.特征方程的根也称为A 的特征根，其实就是A 的特征值。
三阶矩阵的特征值和特征向量
三阶矩阵的特征值和特征向量矩阵是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
它的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，可以帮助我们理解矩阵的变换和性质。
让我们来了解一下什么是特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ为一个常数，那么λ就是矩阵A的一个特征值，v就是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换。
特征向量是在变换后方向不变的向量，而特征值则表示了这个特定方向上的缩放比例。
可以说，特征向量是矩阵变换中的“骨架”，而特征值则是矩阵变换的“尺度”。
举个例子来说明。
假设我们有一个3阶矩阵A，它描述了一个三维空间中的线性变换。
通过计算矩阵A的特征值和特征向量，我们可以得到这个变换的一些重要信息。
我们计算矩阵A的特征值。
特征值代表了变换中的尺度变化。
假设我们得到的特征值为λ1、λ2和λ3，其中λ1>λ2>λ3。
这表示在变换中，λ1对应的特征向量所代表的方向是变换的主要方向，λ3对应的特征向量所代表的方向是变换的次要方向。
接下来，我们计算矩阵A对应特征值λ1的特征向量v1。
这个特征向量代表了变换中的一个固定方向，不管怎么进行变换，这个方向上的向量都不会改变方向，只会在尺度上发生变化。
这个特征向量可以帮助我们理解变换中的对称性和对齐性。
类似地，我们可以计算矩阵A对应特征值λ2和λ3的特征向量v2和v3。
这些特征向量代表了变换中的次要方向，可以帮助我们理解变换中的拉伸和挤压。
通过分析特征值和特征向量，我们可以更好地理解矩阵的变换性质。
特征值和特征向量在计算机图形学、量子力学等领域中有着广泛的应用，帮助我们解决各种实际问题。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，可以帮助我们理解矩阵的变换和性质。
通过计算特征值和特征向量，我们可以获得关于变换的重要信息，从而更好地理解和应用矩阵。
矩阵基础知识
矩阵基础知识贺国宏 编为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以下所述矩阵的基础知识，同时，学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。
1、矩阵的秩定义：矩阵A 的最大线性无关的行(列)向量的个数r ，称为矩阵A 的行(列)秩。
由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。
对于矩阵的秩有性质：{})(),(m in )(B R A R AB R ≤(1)2、矩阵的迹定义：方阵A 的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为∑==ni ii a A tr 1)((2)对于矩阵的迹有下面的性质：(1) tr (A T )=tr (A)(3) (2) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) (4) (3) tr (kA)=k tr (A) (5) (4) tr (AB)=tr (BA)(6)3、矩阵的特征值和特征向量定义：对于n 阶方阵A ，若存在非零向量χ，使得x x λ=A(7)则称常数λ为矩阵A 的特征值(或特征根)，而χ称为矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
由此可得=-χ)(A E λ0(8)因此，该齐次线性方程有非零解的条件是0)(0111=++++=-=--a a a A E f n n n λλλλλΛ(9)称λE-A 为矩阵A 的特征矩阵，而f (λ)为矩阵A 的特征多项式。
显然，矩阵A 的特征根),,2,1(n i i Λ=λ为特征方程(9)的根。
应该指出，对于一般的实矩阵A ，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。
以后将会看到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。
这一点是很重要的。
特征值和特征向量具有下列性质：(1) 设n λλλ,,,21Λ为n 阶方阵A 的n 个特征值，则：A K 的特征值为kn k k λλλ,,,21Λ A -1的特征值为11211,,,---n λλλΛ(2) tr (A)=n λλλ+++Λ21 =A n λλλΛ21⋅(3) 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
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1 1 a 1 1 1 a
1
A 1 a 1 1 0 a 1 1 a 0 a 1 1 2 0 1 a 1 a2 a 2
1 1
a
1
0 a 1
1 a
0
0 0 a 1a 2 a 2
＿
当 a＝1 时，则 r（A）＝1≠r（A）＝2，此时方程组无解；
＿
当 a＝－2 时，则 r（A）＝r（A）＝2＜3，此时方程组有无穷多解，所以 a＝－2。
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第五章 矩阵的特征值和特征向量
解答题
2 1 1
→
1．设矩阵
A
1 1
2 1
1 a
可逆，向量α＝（1，b，1）T
是矩阵
A*的一个特征向量，λ
是 α 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，求非零实数 a、b、λ。
→
是二重特征值，知矩阵 2E－A 的秩为 1，即 2E－A 的任意两行元素都成比例。所以有
得 x＝2，y＝－2。
1 1 1
2E
A
x 3
2 3
y 3
→→
→
→
与（2E－A）x＝0同解的方程组为 x1＋x2－x3＝0，解得ξ1＝（－1，1，0）T，ξ2＝（1，
0，1）T 为矩阵 A 的属于特征值 λ＝2 的特征向量。
3 / 20
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→
→
xn＝0 同解，其基础解系为 n－1 个 n 维列向量，ξ2＝（－1，1，0，…，0）T，ξ3＝（－1，
→
