数列极限的运算性质
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列的极限性质与计算方法
数列的极限性质与计算方法数列在数学中起着重要的作用，它们与极限的关系密切相关。
本文将介绍数列的极限性质以及常用的计算方法。
通过了解数列的极限性质，我们可以更好地理解和处理数学问题。
一、数列的极限性质数列的极限是指数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
数列的极限性质包括数列的有界性、单调性和收敛性。
1. 数列的有界性对于数列{an}，如果存在常数M，使得对所有的n，有|an| ≤ M，那么数列{an}是有界的。
数列的有界性是指数列中的所有项都不会无限增加或减小，而是有一个上界和下界。
2. 数列的单调性对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an ≤ an+1 或an ≥ an+1，那么数列{an}是单调的。
数列的单调性是指数列中的项是否按照一定的规律递增或递减。
3. 数列的收敛性对于数列{an}，如果存在常数L，使得当n趋向于无穷大时，an趋向于L，那么数列{an}收敛于L。
数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限值。
二、数列的计算方法在计算数列的极限时，我们常用的方法包括通项公式、夹挤准则以及数列的运算法则。
1. 通项公式有些数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以帮助我们计算数列的任意一项。
例如，斐波那契数列可以通过通项公式an = (φ^n - (1-φ)^n)/√5来计算。
2. 夹挤准则夹挤准则是一种常用的计算数列极限的方法。
如果存在数列{bn}和数列{cn}，满足对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且{bn}和{cn}的极限都为L，那么数列{an}的极限也是L。
3. 数列的运算法则数列的运算法则包括数列的加法、减法、乘法和除法的性质。
例如，如果数列{an}和{bn}都收敛于L，那么它们的和数列{an + bn}也收敛于2L。
总结：数列的极限性质和计算方法是数学中的重要知识点。
通过了解数列的有界性、单调性和收敛性，我们可以判断数列的特性。
在计算数列的极限时，可以运用通项公式、夹挤准则和数列的运算法则等方法。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
高中数学数列极限的性质与计算方法详解
高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。
在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。
本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。
2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。
例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。
3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。
二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。
2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。
例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。
3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
数列极限的性质与计算
数列极限的性质与计算数列是数学中一种重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数学中，我们经常会遇到数列的极限问题。
数列极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列的某个特定值。
本文将探讨数列极限的性质与计算方法。
一、数列极限的定义与性质数列极限的定义：设有数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε成立，那么数a就是数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
数列极限的性质：1. 极限的唯一性：如果数列{an}存在极限，那么该极限是唯一的，不会有其他极限存在。
2. 极限的有界性：如果数列{an}存在极限，那么这个数列必然是有界的，即对于某个正数M，对于任意的n，有|an|≤M成立。
3. 极限的保序性：如果数列{an}存在极限，且由an≤bn（n为任意正整数）可得an的极限不大于bn的极限；由an≥bn可得an的极限不小于bn的极限。
二、数列极限的计算方法根据数列极限的定义，可以通过以下几种方法来计算数列的极限。
1. 递推法：对于一些简单的数列，可以通过递推公式来计算其极限。
例如，斐波那契数列的递推公式是an = an-1 + an-2，初始值为a1=1，a2=1。
