数列极限的运算性质

极限的运算

教学目标

1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限.

2 •理解和掌握三个常用极限及其使用条件•培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力.

3•正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想.

教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件.

教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限

师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个

例1 ：求下列极限:

3^2

7n 3n (1) lim

n

师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限.

7- 0+ 0^- 0 7

师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？

生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥"

心0

师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样.

常用极限:

1

lim — =0,lim

C=C ,

lim q n=0 (|q|<1 )来解决。

n

4n3 1

,315

7 ----- 1 -------- p—

解‘原式牡叮山

lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~?

lim4 -

IL-KX*

nf gfi

解：原式=lim肮—

CO孑Z怕I?丿

Mi）

1

z 0-1 3

-lim I

l旳

生；不能-因为limq" = 0中!

时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列£} 的极限问题.

% rr^w

师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、

判断正误.

0^~ 3

1-0 1

师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限?

|q|1

（二）先求和再求极限

例2求下列极限：

由学生自己先做，教师巡视.

解法li 原式=lim +lim

J

+ +lim —\

4

7

3 1

~ + ~2

□f K ） 1

解袪基原式■站

f 7 Hf

g n -1 ..3n 2 + 5n

5 3 + _

3 鈕 2

2 *

5

生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、 和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法 师：解法2先用等差数列的求和公式， 求出分子的和, 件，从而求出了极限•第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和.

池

1-3 + 9 ------ +（- 3）^

竝—関]_ 卜弓广 m

=12 .

师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题 中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件.

例3求下列极限：

'f IV ]\{

]\

1

CO 1 血 ti 1 - -

1 --

1 -- (1)

T*

frri-co \

\ 4丿 I 5） n +

111 1

-------- H ---------- 4 -------------- + …4 ----- --------------------------

1 * 4 4 • 7 7 - 10 （免一2）（飭十 1）

师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点,

-lim 11 [ +lim n .

n-*oo ] it-® 1 ]-p

1 -—:

-0 + Q + h +, + Q ■,

=lim —

n （4 + 3n 十 1）

乘、除的情况.此题当

1是错的.

满足了极限四则运算法则的条

解:原式

想出对策.

（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形.

生：

「

㈡卜肛般爲

4 11 +1 2n

■■- ---- = -------

5 fi + 2 n + 2 ' 故原式訓魁二么 生：(2)题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形. 1 1 1 1 1 * 4 4* 7 7 * 10 (3n-2][3n + l) 1 1

+…+ ------------------- 3n - 2 五十】

3n 4 1

故原摯諾i=£

例4设首项为1，公比为q (q >0)的等比数列的前 n 项和为S n , 设几■菩L, n€N—

军眄. 师：等比数列的前 n 项和S n 怎样表示？ 生甲’ /业呵 3n + l 1-q

生乙；当q=l 时，％ =

当占1时，兀 一—

】_q

师：看来此题要分情况讨论了. 生卞最简单的情况是当q 二1时，S lt = na 1

则丁丸=

limlL = 1.

n 1

-严 师！回答正确.话1时，T

肿］.屮中纳必=? 生 因却蜩 j 中，何€ 1

-所以当q 尹1

时，还要再分情况 讨论・当 Q > 1 时，limT —q ;当 0 W q W 1 时，limT =1 .