切线的判定(课堂PPT)

与圆有唯一公共点 直线l 与圆心的距离等于圆的半径
经过直径一端且垂直这条直径
2. 证明圆的切线常用辅助线作法： ⑴连半径，证垂直 ⑵作垂直，证半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
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2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O经过点D, E是⊙O上一点，且 ∠AED=45，试判断CD 与⊙O的关系，并说明 理由。
(2)直线l垂直于直径AB．
●O
则:直线l与⊙O相切
A
l
这样我们就得到了从“位置”的角度圆 的切线的判定方法——切线的判定定理．
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切线的判定定理：
经过直径的一端并且垂直这条直径
的直线是圆的切线。
B
●
O
O
C
A
D
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
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定理的数学语言表达： ∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
B OA P
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2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，
则∠BPC的度数是（ ）
A、600
B、1200
B
C、600或1200
O
D、1400或600 P
A
C
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1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成
立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不
可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
求证：AB是⊙O的切线.
A
F
E
B
O
C
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3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
C
A OBD
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如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A O
∴ l ⊥OA
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超级挑战
如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边
BC于P， BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径 ∴ OB=OA，BP=PC， ∴OP∥AC。 又∵ PE⊥AC，
A
O E
B PC
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
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2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
l
O r A
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判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
经过直径的一端并且垂直这条直径的直 线是圆的切线.
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例题讲解（1）
已知：直线AB经过⊙O上的点C，且
OA=OB,CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。
求证：⊙O与AC相切。
DB
证明：过O作OE⊥AC，垂足为A E。 O ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB E C
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
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随时清点知识是我们胜 利的法宝噢
闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同? NhomakorabeaD
B
O
A
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。
九年级下册
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直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
d<r
Or d
l A
1个 切点 切线
d= r
Or d
l
没有
d> r
2
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
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你一定能行
1、已知：P为⊙O外 一点，以OP为直径 作圆交⊙O于A、B 两点，连接PA、PB
A ●O
B
●P
那么PA、PB是⊙O 的切线吗？
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1. 判定切线的方法有哪些？
l
A
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切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
l
A
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切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
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1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点， 则连接半径，应用切线 的性质定理得到垂直关 系，从而应用勾股定理 计算。
A
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1、判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（×）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
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l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的
判定方法。
3
• 画一个圆并画出直径AB，拿直尺当直
线，让直尺绕着点A顺时针转动．观察
∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变
化？
B
●O
αd ┓α A
l
你能写出一个命题来表
述这个事实吗?
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B
(1)直线l经过直径AB的一端A；
证明：连结OC(如图)。
O
∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝
CB, ∴ AB⊥OC。
A
CB
分析：由于AB过
∵直线AB经过⊙O上的点C ⊙O上的点C，所
∴ AB是⊙O的切线。
以连接OC，只要
A证B⊥明O＿C＿＿ 即可。
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例题讲解（2）
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,
以O为圆心，OD为半径作⊙O。
(1) 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的
直线是圆的切线.
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的
距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不
同．解题时，灵活选用其中之一．
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切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
l