通过递推公式计算，可以得到斐波那契数列的极限为黄金分割比（约为1.618）。
2. 常用极限法则：利用一些已知的数列极限的性质，可以计算复杂数列的极限。
例如，对于数列an=(n+1)/(3n+2)，可以利用极限的四则运算法则，将该数列拆分成两个已知的数列的极限，从而计算得到极限为1/3。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的计算数列极限的方法。
它可以用来证明极限的存在，并且在计算极限时也非常有用。
夹逼准则的思想是通过找到两个数列，一个比待求数列始终大，另一个比待求数列始终小，且两个数列的极限相等，从而确定待求数列的极限。
例如，对于数列an=sin(πn/2)，可以利用夹逼准则证明其极限不存在。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性数列是数学中的一种常见概念，它由一系列有序的数字组成。
在数学中，研究数列的极限与收敛性是非常重要的。
本文将讨论数列的极限以及数列的收敛性，并通过例子来说明这些概念。
一、数列的极限数列的极限是指数列中的元素随着下标的增大或减小而逐渐趋于某个常数或无穷大的现象。
在数学中，我们用符号 lim 来表示数列的极限。
若数列 {an} 的极限为 A，我们可以用以下方式表示：lim(n→∞) an = A其中n→∞ 表示下标 n 趋于无穷大。
数列的极限可以分为有界收敛和无界发散两种情况。
1.1 有界收敛若数列 {an} 的极限存在，并且存在一个有限数 M，使得对于数列中的每个元素 a(n)，都有|a(n)| ≤ M 成立，那么我们称该数列是有界收敛的。
1.2 无界发散若数列 {an} 的极限不存在，并且对于任意的正数 M，存在某个下标 N，使得当 n > N 时，|a(n)| > M 成立，那么我们称该数列是无界发散的。
二、数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否趋于一个极限。
根据极限的存在与否，数列可以分为收敛数列和发散数列。
2.1 收敛数列若数列 {an} 的极限存在，并且该极限是一个有限数，那么我们称该数列是收敛数列。
2.2 发散数列若数列 {an} 的极限不存在，或者极限是无穷大，那么我们称该数列是发散数列。
三、数列极限的性质数列的极限有以下性质：3.1 极限的唯一性若数列 {an} 收敛，那么它只能有一个极限。
3.2 保号性若数列 {an} 收敛到 A，且 A > 0，那么对于足够大的 n，有 a(n) > 0；同理，若 A < 0，那么对于足够大的 n，有 a(n) < 0。
3.3 极限的四则运算若数列 {an} 和 {bn} 都收敛到 A 和 B，则有以下性质成立：a) lim(n→∞) (an + bn) = lim(n→∞) an + lim(n→∞) bn = A + Bb) lim(n→∞) (an - bn) = lim(n→∞) an - lim(n→∞) bn = A - Bc) lim(n→∞) (an * bn) = lim(n→∞) an * lim(n→∞) bn = A * Bd) lim(n→∞) (an / bn) = (lim(n→∞) an) / (lim(n→∞) bn) = A / B (若 B ≠ 0)四、数列极限的例子下面通过一些具体的数列来说明极限的概念。
数列极限的性质
N 当n N 时，有 xn 0 (或xn 0)
推论 对一切正整数 n ，xn 0 (或xn 0) 且 lim xn x ，则 x 0 (或x 0)
n
5.运算性质
定理5
若
lilim
n
bn
b
，则
1）
lim
n
an
bn
lim
n
使得
lim
n
an
c
小结
收敛数列的性质:有界性，唯一性，保号性等
练习题
设数列
xn
有界，又lim n
yn
0
，证明：lim n
x
n
y
n
0.
,这里r, s均为正整数
并且r s, ak ,bk都是与无关的数 , a0,b0都不为0
6.运算性质
定理6 设 是非空有上界数集 ，且 c sup
则必存在 an 使得an cn
推论 设 是非空有界集 ，c sup ，则
存在互不相同的数列，an an A
例如,
数列
xn
n; n1
有界
数列 xn 2n.无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间
[ M , M ]上.
定理3 收敛的数列必定有界. 证明：
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论 无界数列必定发散.
4.保号性
定理4
若
lim
n
xn
x, x 0
(或x
0)
，则存在正整数
定理2 若数列xn 收敛于a ，则它的任一子数列 也收敛，且极限也是a
数列的极限、性质及运算
【11】
PAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有|xna|<, 则记 ln i 为 m xna.
例1.
若xn=c
(常数),
则
lim c
n
c
证: >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0
取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0<
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有|xna|<, 则记 ln i 为 m xna.
