电磁学之静电场中的导体和电介质

三个引理
一、在无电荷的空间里电势不可能有极大 值和极小值。 二、若所有导体的电势为0，则导体以外空 间的电势处处为0。 三、若所有导体都不带电，则各导体的电 势都相等。
唯一性定理的证明及镜像法的引入

I. II.

分别给定下列边界条件之一的唯一性 定理的证明： 边界条件为给定每个导体的电势情况； 边界条件为给定每个导体的电量情况； 电像法的引入 接地导体壳的静电屏蔽作用

压电效应有逆效应。即在压电晶体上加电场时，
晶体会伸长或压缩形变，称为电致伸缩效应。
（4）永电体或驻极体电介质


有自发的电极化强度，即使没有外场， 该物质本身也会有电极化强度，称为永 电体或驻极体。 由于空气中存在离散的自由电荷，永电 体表面上的极化电荷会吸引一些自由电 荷而最终会被中和失去作用。

§2.4.2 极化强度与退极化场
1、极化强度矢量P （1）定义：单位体积内介质分子的电偶极矩矢 量和。 P分子
P
是定量描述电介质内各极化状态（极化程度和 极化方向）的物理量。单位：C/m2 如果电介质中各处的极化强度矢量大小和方向 都相同，则称为电介质均匀极化，否则为非均 匀极化。
V
（2）极化电荷的分布与极化强 度矢量的关系
图2.3宇宙中的星云
图2.4 中科院合肥等离子研究所 的超导托卡马克HT－7U装置
图2.5 超导体的发现者荷兰物理学家 默林-昂纳斯
§2.1.2 物质的电结构




导体中存在大量的“自由电荷”（载流 子） 绝缘体中有大量的“束缚电荷”，几乎 没有载流子。 半导体中的载流子主要是杂质电离出来 的电子和空穴。 超导体中的超导电子，实际上是电子对 （库珀对）
（2）有极分子的取向极化
没有外电场时，电介质分子的正负电荷“重心” 不重合，形成一定的电偶极矩，称为有极分子。 无外场时，所有分子的固有电矩的矢量和为0， 宏观上不产生电场。 加外电场后，分子电矩方向不同程度的转向外 电场方向，在和外电场垂直的两端面上多少产 生一些极化电荷，这种极化机制称为取向极化。 电子位移极化效应在任何电介质中都存在，而分 子取向极化只发生在有极分子电介质中。
比例系数χ 叫做介质极化率，与场强无关，是 介质材料的属性。 当E太大时，χ 不仅与电介质有关，还与E有关， 此时P与E之间是非线性关系。对取向极化电介 质， χ 还与温度有关。
P 0 E
（2）各向异性（线性电介质）



晶体材料沿不同方向呈现不同的物理性 质，称为各向异性。 各向异性电介质被极化时，极化强度P 与场强E的方向不同，在场强不是很强 时，仍保持线性关系。 极化率χ 与E无关的上述两种电介质统 称为线性电介质。若极化中电介质的损 耗（如热损耗）可以忽略，则称为线性 无损耗介质。

P用分子的平均电偶极矩表示
P n p nql
式中，q为分子内的正电荷电量，L为分 子正负电荷重心的平均距离矢量。 极化介质内的极化电荷与其极化强度的 普遍关系：
( S内)

q ' P dS
S
图2.20 极化介质内的极化电荷与极化强度的关系

Байду номын сангаас

各向同性、物理性质均匀的电介质，其 体内不会出现净余的束缚电荷，即极化 电荷体密度为0。以后我们只考虑均匀电 介质的情形。 极化电介质表面的面极化电荷密度与极 化强度之间的关系：
§2.1.1 导体、绝缘体与半导体
1、根据导电能力的强弱，通常把物质分为三类： 导体 电荷很容易在其中移动的物质。 电阻率范围：10-8Ω m ～10－5Ω m 绝缘体 转移和传导电荷能力很差的物质。 电阻率范围：106 Ω m ～1018Ω m 半导体 介于这两者之间的物质。 电阻率范围：10－6Ω m ～106Ω m
第二章 静电场中的导体和电介质
第二章 静电场中的导体和电介质
§2.1 物质的电性质 §2.2 静电场中的导体 §2.3 电容和电容器 §2.4 静电场中的电介质 §2.5 电介质中静电场的基本定理 §2.6 边值关系和有介质存在时的唯一性 定理
§2.1 物质的电性质
1、 导体、绝缘体与半导体 2、 物质的电结构
（1）导体是个等势体，导体表面是个等势面 （2）靠近导体表面外侧处的场强处处与表面垂直
§2.2.2 静电平衡导体上的电荷 分布特点
（1）体内无电荷，电荷只分布在导体表面； （2）导体表面的面电荷密度与该处表面外 附近的场强在数值上成比例： e 0E （3）表面的曲率影响面电荷密度，进而影 响场强，尖端放电现象。 即导体尖端附近场强强，平坦地方次之， 凹进去的地方最弱。

