金融计量经济第三讲ARCH模型的理论与应用
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第三讲
ARCH模型的理论与 应用
第一节 ARCH模型：检验及估计 第二节 GARCH模型的检验与估计 第三节 其它ARCH类模型
ARCH模型简介
• 恩格尔（Engle）1982年提出的“条件异方差 自 回 归 模 型 （ AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity）”，简称ARCH模型 。 • ARCH理论是目前国际上前沿的用于金融市场 资产定价的理论。与传统的CAPM、APT理论 相比，ARCH是一种动态非线性的股票定价模 型，它突破了传统的方法论和思维方式，摒弃 了风险与收益呈线性关系的假定，反映了随机 过程的一个特殊性质方差随时间变化而变 化。
i 1 i j 1
q
p
j
1 (3.9)
• 上式成立时，随机误差项 t 为一平稳过程。否则 随机误差项的方差将趋向无穷大。
• 实际应用中，（3.9）式代表的条件可以看成是外 部冲击对随机误差项 t 的波动所产生的影响随时 q p 间的滞后而变弱， i j 可视作外部冲击 i 1 j 1 • 对指数波动影响的衰减系数，其值越小，衰减越 快。 • Porterba & summers（1986）的研究表明，美国 的衰减系数约为0.97，史代敏（2002）的研究显 示沪深两市1996年以后的衰减系数为0.97~0.98， 而这以前是0.86~0.88。以上研究均采用GARCH （1，1）。 • 外部影响的持续性有所增加。
例题：上证综指的衰减系数计算
• 记 yt 为上证综指日收盘价（练习时可选用周收 盘），一般用随机游走模型对股指、价格这一类 特殊序列进行特征描述，所以理论模型为：
yt yt 1 t
(*)
(**)
• 实际回归模型一般采用 log( yt ) log( yt 1 ) t
• 为保证条件方差 ht 0 ，参数满足条件：
E(vt ) 0, D(vt ) 1
E(vt vs ) 0(t s);
0 0, i 0, i 1,, q j 0, j 1,, p
i 1 i j 1
q
p
j
1
• 相对于ARCH，GARCH模型的优点在于： 可以用较为简单的GARCH模型来代表一个 高阶ARCH模型，从而使得模型的识别和估 计都变得比较容易。 • 最常见的用法是GARCH（1，1）。 • Eviews软件中ARCH的估计实际上是 GARCH，ARCH是p=0时的GARCH。
第三节 其它ARCH类模型
• 1、ARCH-M模型 • ARCH-M模型就是在模型中将随机误差项的方差 直接作为解释变量，这也表明了投资收益与风险 （波动性-即方差或标准差）有关。具体写成 • 同样有：
yt X t ht t (3.10)
t ht t , t 为白噪声序列 。
H0 : 1 2 q 0; H1 : i 0,1 i q
ht 0 1 t 1 q t q t (3.6)
例3.1：开放式基金与股价指数因果 关系分析
• 选指数型基金一家，上证180指数为解释变 量，讨论之间是否有ARCH特征。
ht 0
i 1 q 2 i t i
(3.1)
0 0, i 0, and i 1
i 1 q
(3.2)
来自百度文库
• 即方差 ht和滞后1期、2期及至q期的解释变量有关。
• 起初的ARCH(q)指回归模型的随机误差项的平方 t2 服从AR(q)过程,即有：
ARCH的统计特征
• 主要从条件期望值和条件方差考虑。 • 条件期望值：
E ( t t 1 ) ht E ( t ) 0 (3.4)
• 条件方差值：
E ( t2 t21 ) ht E ( t2 ) ht (3.5)
• 由（3.5）式可知，ARCH模型的随机误差项 的方差值非固定，也就是条件异方差。
GARCH模型的特征
• 对于随机误差项服从(3.7)式的GARCH模型，可 以证明随机误差项 t 的方差为：
Var ( t ) k0 1 ( i j )
i 1 j 1 q p
, k0 0 (3.8)
• 若要保证方差大于0，要求分母>0，即有：
0
2 t 2 1 t 1
2 q t q
t
(3.3)
• 其中， t • 称（3.3)式为自回归条件异方差模型（ARCH）， 记序列
D( t ) 2 服从 E( t ) 0 ，
t ~ ARCH(q)
• （3.2)为（3.3)的拓展形式，也是现在常用的写法。
log(ht ) 0 ( i
i 1 q
t i
ht
)
