教案平面向量的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
高中数学北师大版2019必修第二册教案平面向量及运算的坐标表示
平面向量的坐标及其运算【教学过程】一、基础铺垫1．平面向量的坐标平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两→对应的个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA→＝(x，y)；反之结论也成立．坐标也为(x，y)，即OA2．平面上向量的运算与坐标的关系设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．设u，v是两个实数，那么u a＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，u a－v b＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．如果向量a＝(x，y)，则|a|■名师点拨（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； 设线段AB 中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 224．向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2．■名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．二、合作探究1．平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA→＝a ，AB →＝b ，四边形OABC 为平行四边形． （1）求向量a ，b 的坐标；（2）求向量BA→的坐标； （3）求点B 的坐标．【解】（1）作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22，AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， 所以A (22，22)，故a ＝(22，22)．因为∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，所以∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 所以AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.（2）BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. （3）因为OB→＝OA →＋AB → ＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332 ＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332. 所以点B 的坐标为(22－32，22＋332)．【规律方法】平面内求点、向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．2．平面向量的坐标运算【例2】（1）已知a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，则a ＝________，b ＝________．（2）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM→＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标．【解】（1）由a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，所以2a ＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，所以a ＝(3，5)，2b ＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，所以b ＝(－2，－2)．（2）法一(待定系数法)：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以CM→＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)， CN→＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，x 1＝0，y 1＝20；CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0，20)，N (9，2)，MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二(几何意义法)：设点O 为坐标原点，则由CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点M (0，20)，N (9，2)，故MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 【规律方法】平面向量坐标的线性运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．3．判定直线平行、三点共线【例3】（1）已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为()A ．－13B ．9C ．－9D ．13（2）已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB→与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？【解】（1）选C ．设C (6，y )，因为AB→∥AC →， 又AB→＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)， 所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9．（2）因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD→＝(2－1，7－5)＝(1，2)． 又2×2－4×1＝0，所以AB→∥CD →. 又AC→＝(2，6)，AB →＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 不共线，所以AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ．【规律方法】向量共线的判定方法4．已知平面向量共线求参数【例4】已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？【解】法一(共线向量定理法)：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二(坐标法)：由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．【规律方法】已知平面向量共线求参数的思路（1）利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解．（2）利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．三、课堂练习1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A ．a ＝(0，0)，b ＝(2，3)B ．a ＝(1，－3)，b ＝(2，－6)C ．a ＝(4，6)，b ＝(6，9)D ．a ＝(2，3)，b ＝(－4，6)解析：选D ．只有D 选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D ．3．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB→平行且方向相反的向量a 可以是() A ．(1，－2)B ．(9，3)C ．(－2，4)D ．(－4，－8)解析：选D ．由题意，得AB→＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D ．4．已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2，1)，B (1，3)，则点C 的坐标为________．解析：设C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC→＝AB →，所以(x ，y )＝(－1，2)． 答案：(－1，2)5．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________． 解析：AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。
2. 学习平面向量的坐标表示方法。
3. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学重点：1. 平面向量的概念。
2. 坐标表示方法。
3. 线性运算与坐标表示。
教学难点：1. 理解平面向量的坐标表示方法。
2. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向量概念的复习。
2. 向量表示方法的学习。