比如, 对于刚才的数列1. 有 lim(1 1) 1 n n
nl im(n1)n 0, 而 nl i m (1)2n1和 nl i m n2不存 . 在
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
不一定取最小的故N也. 可取
N[
1
]
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
【14】
机动 目录 上页 下页 返回 结束
PAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED
1
0,欲使
即
只要
n
1
因此 , 取 N [ 1 ] , 则当 nN时, 就有
n(1)n 1
n
故
nl i m xnnl i m n(n1)n1
LISP 主导国际科技专家
Leading International Scientific Professional
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。
数列极限的性质和运算法则
lim
n
xn
A
A0
1)
xn yn ,
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
A B
2) 问题 条件中 xn 0 改为 x >0 ,结论能否 A >0 ?
子列 数列{xn } 中的无穷项，它们下标依次为
n1 n2 nk
则称数列 xn1 ,xn2 ,,xnk ,为{xn}的子列 ，记为 {xnk }
2.2.1 性质
惟一性
lim
n
xn
A,
lim
n
xn
B
A B
有界性
lim
n
xn
A
M 0 : xn M
(n N )
保号性
lim
n
xn
A
0
N N:
n
N,
xn
A 2
推论(保序性）
若{xn } ， N N+ ：当n > N 时，xn 0, 且
H.W
习题2 12 (1)(3)(4)(5)(8) 补： lim n( 2n2 1 2n2 1)
n
本节要点
极限的性质 重点是了解这些性质的含义
熟练掌握与应用极限运算法则
了解典型习题的结论和做法 (变无穷为有穷) 1）改变表达式 2）在∞/∞类型时，找出分子、分母中的最大量 级项，通过除法去掉∞
y n n
B
开方运算
lim
n
xn
A
lim
数列与函数的极限公式概念
- 1~
1 x 1 x ~ x, (1 x) 1 ~ x ．
▪无穷大：函数无穷大 无界 x 时,若 fx 为无穷大,则 为无穷小；
x 时,若 fx 为无穷小,且在 的某去心邻域内 fx 注：分母极限为 0,不能用商的运算法则
, 则 为无穷大.
▪初等函数： 连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f = .
零点定理根的存在性定理：若函数 fx 在闭区间 a,b 上连续,且 fa 与 fb 异号 fa fb ,在开区
间 a,b 内至少存在一点 ,使得 f =0
求极限：洛必达法则： 1、0/0 型： 方法：将分子分母分解因式消去公因子
或者将分子有理化有理化,再求极限; 1、 方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂;
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪函数极限
=A 的充分必要条件是
=
=A
▪分段函数极限与该点有无定义无关,只与左右极限有关.
即
=
▪函数极限的性质：
1 极限的惟一性：若函数 fx 当 或 时有极限,则其极限惟一.
▪极限运算法则： 设 limfx=A,limgx=B,则
1limfx
=A B
2limfxgx=AB
▪在某个自变量变化过程中 limfx=A 的充要条件是 fx=A+ x. 其中 x 是该自变量变化过程中的 无穷小量.
▪无穷小的比较：设 = x , = 都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若 lim =c c ,是常数,则称 与 是同阶无穷小. 2.若 lim =1,则称 与 是等价无穷小,记作 ~ . 3.若 lim =0,则称 与 是高阶无穷小,记作 =o
极限
数列极限 一、数列极限1定义：对于一个无穷数列：}{n a ，*∈N n ，如果当∞→n 时，a a n →（a 为常数），我们就说当∞→n 时，}{n a 以a 为极限；记作：lim n n a →∞，即lim n n a →∞=a 。
对定义的理解：① 无穷数列才谈极限； ② 存在极限的数列的极限为常数；③ lim n n a →∞=a ⇔当∞→n 时，当∞→n 时，0→-a a n2、性质定理：设}{n a 、}{n b 为两个无穷数列，且}{n a ⊆}{n b ，那么lim n n a →∞=a ⇔lim n n b →∞=a 3、常用基本数列极限： ①lim n C →∞=C , ②1lim0n n→∞= ③lim 0(1)n n q q →∞=<4、极限的四则运算：如果lim n →∞a n =A ，lim n →∞b n =B ，那么①lim n →∞(a n ±b n )=A ±B ②lim n →∞(a n ·b n )=A ·B ③limn →∞n n b a =BA(B ≠0) 理解：数列极限运算法则运用的前提: ① 参与运算的各个数列均有极限;② 运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用，而应该先化简（或计算） ③极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….