t 1
ht
j log(ht j ) (3.12)
j 1
p
• 模型的条件方差采用自然对数方式，保证不小于0。 若 0 ，说明信息作用非对称，若 0 ，杠杆 效应显著。 • 非对称模型都可在软件上实现。 • 用上证指数的例子来说明。
讨论课内容
• 1、利用证券市场指数数据分析股票市场的 衰减系数； • 2、非对称ARCH模型—TARCH和EGARCH模型的应用
练习，可采用自回归模型和单指数模型； • 3、准备讨论课内容，分小组，每组最多3人，讨论较前沿 的金融计量应用论文，最好是外文文献，若有思想较好的 个人作品也可。课堂讨论时间每组30分钟左右，听课的同 学可提问。请在二周后上报小组成员名单及分工。 • 1和2需要将分析结果做成文挡，电邮给老师（下周前）。 • Zhujin@mail.zjgsu.edu.cn
• 如果 ht 有（3.2）的结构，称模型为ARCH-M(q). • 如果 ht有(3.7)的结构，称模型为GARCH-M(p,q) • ARCH-M模型在Eviews中可直接实现。
2、非对称ARCH模型—TARCH和 EGARCH模型
• 对股票市场的研究发现，股份下跌和上涨的幅度 相同时，价格的波动性不是对称的，下跌时刻的 价格波动更剧烈。为了表达这种非对称性， Zakoian1990年提出了TARCH模型，在模型中引 入一虚拟变量用来表示上涨和下跌的情况。模型 的条件方差为：
直接利用软件进行回归
Eviews软件中有专门的ARCH回归功能，估 计ARCH模型的参数时，采用极大似然法。 菜单方式：在主窗口击Quick/Estimate equation，再在方程选择框中选method为 ARCH即可。
第二节 GARCH模型的检验与估计
• 1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方 差函数的拓展形式，即广义ARCH模型—— GARCH（Generalized Auto Regressive Conditional
ARCH模型的具体形式
• ARCH模型描述了在前t-1期的信息集合给定的条件下随机 误差项的分布。一般的ARCH模型表述如下： • 给定时，
t 1 {yt 1 , xt 1 , yt 2 , xt 2 , }
yt X tT t
• 对于回归模型:
•
t t 1 ~ N (0, ht )
ht 0
i 1 q 2 i t i
Dt 1 j ht j
2 t 1
p
(3.11)
• 其中： Dt
1
t 0
j 1
0
，Dt=1表示股价下跌。
指数(Exponential)GARCH-EGARCH模型
• 该模型由Nelson在1991年提出。模型的条件方差 表达式为
• （*）和（**）有何区别？ • 此方法可以用于期货价格、自由汇率等时间序列 的计算，不同问题结果分析时有所侧重。
不同阶段的时间序列的结果（当堂演算）： • 从1991年3月到95年12月:衰减系数>1,不符 合GARCH模型的要求； • 从95年12月到98年12月，衰减系数=0.92； • 98年12月到今，衰减系数=0.97
时间序列分析上机练习参考
• 有用的时间序列数据：各市场中的股价指数、行 业指数、个股价格、成交量；开放式基金或封闭 式基金净值与价格，开放式基金规模；期货价格、 持仓量、交易量；外汇交易价格；CPI；GDP； 其它金融时间序列； • 练习目的：掌握并熟练ADF检验、单整与协整检 验、EMC、Granger因果检验、ARCH系列应用 • 建模参考：A、B市场关联性、基金与股价指数的 关联性、购买力平价模型、股价与CPI或GDP的 关系，基金规模与股价或净值的关系等； • 选择一些建模主题，寻找数据，进行各项检验及 回归分析。
ARCH(q)的检验
• 一种是直接利用定义，对模型 Y XB U 进行 et2 作序 回归分析后，再对残差值平方的序列 列自回归检验。可用辅助函数，也可直接在回归 命令后加上AR(q)。 • 另一种常用的检验方法就是前一讲提到的拉格朗 日乘数检验（Lagrange multiplier test），就是 Eviews软件中的ARCH—LM检验。辅助模型为： • 该检验的原假设和备选假设是： 2 2 • Eviews命令：在方程结果输出窗口选择 View/Residual Tests/ARCH lM Test即可。
Heteroskedasticity）
• 一般的GARCH模型可表达为 t ht vt y x
t t t
ht 0 i t2i j ht j
i 1 j 1
q
p
(3.7)