二、平面向量的概念（10分钟）1. 引导学生了解平面向量的定义。
2. 通过实例让学生理解平面向量的概念。
三、坐标表示方法（15分钟）1. 讲解平面向量的坐标表示方法。
2. 让学生通过实例掌握坐标表示方法。
四、线性运算与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的线性运算。
2. 让学生通过实例掌握线性运算与坐标表示。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关平面向量的练习题。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平面向量的概念、坐标表示方法以及线性运算与坐标表示，让学生掌握平面向量的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生通过实例理解概念和方法，提高学生的实际操作能力。
要加强练习，使学生巩固所学知识。
六、平面向量的几何解释（15分钟）1. 向量起点与终点的表示。
2. 通过图形让学生理解向量的几何解释。
七、向量加法与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的加法。
2. 让学生通过实例掌握向量加法与坐标表示。
八、向量减法与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的减法。
2. 让学生通过实例掌握向量减法与坐标表示。
九、数乘向量与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的数乘。
2. 让学生通过实例掌握数乘向量与坐标表示。
十、向量共线定理（20分钟）1. 讲解向量共线定理。
2. 让学生通过实例理解向量共线定理的应用。
十一、向量垂直与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量垂直的条件。
2. 让学生通过实例掌握向量垂直与坐标表示。
数学教案平面向量的运算与坐标表示
数学教案平面向量的运算与坐标表示1.引言数学是一门非常重要的学科，它在现代社会中扮演着至关重要的角色。
数学的应用范围非常广泛，如工程学、科学领域、经济学等等。
因此，数学教育对于学生的未来发展至关重要。
本文将介绍平面向量的运算与坐标表示，以期为读者提供有关平面向量的相关知识，以便更好地理解和应用平面向量。
2.平面向量的概念平面向量，简称“向量”，是数学中一个非常重要的概念。
它由大小和方向组成，通常用一个箭头表示。
向量的大小表示为向量的模，以“||”表示，其符号为一个非负实数。
向量的方向可以用箭头所指方向表示。
向量还具有平移不变性，即如果向量平移后保持原有的大小和方向不变，则认为它们是相等的，这一性质在向量的运算中非常重要。
3.向量的坐标表示一个向量主要由两个数字表示，它们分别代表两个方向上的分量，即x轴和y轴上的分量。
这两个数字通常写成一个有序对(x,y)，称为向量的坐标表示。
在坐标系中，向量被画成从原点到达(x,y)的箭头，向量的箭头指向(x,y)点。
在处理向量运算时，坐标表示很方便。
因此，考虑到应用向量，它在坐标系中的表示是非常重要的。
4.基本运算向量的四则运算分别为加、减、数乘和点积，下面分别进行介绍。
加法：将两个向量的相应分量相加，可以得到它们的和向量。
例如，向量a(1,2)和向量b(3,4)的和向量为a+b=(1+3，2+4)=(4,6)。
减法：将一个向量的相应分量减去另一个向量的相应分量，可以得到它们的差向量。
例如,向量a(1,2)和向量b(3,4)的差向量为a-b=(1-3, 2-4)=(-2,-2)。
数乘：将一个实数乘以一个向量的每个分量，可以得到一个新向量。
例如,向量a(1,2)乘以数字k得到a*k=(k,k*2)。
点积：两个向量的点积是它们的每个相应分量相乘的和。
例如，a(1,2)和b(3,4)的点积为(1*3+2*4)=11。
点积是向量乘法中最重要的运算，它在图形计算，机器学习，自然科学和工程学上都有应用。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教案内容：一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 能够运用坐标表示法解决一些简单的向量问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，坐标表示方法的推导及应用。
2. 难点：平面向量坐标的运算规律，空间想象能力的培养。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念及坐标表示方法。
2. 利用图形演示，帮助学生直观理解向量的坐标表示。
3. 运用例题解析，引导学生掌握向量坐标的运算规律。
4. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件：平面向量坐标表示的相关图片和动画。
2. 教学素材：多媒体设备，黑板，粉笔。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾标量与向量的概念，引出平面向量的定义。
2. 讲解：向量的概念，向量的坐标表示方法，向量坐标的运算规律。
3. 演示：利用图形演示向量的坐标表示，让学生直观理解。
4. 例题：解析平面向量坐标的运算规律，引导学生运用坐标表示法解决问题。
5. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 总结：本节课的主要内容，强调平面向量坐标表示的重要性。
7. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解平面向量的概念，并通过图形演示，让学生直观地理解向量的坐标表示。
在讲解向量坐标的运算规律时，要结合实例进行分析，让学生更好地掌握。
要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考：坐标表示法在实际问题中的应用，如物理学中的力的分解、几何中的位移等。
2. 讲解向量坐标的转换：如何将空间直角坐标系中的向量转换为平面坐标系中的向量。
七、课堂互动1. 提问：请同学们举例说明平面向量的坐标表示在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：如何利用向量坐标表示法解决几何问题。
平面向量的坐标表示备课教案
平面向量的坐标表示备课教案导言：平面向量是高中数学中的重要内容，通过坐标表示是一种常用的方法。
本教案将介绍平面向量的坐标表示的基本概念、性质以及相关的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握平面向量的坐标表示。
一、平面向量的坐标表示的基本概念平面向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过坐标表示来描述其几何特征。
平面向量的坐标表示通常用两个有序实数组成的有序数对表示，分别表示向量在水平和垂直方向上的投影长度。
二、平面向量的坐标表示的性质1. 平行向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 平行，则它们的坐标表示关系为 u = k · v，其中k 是一个实数。
2. 相等向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 相等，则它们的坐标表示关系为 u = (a, b) = v，其中 a 和 b 分别表示两个向量在水平和垂直方向上的投影长度。
3. 坐标表示法的加法规则：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则它们的和向量 u + v 的坐标表示为(a + c, b + d)。
4. 坐标表示法的数乘规则：设向量 u = (a, b)，实数 k，则它们的数乘 ku 的坐标表示为 (ka, kb)。
三、平面向量的坐标表示的计算方法1. 计算向量的模：设向量 u = (a, b)，则向量 u 的模记为 |u|，计算公式为|u| = √(a^2 +b^2)。
2. 计算向量的夹角：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的夹角记为θ，计算公式为cosθ = (u·v) / (|u|·|v|)，其中 u·v 表示向量 u 和向量 v 的数量积。
3. 计算向量的数量积：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的数量积记为 u·v，计算公式为 u·v = ac + bd。
四、平面向量的坐标表示的应用实例通过以上的基本概念、性质和计算方法，我们可以应用平面向量的坐标表示来解决一些实际问题，比如平面几何中的线段长度、向量的投影等问题。