0，1，0，…，0）T，…，ξn＝（－1，0，0，…，1）T，所以属于矩阵 A 的特征值 λ2＝λ3
考研数学三(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学三（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：解一由题设有Aα=λα，且AT=A，令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT，故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边左乘PT，得到B(PTα)=λPTα．又PTα≠0．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即α=0．这与α≠0矛盾，故PTα为矩阵B=(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．解二用定义(P-1AP)TX=λX判别．当X=PT α时，计算(P-1AP)T(PTα)时看其是否为P-1Tα的λ倍．事实上，有(P-1AP)T(PTα)=PTA T(P-1)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PT(Aα)=λPTα．又PTT ≠0．因而PTT是(PTAP)-1的属于特征值λ的特征向量．解三为检验选项中4个向量哪个是特征向量，只需检验哪个向量是齐次方程组[(P-1AP)T－λE]X=0的非零解向量．事实上，令X=PTT，有[(P-1AP)T－λE](PT α)=[PTA(PT)-1PTα－λPTα]=PTAα－λPTα=λPTα－λPTα=0．易验证(A)、(C)、(D)中向量均不满足上述方程．又PTα≠0．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A－1与B－1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A－1与B+B－1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P－1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P－1AP)T=PTAT(P－1)T=[(PT)－1]－1AT[(PT)－1]故AT与BT相似．选项(A)正确．在式①两边求逆运算得到B－1=(P－1AP)－1=P－1A－1(P－1)－1=P－1A－1P．②故A与A－1相似．选项(B)正确．由式①+式②得到B+B－1=P－1AP+P－1A－1P=P－1(A+A－1)P，故A+A－1～B+B－1．选项(D)正确．仅(C)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的是( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵[*]则[*] 所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE－M)=秩(E－M)=2．设选项(A)、(B)、(C)、(D)的矩阵分别记为A、B、C、D，容易计算出其特征值均为1，且秩(AE－A)=秩(E－A)=2，秩(E－B)=秩(E－C)=秩(E－D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项(A)正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2017年] 已知矩阵则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由得秩(2E－A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由得秩(2E－B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令则因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则|2E—A|=2[22－(b+2)．2+2b一2a2]=2(－2a2)=0，故a=0．由λ=b为B的特征值知，λ=b也必为A的特征值，则|bE－A|=b[b2－(b+2)·b+2b]=b·0=0，即易可为任意常数．仅(B)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0．于是A 的特征值为－1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，由命题2．5．4．1(2)知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A 的秩也为3，于是A=diag(－1，－1，－1，0)．仅(D)入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．[2018年] 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=一α2+α3，则A的实特征值为__________．正确答案：2解析：由题设得因为[α1，α2，α,3]可逆，所以矩阵A与矩阵相似，故特征值相同，而所以A的实特征值为2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2015年] 设三阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式|B|=__________．正确答案：21解析：因A的特征值为2，－2，1，而B=f(A)=AT－A+E，故B的特征值分别为f(2)=2T－2+1=3，f(－2)=(－2)T－(－2)+1=7，f(1)=1T－1+1=1，故|B|=f(2)·f(1)·f(－2)=3×1×7=21．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于则k=_________．正确答案：2解析：解一因αβT相似于而利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．解二设A=αβT，λ为A的特征值，而故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．又A相似于对角矩阵由命题2．5．3．3(3)知，相似矩阵有相同的特征值，故A的特征值0，0，3，于是应有1+k=3，即k=2．注：命题2．5．3．3 设矩阵A=[aij]n×n与B=[bij]n×n相似，则(3)|λE－A|=|λE—B|，从而A与B有相同的特征值；(4)a11+a22+…+ann=b11+b22+…+bnn，即tr(A)=tr(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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1 0 1 0 1 0 0 0 0