(3.7)表示阶数为p和q的GARCH过程 ，记作 GARCH（p, q）
ARCH模型的理论与 应用
第一节 ARCH模型：检验及估计 第二节 GARCH模型的检验与估计 第三节 其它ARCH类模型
ARCH模型简介
• 恩格尔（Engle）1982年提出的“条件异方差 自 回 归 模 型 （ AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity）”，简称ARCH模型 。 • ARCH理论是目前国际上前沿的用于金融市场 资产定价的理论。与传统的CAPM、APT理论 相比，ARCH是一种动态非线性的股票定价模 型，它突破了传统的方法论和思维方式，摒弃 了风险与收益呈线性关系的假定，反映了随机 过程的一个特殊性质方差随时间变化而变 化。
i 1 i j 1
q
p
j
1 (3.9)
• 上式成立时，随机误差项 t 为一平稳过程。否则 随机误差项的方差将趋向无穷大。
• 实际应用中，（3.9）式代表的条件可以看成是外 部冲击对随机误差项 t 的波动所产生的影响随时 q p 间的滞后而变弱， i j 可视作外部冲击 i 1 j 1 • 对指数波动影响的衰减系数，其值越小，衰减越 快。 • Porterba & summers（1986）的研究表明，美国 的衰减系数约为0.97，史代敏（2002）的研究显 示沪深两市1996年以后的衰减系数为0.97~0.98， 而这以前是0.86~0.88。以上研究均采用GARCH （1，1）。 • 外部影响的持续性有所增加。
例题：上证综指的衰减系数计算
• 记 yt 为上证综指日收盘价（练习时可选用周收 盘），一般用随机游走模型对股指、价格这一类 特殊序列进行特征描述，所以理论模型为：
yt yt 1 t
(*)
(**)
• 实际回归模型一般采用 log( yt ) log( yt 1 ) t
• 为保证条件方差 ht 0 ，参数满足条件：
E(vt ) 0, D(vt ) 1
E(vt vs ) 0(t s);
0 0, i 0, i 1,, q j 0, j 1,, p
i 1 i j 1
q
p
j
1
• 相对于ARCH，GARCH模型的优点在于： 可以用较为简单的GARCH模型来代表一个 高阶ARCH模型，从而使得模型的识别和估 计都变得比较容易。 • 最常见的用法是GARCH（1，1）。 • Eviews软件中ARCH的估计实际上是 GARCH，ARCH是p=0时的GARCH。
第三节 其它ARCH类模型
• 1、ARCH-M模型 • ARCH-M模型就是在模型中将随机误差项的方差 直接作为解释变量，这也表明了投资收益与风险 （波动性-即方差或标准差）有关。具体写成 • 同样有：
yt X t ht t (3.10)
t ht t , t 为白噪声序列 。
H0 : 1 2 q 0; H1 : i 0,1 i q
ht 0 1 t 1 q t q t (3.6)
例3.1：开放式基金与股价指数因果 关系分析
• 选指数型基金一家，上证180指数为解释变 量，讨论之间是否有ARCH特征。
ht 0
i 1 q 2 i t i
(3.1)
0 0, i 0, and i 1
i 1 q
(3.2)
来自百度文库
• 即方差 ht和滞后1期、2期及至q期的解释变量有关。
• 起初的ARCH(q)指回归模型的随机误差项的平方 t2 服从AR(q)过程,即有：
ARCH的统计特征
• 主要从条件期望值和条件方差考虑。 • 条件期望值：
E ( t t 1 ) ht E ( t ) 0 (3.4)
• 条件方差值：
E ( t2 t21 ) ht E ( t2 ) ht (3.5)
• 由（3.5）式可知，ARCH模型的随机误差项 的方差值非固定，也就是条件异方差。
GARCH模型的特征
• 对于随机误差项服从(3.7)式的GARCH模型，可 以证明随机误差项 t 的方差为：
Var ( t ) k0 1 ( i j )
i 1 j 1 q p
, k0 0 (3.8)
• 若要保证方差大于0，要求分母>0，即有：
0
2 t 2 1 t 1
2 q t q
t
(3.3)
• 其中， t • 称（3.3)式为自回归条件异方差模型（ARCH）， 记序列
D( t ) 2 服从 E( t ) 0 ，
t ~ ARCH(q)
• （3.2)为（3.3)的拓展形式，也是现在常用的写法。
log(ht ) 0 ( i
i 1 q
t i
ht
)
t 1
ht
j log(ht j ) (3.12)
j 1
p