平面向量的基本定理及坐标表示(教案)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．2．通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．三、情感、态度与价值观1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用．2．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．教法与学法导航教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C 作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2．由于OM+=，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．定理说明：（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不唯一，关键是不共线;（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;（4）基底给定时，分解形式唯一．提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ） ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i =（1，0），j =（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：（1）向量a 与有序实数对（x ，y ）一一对应．（2）向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11B A 是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）．（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：三、拓展创新，应用提高例1 已知向量e 1、e 2（如右图），求作向量-2.5e 1+3e 2．作法：（1）如图，任取一点O ，作OA =-2．5e 1，OB =3e 2．（2）作OAC B ．故OC 就是求作的向量．例2 如下图，分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标． 活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合．一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小．把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标．另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标．同样的方法，可以得到向量b 、c 、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．解：由图可知，a =1AA +2AA =2i +3j ，∴a =（2，3）．同理，b =-2i +3j =（-2，3）；c =-2i -3j =（-2，-3）；d =2i -3j =（2，-3）．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．五、课堂作业1．如图所示，已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ） A ．31OA +34OB B ．31-OA +34OB C ．31-OA -34OB D ．31OA -34OB 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|=m ，|e 2|=n ，若c =λ1e 1+λ2e 2（λ1，λ2∈R ），则|c |的最大值为（ ）A ．λ1m +λ2nB ．λ1n +λ2mC ．|λ1|m +|λ2|nD ．|λ1|n +|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且12A A =e 1，12B B =e 2，12C C =e 3，则12G G 等于（ ）A ．21（e 1+e 2+e 3） B ．31（e 1+e 2+e 3） C ．32（e 1+e 2+e 3） D ．31-（e 1+e 2+e 3） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如右图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．参考答案：1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．二、过程与方法教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规．学生准备：练习本、尺规．教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究，合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），你能得出a +b ，a -b ，λa 的坐标表示吗？②如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：a +b =（x 1i +y 1j ）+（x 2i +y 2j ）=（x 1+x 2）i +（y 1+y 2）j ，即a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2）．同理a -b =（x 1-x 2，y 1-y 2）．又 λa =λ（x 1i +y 1j ）=λx 1i +λy 1j ．∴ λa =（λx 1，λy 1）．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． 学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB |=||=221221)()(y y x x -+-．教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②=-=（x 2，y 2）-（x 1，y 1）=（x 2-x 1，y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？ 师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb ．如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2），即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0． 这就是说，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b （b ≠0）共线．我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的，但这与2211x y x y =是不等价的．因为当x 1=x 2=0时，x 1y 2-x 2y 1=0成立，但2211x y x y =均无意义．因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线．②充分不必要条件．提出问题：a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？师生互动：教师引导推证：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠a ，由a =λb ，（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2）⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0． 讨论结果：a ∥b （b ≠0）的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0．教师应向学生特别提醒感悟：1. 消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =（∵x 1、x 2有可能为0）．3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b （b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =（2，1），b =（-3，4），求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a +b =（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a -b =（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a +4b =3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式． 例2 如图．已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵=（-1-（-2），3-1）=（1，2），=（3-x ，4-y ）．由=，得（1，2）=（3-x ，4-y ）．∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ，⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为（2，2）．方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-1），1-3）+（3-（-1），4-3）=（3，-1），而OD =OB +BD =（-1，3）+（3，-1）=（2，2），∴顶点D 的坐标为（2，2）．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．例3 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y ．解：∵a ∥b ，∴4y -2×6=0．∴y =3．