④极限的四则运算还可以推广，如：n n n n a a ∞→∞→=lim lim A =5、题型、思维、方法、技能点拨：1∙数列极限的基本类型①“∞∞”型无穷数列的极限 如：1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322lim n n n n n→∞+++= 2、135(21)lim 2462n n n →∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________；21124......25lim 54n nn n n ++→∞++++-+=处理思路：转化，转化为可以直接利用“四则运算”及基本极限的情形12c c ∞⎧→⎪∞⎨⎪⎩目标：手段：手段：分子分母同时约去分母的"最高"无穷大②“∞-∞”如：（1） lim n →∞(1223-n n -122+n n ) （2）4)n n →∞处理思路：③“0⋅∞”如： lim n →∞[n (1+n -n )]处理思路：④其它：“00”、“1∞”、“0∞”等 2∙含参数的极限问题①已知a 、b 是互不相等的正数，则=+-∞→nnnn n b a b a lim②已知2231lim(4)n n cn n an bn→∞++-+=5，求常数a 、b 、c 的值6、课堂练习 1求下列极限(1)lim n →∞(3261n n --261n n +) (2)lim n →∞1+n -n )](3)lim n →∞(21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim n →∞)1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1)2、已知2231lim(5)n n cn n an bn→∞++-+=5，求常数a 、b 、c 的值。
数列极限地运算法则
3 5
n
n
1 9
0
方法小结：
lim
n
kpn tpn
cqn dqn
1、如果 p q ,那么分子、分母同除以pn; 2、如果 p q ,那么分子、分母同除以qn;
再利用lim rn ,求极限值. n
例3：计算下列数列的极限：
(1) lim(1 2 3 2010) 0
n n n n
lim1 lim 1
n
n n n
(2) lim 2n 1
2 1 lim n
n 3n 2 n 3 2
lim(2
n
1) n
2
lim(3 2) 3
(3) lim 2n 1 n n2 3n
n
lim
2 n
1 n2
n 1 3
n
lim( n
2 n
nn12
)
lim(1 3)
0
n
n
n
(4) lim n2 2n 3 n 2n2 3n 7
(7) 1 6
a 1 (8) b 1
(9)
2 5
,
4 5
(10) 0,4
(11) 1 3
例7、计算下列数列的极限：
(1) lim n
n 1 n2
n
lim
n n
1 1 1 n
1 2 1 n
lim ( n 1 n)( n 1 n) n ( n 2 n)( n 1 n)
lim
1
练习：
书 P-42 练习 7.7（3） 书 P-44 练习 7.7（4）
作业：
一课一练： P-28 练习 7.7（3） 一课一练： P-30 练习 7.7（4）
作业：
数列极限的性质
并且 r ≤ s , ak , bk 都是与无关的数 , a0 , b0都不为 0
6.运算性质 运算性质
定理6 定理 设
Α
是非空有上界数集 ，且 且
c = supΑ
推论
设
Α
是非空有界集 ， = supΑ Α ，则 c
n →∞
存在互不相同的数列， 存在互不相同的数列，{a n }(a n ∈ A) 使得 lim a n = c
且
N
当n > N 时，有 x n
推论 对一切正整数
n→∞
lim xn = x ，则
n ，x n > 0 (或xn < 0) x ≥ 0 (或x < 0)
5.运算性质 运算性质
lim 定理5 定理 若 n →∞ a n = a ， lim bn = b ，则 n →∞
1） ） 2） ） 3） ）
lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b
3.有界性 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自
然数 n, 恒有 x n ≤ M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 例如 数列 x n = ; 有界 数列 x n = 2 n .无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
n →∞ n →∞ n →∞
lim ( ka n ) = k lim a n = ka 其中k为常数
liman bn = liman limbn = a b
n→∞ n→∞ n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
4） lim a n = a ）
数列极限的运算性质
极限的运算教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：n n 1lim∞→=0，∞→n lim C=C ，∞→n lim q n=0（|q|<1）来解决。
例1：求下列极限：14537lim )1(323-++-∞→n n n n n师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n 3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n →∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[]．的值是[]．A．2B．-2C．1D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．第二课时数列极限的运算性质教学目标：1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e教学过程：一、数列极限的运算性质如果lima n=A，limb n=B，那么（1）lim(a n+b n)= lima n+ limb n =A+B（2）lim(a n-b n)= lima n- limb n =A-B（3）lim(a n•b n)= lima n• limb n =A•B（4）lim(a n/b n)= lima n/ limb n =A/B（B≠0，b n≠0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。