• 模型的条件方差采用自然对数方式，保证不小于0。 若 0 ，说明信息作用非对称，若 0 ，杠杆 效应显著。 • 非对称模型都可在软件上实现。 • 用上证指数的例子来说明。
讨论课内容
• 1、利用证券市场指数数据分析股票市场的 衰减系数； • 2、非对称ARCH模型—TARCH和EGARCH模型的应用
练习，可采用自回归模型和单指数模型； • 3、准备讨论课内容，分小组，每组最多3人，讨论较前沿 的金融计量应用论文，最好是外文文献，若有思想较好的 个人作品也可。课堂讨论时间每组30分钟左右，听课的同 学可提问。请在二周后上报小组成员名单及分工。 • 1和2需要将分析结果做成文挡，电邮给老师（下周前）。 • Zhujin@mail.zjgsu.edu.cn
• 如果 ht 有（3.2）的结构，称模型为ARCH-M(q). • 如果 ht有(3.7)的结构，称模型为GARCH-M(p,q) • ARCH-M模型在Eviews中可直接实现。
2、非对称ARCH模型—TARCH和 EGARCH模型
• 对股票市场的研究发现，股份下跌和上涨的幅度 相同时，价格的波动性不是对称的，下跌时刻的 价格波动更剧烈。为了表达这种非对称性， Zakoian1990年提出了TARCH模型，在模型中引 入一虚拟变量用来表示上涨和下跌的情况。模型 的条件方差为：
直接利用软件进行回归
Eviews软件中有专门的ARCH回归功能，估 计ARCH模型的参数时，采用极大似然法。 菜单方式：在主窗口击Quick/Estimate equation，再在方程选择框中选method为 ARCH即可。
第二节 GARCH模型的检验与估计
• 1986年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方 差函数的拓展形式，即广义ARCH模型—— GARCH（Generalized Auto Regressive Conditional
ARCH模型的具体形式
• ARCH模型描述了在前t-1期的信息集合给定的条件下随机 误差项的分布。一般的ARCH模型表述如下： • 给定时，
t 1 {yt 1 , xt 1 , yt 2 , xt 2 , }
yt X tT t
• 对于回归模型:
•
t t 1 ~ N (0, ht )
ht 0
i 1 q 2 i t i
Dt 1 j ht j
2 t 1
p
(3.11)
• 其中： Dt
1
t 0
j 1
0
，Dt=1表示股价下跌。
指数(Exponential)GARCH-EGARCH模型
• 该模型由Nelson在1991年提出。模型的条件方差 表达式为
• （*）和（**）有何区别？ • 此方法可以用于期货价格、自由汇率等时间序列 的计算，不同问题结果分析时有所侧重。
不同阶段的时间序列的结果（当堂演算）： • 从1991年3月到95年12月:衰减系数>1,不符 合GARCH模型的要求； • 从95年12月到98年12月，衰减系数=0.92； • 98年12月到今，衰减系数=0.97
时间序列分析上机练习参考
• 有用的时间序列数据：各市场中的股价指数、行 业指数、个股价格、成交量；开放式基金或封闭 式基金净值与价格，开放式基金规模；期货价格、 持仓量、交易量；外汇交易价格；CPI；GDP； 其它金融时间序列； • 练习目的：掌握并熟练ADF检验、单整与协整检 验、EMC、Granger因果检验、ARCH系列应用 • 建模参考：A、B市场关联性、基金与股价指数的 关联性、购买力平价模型、股价与CPI或GDP的 关系，基金规模与股价或净值的关系等； • 选择一些建模主题，寻找数据，进行各项检验及 回归分析。
ARCH(q)的检验
• 一种是直接利用定义，对模型 Y XB U 进行 et2 作序 回归分析后，再对残差值平方的序列 列自回归检验。可用辅助函数，也可直接在回归 命令后加上AR(q)。 • 另一种常用的检验方法就是前一讲提到的拉格朗 日乘数检验（Lagrange multiplier test），就是 Eviews软件中的ARCH—LM检验。辅助模型为： • 该检验的原假设和备选假设是： 2 2 • Eviews命令：在方程结果输出窗口选择 View/Residual Tests/ARCH lM Test即可。
Heteroskedasticity）
• 一般的GARCH模型可表达为 t ht vt y x
t t t
ht 0 i t2i j ht j
i 1 j 1
q
p
(3.7)
(3.7)表示阶数为p和q的GARCH过程 ，记作 GARCH（p, q）