例4 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB =（1-（-1），3-（-1））=（2，4），AC =（2-（-1），5-（-1））=（3，6），又2×6-3×4=0，∴AB ∥AC ，且直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P P 1=λ2PP ，知（x -x 1，y -y 1）=λ（x 2-x ，y 2-y ），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP 1+OP 2）=（.2,22121y y x x ++）． 所以点P 的坐标是（.2,22121y y x x ++） （2）如图（1）、（2），当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P =2． 如果21PP P P =21，如图（1），那么 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31（2OP -1OP ）=321OP +312OP =（32,322121y y x x ++）． 即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++）．同理，如果21PP P P =2图（2），那么点P 的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．四、小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．五、课堂作业1．已知a =（3，-1），b =（-1，2），则-3a -2b 等于（ ）A ．（7，1）B ．（-7，-1）C ．（-7，1）D ．（7，-1）2．已知A （1，1），B （-1，0），C （0，1），D （x ，y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是（ ）A ．（-2，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（-2，-2）3．若点A （-1，-1），B （1，3），C （x ，5）共线，则使=λ的实数λ的值为（ ）A ．1B ．-2C ．0D ．24．设a =（23，sin α），b =（cos α，31），且a ∥b ，则α的值是（ ） A ．α=2k π+π4（k ∈Z ） B ．α=2k π-π4（k ∈Z ） C ．α=k π+π4（k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？参考答案：1．B 2．B 3．D 4．C5．∵=（k ，12）， =（4，5），=（10，k ）， ∴=-=（4-k ，-7）， =-=（6，k -5）． ∵∥，∴（4-k ）（k -5）+7×6=0．∴k 2-9k -22=0．解得k =11或k =-2．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2．了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维．三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志．教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0．3．平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使b＝λa．4．如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？5．在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论．二、新知探究探究（一）平面向量基本定理 思考1．给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1-2e 2？2．如图，设OA 、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使四边形OMP N 为平行四边形？3．在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OM +ON =？4．在上图中，设OA =e 1，OB = e 2，OC = a ，则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量a 与e 1、e 2的关系如何？OM =λ1e 1，ON =λ2e 2，a ＝λ1e 1＋λ2e 2．5． 若上述向量e 1、e 2、a 都为定向量，且e 1、e 2不共线，则实数λ1、λ2是否存在？是否唯一？6．若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？7．根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．8．上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a e 1 e 2OB CC的表示式是否相同？9． 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即：如果 a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2），λa =（λx 1，λy 1） a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1（需要证明）10． 任意给定平面中两个不平行的向量e 1、e 2，那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =x e 1+y e 2．这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数．｛e 1，e 2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；x e 1+y e 2叫做a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式．探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1．不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a 和b ，作=a ，= b ，如图．为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB 为向量a 与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[0°，180°]2．如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3． 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |=4，以向量i 、j 为基底，向量a 如何表示？a＝＋2j 4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ）．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．那么x 、y 的几何意义如何？ 5．相等向量的坐标必然相等，作向量=a ，则= （x ，y ），此时点A 的坐标baAP是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a ＝（1，3），b ＝（m ，2m -3），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．解：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m -3≠3m ，∴m ≠-3．例2 如图，M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +（3+3μ）NM = 0.由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .例 3 设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =（3λe 1+4λe 2）+（-2μe 1+5μe 2）=（3λ-2μ）e 1+（4λ+5μ）e 2. 又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之,得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°．3．向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义．将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标．2．深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1.通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一．教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝x i＋y j，则a＝（x，y）．3．用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径．我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等．二、新知探究。