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极限的运算教学目标1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限.2 •理解和掌握三个常用极限及其使用条件•培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力.3•正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想.教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件.教学过程（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个例1 ：求下列极限:3^27n 3n (1) limn师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限.7- 0+ 0^- 0 7师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥"心0师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样.常用极限:1lim — =0,limC=C ,lim q n=0 (|q|<1 )来解决。
n4n3 1,3157 ----- 1 -------- p—解‘原式牡叮山lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~?lim4 -IL-KX*nf gfi解：原式=lim肮—CO孑Z怕I?丿Mi）1z 0-1 3-lim Il旳生；不能-因为limq" = 0中!时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列£} 的极限问题.% rr^w师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、判断正误.0^~ 31-0 1师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限?|q|<l-而^>1（二）先求和再求极限例2求下列极限：由学生自己先做，教师巡视.解法li 原式=lim +limJ+ +lim —\473 1~ + ~2□f K ） 1解袪基原式■站f 7 Hfg n -1 ..3n 2 + 5n5 3 + _3 鈕 22 *5生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、 和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法 师：解法2先用等差数列的求和公式， 求出分子的和, 件，从而求出了极限•第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和.池1-3 + 9 ------ +（- 3）^竝—関]_ 卜弓广 m=12 .师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题 中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件.例3求下列极限：'f IV ]\{]\1CO 1 血 ti 1 - -1 --1 -- (1)T*frri-co \\ 4丿 I 5） n +111 1-------- H ---------- 4 -------------- + …4 ----- --------------------------1 * 4 4 • 7 7 - 10 （免一2）（飭十 1）师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点,-lim 11 [ +lim n .n-*oo ] it-® 1 ]-p1 -—:-0 + Q + h +, + Q ■,=lim —n （4 + 3n 十 1）乘、除的情况.此题当1是错的.满足了极限四则运算法则的条解:原式想出对策.（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形.生：「㈡卜肛般爲4 11 +1 2n■■- ---- = -------5 fi + 2 n + 2 ' 故原式訓魁二么 生：(2)题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形. 1 1 1 1 1 * 4 4* 7 7 * 10 (3n-2][3n + l) 1 1+…+ ------------------- 3n - 2 五十】3n 4 1故原摯諾i=£例4设首项为1，公比为q (q >0)的等比数列的前 n 项和为S n , 设几■菩L, n€N—军眄. 师：等比数列的前 n 项和S n 怎样表示？ 生甲’ /业呵 3n + l 1-q生乙；当q=l 时，％ =当占1时，兀 一—】_q师：看来此题要分情况讨论了. 生卞最简单的情况是当q 二1时，S lt = na 1则丁丸=limlL = 1.n 1-严 师！回答正确.话1时，T肿］.屮中纳必=? 生 因却蜩 j 中，何€ 1-所以当q 尹1时，还要再分情况 讨论・当 Q > 1 时，limT —q ;当 0 W q W 1 时，limT =1 .师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：解:当心时代 訥f 则空 字,輙I;誨罟二1;当q 〉0且诒时,a 斗匕么严 T n1 - q 1 - q因此当C MqQ 时,■，出工 -1; 当q 二1时, 且，住 -<■师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化•同学们在利甩^『二0： |q|< 1求概限方面有了很大进歩.（三）公比绝对值小于 1的无穷等比数列前 n 项和的极限 师：禾U 用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识， 我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：$=寻，其中引是数列的首项，曲公比.1-q例5计算：⑴数列7 ■卜彩…’…所有项的和 辽）无穷等比数列V2+1, L ^2-1, ■"所有奇数项的和.题目不难，可由学生自己做. 师：（1）中的数列有什么特点？