T （，， 101 ） 对应于1 1 的全部特征向量为k （ ）得基础解 1 k 0
得基础解系1
4 1 1 A 2I 0 0 0 4 1 1
当2 3 2时，解方程 （A 2I）x 0
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不是
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命题1
非零n维向量x是n阶方阵A的特征向量的 充分必要条件是：向量Ax与x共线。
命题2 如果x是矩阵A的对应特征值的特征向量，
则kx （k 0）也是A的对应特征值的特征向量。
矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。
命题3
x 0， Ax 1x， Ax 2 x （1 2）x 0 1 x 2 x 0 1 2 0 x0
第三章
矩阵的特征值与特征向量
§1 方阵的特征值与特征向量 §2 矩阵的对角化
2018年12月23日星期日
1
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第1节
方阵的特征值与特征向量
2018年12月23日星期日
2
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3.1.1 特征值与特征向量的基本概念
设A是n阶方阵,如果存在n维非零列向量x和数 满足
称是矩阵A的特征值(eigenvalue)， 称x是矩阵A的对应于特征值的特征向量 (eigenvector)。
解
2 1 1 1 3 1 Ax1 4 0 2 2 6 3 2 3 x1 3 2 4 1 1 3
是
2 1 1 2 6 Ax2 4 0 2 1 2 3 2 4 3 4
0
ann
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2018年12月23日星期日
矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2
I A
A的特征矩阵 A的特征多项式 A的特征方程
I A
I A 0
特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。
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7
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求矩阵的特征值与特征向量的步骤
解 A的特征多项式为
2 0 4
1
1
A I
2 0 1 3
2
2 1 (2 ) 4 3
(2 )( 2 6 4) (2 )( 2 2)
( 1)( 2)
A的特征值为
2018年12月23日星期日
2018年12月23日星期日 5
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Ax x
( A I )x 0
要求实数与非零向量x.
它有非零解的充分必要条件是
A I 0
a11
即
a12 an 2
6
a1n a2 n
目录
a21 an1
a22
1.求矩阵A的特征方程 A I 0 2.求特征方程的根，即特征值 3.对每个特征值
( A I )x 0
( A i I ) x 0
便得属于
i解方程组
求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量
i
的全部特征向量。
8
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2018年12月23日星期日
例2：求矩阵的特征值和特征向量 2 1 1 A 0 2 0 4 1 3
系
r3 r1
对应于2 3 2的全部特征向量为
2018年12月23日星期日 10
4 1 1 0 1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 4
k22 k33 （k2，k3不同时为0）
x1 x2
对应的特征向量可取为
1 2 1
k （ ）是对应于1的全部特征向量 1 k 0 k（ ）是对应于2的全部特征向量 2 k 0
2018年12月23日星期日
x1 x2 0 x x 1 2 x x 0 1 2
11
1
x 3 2 2 0
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1 1 1
对应的特 征向量可 取为
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当2 4时
3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 x 1 3 4 2 0 1 1 x2 0
1 1, 2 3 2
9
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当1 1时，解方程 （A I）x 0
1 1 1 1 r3 4r A I 0 3 0 r 3 4 1 4 2
1 1 1 r1 r2 0 1 0 r3 3r2 0 3 0
定义3.1
Ax x
2018年12月23日星期日
3
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2 1 1 例1 A 4 0 2 3 2 4
1 x1 2 1
2 x2 1 3
验证x1，x2是否是A的特征向量。
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练习:求下列矩阵的特征值和特征向量
解
3 1 A 1 3
A的特征多项式为
( 2)( 4) A的特征值为 1 2, 2 4 当1 2时， 3 2 1 x1 0
即
3 1 2 2 (3 ) 1 6 8 1 3