平面向量的坐标表示教案
平面向量的坐标表示教案【导语】平面向量是代数结构，是空间中两个点之间的线段的长度和方向的抽象。
平面向量有多种表示方法，本教案主要介绍平面向量的坐标表示。
一、教学目标：1.了解平面向量的概念和性质；2.掌握平面向量的坐标表示方法；3.能够根据坐标求解平面向量。
二、教学重点与难点：1.重点：平面向量的坐标表示方法。
2.难点：根据坐标求解平面向量。
三、教学准备：教学课件、平面向量的相关教学实例。
四、教学过程：Step 1 知识导入1.教师出示平面向量及其定义。
2.教师引导学生思考：平面向量有哪些表示方法？Step 2 知识讲解1.平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对表示，这个有序数对叫做向量的坐标。
向量的坐标可以通过坐标系来确定。
以平面直角坐标系为例，向量的坐标表示为(向量的x坐标, 向量的y坐标)，用箭头表示为a＝(a, a)。
2.示例讲解：将平面向量A(2, 3)和B(-1, 4)画在平面直角坐标系上。
Step 3 问题解答1.学生踊跃发言，回答平面向量的坐标表示方法。
2.教师解答学生提出的问题。
Step 4 拓展延伸举一些生活中与平面向量相关的例子，让学生灵活运用平面向量的坐标表示方法。
五、课堂练习1.计算以下平面向量的大小：A(3, 4)、B(-2, 5)、C(0, -1)。
2.已知平面向量A(1, 2)和B(-3, 4)，求AB的大小。
六、总结归纳1.学生总结坐标表示平面向量的方法。
2.教师进行总结归纳。
七、课堂小结1.复习本堂课的内容。
2.布置以平面向量的坐标表示为题材的作业。
【教学反思】通过本堂课的教学，学生了解了平面向量的坐标表示方法，掌握了如何根据坐标求解平面向量。
同时，教师通过引导学生思考、解答学生问题的方式提高了课堂的互动性。
融入生活中的实例让学生更好地理解和运用平面向量的坐标表示方法。
在课后作业中布置以平面向量的坐标表示为题材的作业，巩固学生的学习成果。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的分解。
2. 学会用坐标表示平面向量，理解向量坐标与向量运算之间的关系。
3. 能够运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理：任何一个平面向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。
2. 向量的分解：将一个向量表示为两个不共线向量的线性组合。
3. 向量的坐标表示：用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则。
4. 向量运算与坐标表示：理解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的具体运算。
三、教学重点与难点1. 重点：平面向量的基本定理，向量的分解，向量的坐标表示。
2. 难点：理解向量坐标与向量运算之间的关系，熟练运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的基本定理及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观地展示向量的分解和坐标表示。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题。
4. 开展小组讨论，加强学生之间的互动交流。
五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，介绍平面向量的基本定理。
2. 讲解向量的分解，引导学生理解平面向量基本定理。
3. 介绍向量的坐标表示，讲解坐标运算规则。
4. 课堂练习，巩固所学知识。
第二课时：1. 复习上节课的内容，回顾平面向量基本定理及其坐标表示。
2. 讲解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的运算。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
4. 课堂练习，提高学生运用知识解决问题的能力。
5. 总结本节课的内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面向量基本定理及其坐标表示的练习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：评价学生在课堂上运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。
教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。
教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。
教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。
三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。
四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。
五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。
要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。
六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。
1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。
向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。
第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。
向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。
2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。
数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。
向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。
3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。
投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。
第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。
即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。
4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。
例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修
平面向量的坐标表示教案新人教A版必修一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的定义及其几何表示。
2. 学习平面向量的坐标表示方法，掌握向量坐标的计算规则。
3. 能够运用向量坐标解决简单的问题，提高空间想象力。
二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，向量的坐标表示方法。
2. 难点：向量坐标的计算规则，空间向量问题的解决。
三、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生理解和掌握向量的坐标表示。
2. 使用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示向量的几何表示和坐标表示，提高学生的空间想象力。
四、教学过程1. 引入新课：通过复习高中数学中关于向量的基本概念，引导学生思考向量的坐标表示方法。
2. 讲解向量的概念：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的大小称为向量的模，方向的箭头表示向量的方向。
3. 介绍向量的坐标表示：在二维空间中，任意一个向量都可以用两个实数表示其在x轴和y轴上的投影，这两个实数称为向量的坐标。
向量的坐标表示方法可以直观地展示向量在空间中的位置和方向。
4. 讲解向量坐标的计算规则：向量的坐标可以通过向量的起点和终点坐标来计算。
设向量的起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为(x2, y2)，则向量的坐标表示为(x2 x1, y2 y1)。
5. 练习与讨论：让学生通过几何画板等工具，绘制向量的几何表示和坐标表示，并解决一些简单的向量问题。
引导学生讨论向量坐标的特点及其在解决实际问题中的应用。
五、作业布置1. 完成教材中的练习题，巩固向量的坐标表示方法。
2. 结合生活实际，思考向量坐标在解决问题中的应用，举例说明。
六、教学内容与目标1. 内容：本节课将继续学习平面向量的坐标表示，重点掌握向量坐标的几何意义和运算规则。
2. 目标：能够熟练运用向量坐标进行向量的加法、减法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。