生：首项丙是，公比是 冷的无穷等比数列•冷<1,可以直1接用公式S - —j八=；.师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么?1 一 f当0<q<l 时”占帆祁衆厂〔 n+i当心咏器承希有q-生 实质是求无穷等比数列72+L 屈4…所有项的和 眄J — 罷-1 e q 二萨" -2^<1. S-后严1-尹2也 2师；使用梆弋要注意三个问趣（1 ）所给数列是等比数列； （2）公比的绝对值小于 1;C3）前□项和与所有项和的关系S = limS =—打―00 * I -（四）利用极限的概念求数的取值范围例6 （1）己知皿兽炉=和求点值，l ■蘭 3- 5n 2（2）己知曲——乡 --- 莎冷p 求坦的取值範围•九~啊严札十血一2） 2师：（1）中a 在一个等式中，如何求出它的值. 生：只要得到一个含有 a 的方程就可以求出来了. 师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程? 生：先求极限.解: 因-| ° f J 贝临=~师：（2）中要求m 的取值范围，如何利用所给的等式？生：观察所给等式的左侧，发现要求极限需要利乱輛1M3・这里m 的范围.lim 1+ n +an25 Ta5|q|v 1，正好能得到一个含有m 的不等式，解不等式就能求出解:作业答案或提示由已知，上式值为二-因此hrn2罷亠侮=O s 于是有m -22解得O v m v 4.师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？ 生：主要有三种类型：（1） 利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限； （2） 先求数列的前n 项和，再求数列的极限； （3） 求公比绝对值小于 1的无穷等比数列的极限. 师：求数列极限应注意的问题是什么？ 生甲：要注意公式使用的条件.生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系.上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充. （五）布置作业1.填空题：（?）当融时’lim2 .选择题：（数列何｝的通项公式为铲 心-张）“，若鮒存在,则x 的取值范围是[].A . 2B . -2C . 1D . -1W …+严1的值是[].1. (1) 0；(7) a .2 •选择题：(2)* ⑶ 1； (4^ -1； (5)h ⑹ 0;⑴提示；当|3-*| V1时诂曙耳二0,解得彳当3-5u = 1Hf, lima n =l f 解彳导Ji =三.故选C.Tlf QQ°(2)由于所给两个极限存在，所以 a n 与b n 的极限必存在，得方程故加隆也)老故选丄以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用. 课堂教学设计说明1 •掌握常用方法，深化学生思维.数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留 在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结 构，然后把这种思维方式加以运用•例1的设计就是以此为目的的.2 •展示典型错误，培养严谨思维.第二课时数列极限的运算性质教学目标：1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n) n =e教学过程：一、 数列极限的运算性质如果 lima n =A , limb n =B ，那么(1) lim(a n +b n )= lima n + limb n =A+B (2) lim(a n -b n )= lima n - limb n =A-B(3) lim(a n ?b n )= lima n ? limb n =A ?B (4) lim(a n /b n )= lima n / limb n =A/B ( BO , b n 0) 注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。
数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。
类似地,对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。
注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算， 不能推广为无限个数列的和与积。
二、 求数列极限1、lim ( 5+1/n ) =52、lim(n 2-4)/n 2=lim(1-4/n 2)=13、lim(2+3/n) 2=44、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=105、lim(3n 2-2n-5)/(2n 2+n-1)=lim(3-2/n-5/n 2)/(2+1/n-1/n 2)=3/2分析：由于lim(3n 2-2n-5) 及lim(2n 2+n-1) 都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。
为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。
在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n 的最高次数项。
4、一个重要的数列极限我们曾经学过自然对数的底 e 2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。
lim(1+1/n) n =e (证明将在高等数学中研究)求下列数列的极限lim(1+1/n) 2n+1 =lim(1+1/n) n?(1+1/n)n?(1+1/n)=e?e?1=e2lim(1+3/n) n =lim[(1+1/(n/3)) n/3] 3=e3分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1,与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。