七、教学重点与难点1. 重点：向量坐标的加法、减法和数乘运算规则。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会将平面向量用坐标表示；3. 掌握平面向量的坐标运算。
教学内容：1. 平面向量的基本定理；2. 向量的坐标表示；3. 向量的坐标运算。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 通过复习预备知识，引导学生回顾向量的定义及基本性质。
2. 提问：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算有什么应用？二、平面向量的基本定理（10分钟）1. 介绍平面向量的基本定理的内容。
2. 通过示例，解释平面向量的基本定理的应用。
3. 引导学生通过图形直观地理解平面向量的基本定理。
三、向量的坐标表示（10分钟）1. 介绍向量的坐标表示方法。
2. 通过示例，解释如何用坐标表示一个向量。
3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标表示。
四、向量的坐标运算（10分钟）1. 介绍向量的坐标运算规则。
2. 通过示例，解释如何进行向量的坐标运算。
3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标运算。
五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些有关平面向量的基本定理及其坐标表示的练习题。
2. 引导学生独立完成练习题，巩固所学知识。
3. 对学生的练习结果进行点评和指导。
教学评价：1. 通过课堂讲解和示例，评价学生对平面向量的基本定理及其坐标表示的理解程度；2. 通过练习题，评价学生对平面向量的坐标运算的掌握程度；3. 通过学生的提问和参与程度，评价学生的学习兴趣和积极性。
教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 练习题。
教学建议：1. 在讲解平面向量的基本定理时，可以通过图形和实际例子来说明定理的意义和应用；2. 在讲解向量的坐标表示时，可以借助坐标系，直观地展示向量的坐标表示方法；3. 在讲解向量的坐标运算时，可以通过示例和练习题，让学生熟练掌握运算规则；4. 在巩固练习环节，可以提供不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求；5. 在教学过程中，鼓励学生提问和参与讨论，以提高学生的学习兴趣和积极性。
高中数学第二章平面向量4第1课时平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示教学案数学教学案
第1课时平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示[核心必知]1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作OP＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得OP＝x i＋y j，因此a＝x i＋y j.把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．2．平面向量线性运算的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．3．向量AB的坐标表示设定点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即：一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标．[问题思考]1．相等向量的坐标相同，对吗？提示：正确．相等向量经过平移可以具有共同的始点O(O为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以正确．2．向量的坐标与点的坐标有何区别？提示：平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，它的坐标等于终点坐标减去始点坐标，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点坐标相等．当实数对(x，y)表示点时可记为P(x，y)，表示向量时可记为a＝(x，y)．3．若i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量，则i，j的坐标分别是什么？提示：根据平面向量的坐标定义，i＝(1，0)，j＝(0，1)．讲一讲1．如图所示，试分别用基底i，j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．[尝试解答] 由图可知，a＝＝2i＋3j，∴a＝(2,3)，同理，b＝－2i＋3j，b＝(－2,3)．c＝－3i＋0j，c＝(－3,0)．d＝－3i－2j，d＝(－3，－2)．1．求向量的坐标的一般方法：(1)利用平行四边形(或三角形)法则，将向量用基底i，j(i，j分别是与x，y轴同方向的单位向量)表示，然后确定其坐标．(2)求起点和终点的坐标，并用终点的坐标减去起点的相应坐标．2．向量的坐标表示是给出向量的又一种形式，它的坐标只与始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个．练一练1．已知O是坐标原点，点A，B在第一象限，＝43，∠xOA＝∠yOB＝30°，求向量的坐标．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝y2＝|OA|cos 30°＝6，y1＝x2＝|OA|sin 30°＝2 3.∴A(6,23)，B(23，6)．∴OA ＝(6,23)，AB ＝(23，6)－(6,23)＝(－6＋23，6－23)．讲一讲2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设OA ＝a ，(1)求3a ＋b －3c 的坐标；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN 的坐标．[尝试解答] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 1．向量线性运算的坐标表示实际上是相应坐标的加、减、乘、除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．用坐标表示的向量，线性运算后的结果仍用坐标表示． 3．解题过程中要注意方程思想的运用． 练一练2．(1)已知a ＝(2，1)，b ＝(－3，4)， 求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b .(2)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)、B (0,6)、C (－8，10)，求向量的坐标；解：(1)①3a ＋4b ＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．②a －3b ＝(2，1)－3(－3，4) ＝(2，1)－(－9，12)＝(11，－11)． ③12a －14b ＝12(2，1)－14(－3，4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，－12.(2)由A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)， ＝(－2,10)＋2(－8,4)－12(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7) ＝(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)． 讲一讲3. 如图所示，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，试求顶点D 的坐标．[尝试解答] 法一：(待定系数法) 设顶点D 的坐标为(x ，y )． ∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，＝(3－x,4－y )． 由，得(1,2)＝(3－x,4－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)． 法二： (直接法)如图，由向量加法的平行四边形法则可知 ＝(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1，3) ＝(－1，－2)＋(4,1) ＝(3，－1)． 而＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，∴顶点D 的坐标为(2,2)．有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．向量用坐标表示，体现了数形结合的思想．借助于向量的坐标表示，向量的线性运算可转化为数的运算，其中正确分清向量的坐标与点的坐标的区别和联系是关键，同时还应熟练掌握用坐标表示的向量的运算法则．练一练3．[多维思考] 若把本题条件改为“已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4，3)，B (3，－1)，C (1，－2)”，所求问题不变，结果如何？解：设点D 坐标为(x ，y )①若平行四边形四个顶点的顺序为ABCD ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1－x ，－4＝－2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.故顶点D 的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为ACBD ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故顶点D 的坐标为(6,4)．③若平行四边形四个顶点的顺序为ABDC ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－6.故顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，顶点D 的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6). 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若 (λ∈R )，试求当点P 在第三象限时λ的取值范围．[错解] 由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又点P 在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋5λ<0，1＋7λ<0，∴λ<－35，故λ的取值范围为(－∞，－35)．[错因] 错解中误把向量AP 的坐标当作P 点的坐标，实质是对向量的坐标表示的概念理解不清，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．[正解] 由已知得＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 设点P (x ，y )，则AP ＝(x －2，y －3)， 于是(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.又点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ<0，y ＝4＋7λ<0.解得λ<－1.所以λ的取值范围为(－∞，－1).1．对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由平面向量基本定理可知，①正确；由于a ＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．2．设a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a＋q b ，则实数p 、q 的值为( )A ．p ＝4，q ＝1B ．p ＝1，q ＝4C ．p ＝0，q ＝4D ．p ＝1，q ＝－4解析：选B ∵c ＝p a ＋q b ＝(－p ，2p )＋(q ，－q ) ＝(q －p ，2p －q )＝(3，－2)，∴q －p ＝3且2p －q ＝－2，解得：p ＝1，q ＝4. 3．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，，则点P 的坐标为( )A ．(－8,1)B ．(－1，－32)C ．(1，32) D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，由得，(x ，y )－(3，－2)＝12[(－5，－1)－(3，－2)]即(x －3，y ＋2)＝(－4，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴x ＝－1，y ＝－32，故P (－1，－32)． 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝________．解析：由题意知，4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. ∴d ＝－6a －4b ＋4c＝(－6，18)－(－8，16)＋(－4，－8)＝(－2，－6)． 答案： (－2，－6) 5．若向量＝(1，y )，a ＝(x ，y )，则向量a ＝________.解析：∵＝0即(4＋x,8＋b )＝0，∴x ＝－4，y ＝－8. 则a ＝(－4，－8)． 答案：(－4，－8)6．已知点A (3，－4)与点B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且，求点P的坐标．解：由知.设P 点的坐标为(x ，y )． 当时，得(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 坐标为(13，0)．当时，得(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2x ＋2，y ＋4＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.∴P 点坐标为(－5,8)．综上可知，P 点坐标为(13，0)或(－5,8)．一、选择题 1．(广东高考)若向量＝( )A ．(－2，－4)B ．(3，4)C ．(6，10)D ．(－6，－10) 解析：选A ＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．2．已知＝(0,3)，把向量AB 绕点A 逆时针旋转180°得到向量AC ，则向量OC 等于( )A ．(－2,1)B ．(0，－1)C ．(3,4)D ．(3,1) 解析：选B 依题意，，设C (x ，y )，则：(0,3)－(0,1)＝－(x ，y －1)，即(－x ，－y ＋1)＝(0,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，－y ＋1＝2，∴x ＝0，y ＝－1，故OC ＝(0，－1)．3．已知A (5,7)，B (2,3)，将AB 的起点移到原点，则平移后向量的坐标为( ) A ．(－3，－4) B ．(－4，－3) C ．(1，－3) D ．(－3,1)解析：选A AB ＝(2,3)－(5,7)＝(－3，－4)， ∵将AB 平移后所得向量与AB ―→相等， ∴平移后的坐标仍为(－3，－4)．4．已知点A (x,1)，B (1,0)，C (0，y )，D (－1,1)．若AB ＝，则x ＋y 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选D AB ＝(1－x ，－1)，＝(－1,1－y )， ∵AB ＝，即(1－x ，－1)＝(－1,1－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－1，－1＝1－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.故x ＋y ＝4.二、填空题5．已知i ，j 是分别与x 轴，y 轴同方向的单位向量，若OA ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (x ∈R )，则点A 位于第________象限．解析：可知点A 的坐标为(x 2＋x ＋1，－x 2＋x －1)． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，－x 2＋x －1＝－(x －12)2－34<0.∴点A 位于第四象限． 答案：四6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，AB ＝m a ＋n b ，＝a －2b ，若AB ＝－2，则m ＝________，n ＝________.解析：AB ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )；＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵AB ＝－2，即(2m －n,3m ＋2n )＝(－8,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝－8，3m ＋2n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝4.答案：－2 47．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8，16)，则a ＝______，b ＝________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝（2，－8） ①a －b ＝（－8，16） ②①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8) ∴a ＝(－3，4)，而b ＝(2，－8)－a ＝(2，－8)－(－3，4) ＝(2＋3，－8－4)＝(5，－12)． ∴a ＝(－3，4)，b ＝(5，－12)． 答案：(－3，4) (5，－12) 8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且，点Q 是AC 的中点，若＝(4,3)，＝________.解析：∵Q 是AC 的中点，∴，＝(－6,21)．答案：(－6,21) 三、解答题9．已知点A (0,2)，B (2,4)及，求点C ，D 和的坐标．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1－2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＝－6，2－y 2＝－6. 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝6，y 2＝8.∴C ，D 的坐标分别为(1,3)，(6,8)＝(6,8)－(1,3)＝(5,5)．10．在平行四边形ABCD 中，点A (1,1)，AB ＝(6,0)．(1)若AD ＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)若AC 与BD 交于一点M (2,2)，求点D 的坐标． 解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)， 则AC ＝(x 0－1，y 0－1)． ∵AC ＝AD ＋AB ＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－1＝9，y 0－1＝5.∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设D (x ，y )，则AD ＝(x －1，y －1)，∵四边形ABCD 是平行四边形，M 为BD 的中点， ∴AB ＋AD ＝2AM ，又AM ＝(1,1)，即(x ＋5，y －1)＝(2,2)．∴x ＝－3，y ＝3.故D 的坐标为(－3,1)．。
向量的坐标表示教案
向量的坐标表示教案
教案标题：向量的坐标表示教案
一、教学目标
1. 理解向量的概念和性质
2. 掌握向量的坐标表示方法
3. 能够运用向量的坐标表示方法解决实际问题
二、教学重点和难点
1. 向量的坐标表示方法
2. 向量坐标表示方法在几何和物理问题中的应用
三、教学准备
1. 教师准备：熟悉向量的坐标表示方法，准备相关教学案例和练习题
2. 学生准备：复习向量的基本概念和性质
四、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入向量的坐标表示方法，引发学生对向量坐标表示方法的思考和讨论
2. 讲解：介绍向量的坐标表示方法，包括平面向量和空间向量的坐标表示，以及向量的加法和数乘运算
3. 案例分析：通过具体的案例分析向量的坐标表示方法在几何和物理问题中的应用，如力的合成、平行四边形的性质等
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固向量的坐标表示方法的运用
5. 拓展：引导学生思考向量的坐标表示方法在更复杂问题中的应用，如空间中的向量运算等
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调向量的坐标表示方法的重要性和应用价值
五、教学反思
1. 教师要及时调整教学方法，根据学生的实际情况进行灵活教学
2. 学生要多做练习，巩固向量的坐标表示方法的运用能力
六、作业布置
布置相关的练习题，要求学生运用向量的坐标表示方法解决实际问题
七、教学延伸
引导学生自主学习向量的其他表示方法，如数量积、矢量积等，拓展向量的应用领域
八、教学资源
教材、课件、相关练习题等
以上是一个针对向量的坐标表示教案的基本框架，具体教学过程中还需要根据学生的实际情况和教学资源进行灵活调整。
平面向量的坐标表示教案
平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yjxia把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的坐标，特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，ba),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则1212,y y x x AB 二、讲解新课：a ∥b(b 0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b a . 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2)2121y y x x 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0，∵b 0∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y ∵x 1， x 2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b(b 0)1221y x y x b a 三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线∴(-1)×2- x?(-x)=0∴x=±2∵a与b方向相同∴x=2例5已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，CD=(2-1，7-5)=(1，2) 又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2， 4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y 轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结。
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【教学过程】 *揭示课题
7.3.1 平面向量的坐标表示 *情境导入
【观察】设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，OA 为从原点出发的向量，点A 的坐标为（2，3）(图7－17)．则
图7－17
2OM =i ，3ON =j ．
由平行四边形法则知 23OA OM ON =+=+i j ．
【说明】可以看到，从原点出发的向量，其i ，j 前面的系数与向量终点的坐标是一一对应的． *引入新知
在直角坐标系xOy 中，设i , j 分别为x 轴、y 轴的单位向量，x 轴上的向量用x i 表示，y 轴上的向量用y j 表示，x ，y 分别指终点在数轴上的坐标。
设点(,)M x y ，则i +j =OM x y （如图7－18(1)）；
我们就把任意一向量a 起点移至原点O ，终点为M 点，即a =x i +y i ，这个式子称作向量a 的坐标表示，x i 叫做向量a 在x 轴上的分向量，y i 叫做向量a 在y 轴上的分向量。
把有序实数对（x ,y ）称作向量a 在直角坐标系中的坐标，记作
O
x i
j M (x ,y )
y
(,)x y =a ． 如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)=OA ． 向量a =x i +y i 的模22a x y =
+
例如0=0i +0j =（0，0） i =i +0j =(1,0) ,j =0i +j =(0,1),他们的模分别为0,1,1 *例题讲解
例1 如图7－19所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j 表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．
例2 写出下列向量的坐标表示
（1）53=a i -j （2）5=-b i （3）π=c j 例3 如下图，写出向量a,b,c,d,e 的坐标，并求他们的模
*练习强化
1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ． 2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标．
图7－19
x
y
3. 已知向量(3,4),(5,2),=-a =b a b 求， *揭示课题
7.3.2 平面向量的直角坐标运算 *情境导入
（1）(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．
（2）设点1122(,)(,)A x y B x y ，（如图7－18(2)），则
22112121()()
()()i +j i +j i j =-=-=-+-AB OB OA x y x y x x y y ．
*引入新知
设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j
1212()()x x y y =+++i j ．
所以 1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）
j i
B
A O
y
x
图7－20
类似可以得到 （7．7）
（7．8）
*例题讲解
例1 设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ．
*练习强化
已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a −b 、−2 a ＋3 b 的坐标． （1） a ＝(−2,3)， b ＝(1,1)； （2） a ＝(1,0)， b ＝(−4, −3)；
（3）a ＝(−1,2)， b ＝(3,0)． *归纳小结
向量坐标的概念？任意起点的向量的坐标表示？向量的坐标运算如何表示？ 结论：
一般地，设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，则对于从原点出发的任意向量a 都有唯一一对实数x 、y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作 (,)x y =a ．
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.
11(,)x y =a ，22(,x y =b。