其中任意两导体之间都有电容，但并不完全取决于自 己的几何形状和相对位置，与周围其他导体都有关。 在这种情况下，一般不称这两个导体为电容器。
§2.4 静电场中的电介质
1、电介质的极化 2、极化强度与退极化场 3、电介质的极化规律
§2.4.1 电介质的极化
1、电介质（dielectrics）
是绝缘体，内部大量的束缚电荷。 与导体和静电场的相互作用，既有相似之处， 但也有重要差别。
图2.19 电容器串联
电容器的几点说明
1、电容器是一种特殊的两导体系统


利用导体壳的屏蔽作用使空腔内的电场分布仅由电容 器的两极板的几何形状和相对位置决定，且两极板的 带电量一定是等量异号的。 所谓导体的几何形状就是指两极板的几何形状，电容 器的电量就是任一极板上的电量。
2、任意导体组，当导体带电并达到静电平衡时， 每个导体上有一定的电荷分布，有一定的总电 量和一定的电势。
2、极化率与相对介电常数



设平行板电容器未填充电介质时极板间的场强 为E0(外场)，填充电介质后电场为E，由介质极 化规律知，介质极化强度为： P 0 E 与电容器正极板相对的介质表面有极化电荷面 密度： ' P n P ，与负极板相对的介质表 面极化电荷面密度为： ' P n ' P P ' 因此退极化场的大小为： E 0 0 而退极化场的方向与E0和P都相反，因此退极 化场为: P ' E E
dq' ' P cos P n Pn dS
图2.21 均匀极化介质球
2、退极化场

极化电荷和自由电荷一样，在周围空间产生附 加电场E’，根据叠加原理，空间任意一点的场 强是外电场和极化电荷产生的附加电场的矢量 和： E E0 E '
电介质内E’处处和外电场E0方向相反，使得总 电场E比原来的E0减弱。极化电荷在介质内部 的附加场E’总是起减弱极化的作用，因此称为 退极化场，其大小与电介质的几何形状相关。



都会在电场作用下出现宏观电荷，反过 来影响电场（消弱原来的电场） 电介质的极化电荷；导体感应自由电荷。 部分抵消外电场；完全抵消外电场。
2、极化的微观机制
（1）无极分子的位移极化 没有外电场时，电介质分子的正负电荷“重心” 重合，整个分子没有电矩，称为无极分子。 加外电场后，无极电介质产生了电偶极矩（感 生电矩），在和外电场垂直的两个端面出现正 负电荷，即极化电荷，这就是电介质的极化。 由于电子质量比原子核小得多，主要是电子位 移，因此无极分子的极化机制常称为电子位移 极化。
2、等离子体和超导体



部分或完全电离的气体，由大量自由电 子和正离子以及中性原子、分子组成的 电中性物质系统。 是有序态最差的聚集态。 是宇宙物质存在的主要形态，宇宙中 99.9%的物质是等离子体。 超导体 处于电阻为零（10－28 Ω m）的超 导状态的物体。
图2.1 北极光
图2.2太阳风
§2.3 电容和电容器
1、 孤立导体的电容 2、 电容器及其电容的计算 3、 电容器的串并联
§2.3.1 孤立导体的电容

“孤立”导体是指该导体附近没有其它导体和 带电体。 理论和实验表明，孤立带电导体的电势与其电 量q成比例。比例系数是一个只与孤立导体几 何形状有关，而与U、q无关的量，称为孤立导 体的电容。

基本性质
当导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状 态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的 代数和为0。

静电屏蔽
如前所述，导体壳的外表面保护了它所包围的 区域，使之不受导体壳外表面上的电荷或外界 电荷的影响，这个现象称为静电屏蔽。
图2.12 (a) 腔内无电荷
图2.12 (b)腔内有电荷
图2.12 (d) c的等效图 图2.12 (c) 导体腔接地 图2.12 静电屏蔽
（3）静电场边值问题的唯一性定理


问题的提出
通过给定各个导体的形状、大小、导体的相对 位置、各个导体的电势或电量以及包围电场空 间的边界面上的电势（称为边界条件），静电 场的解是否存在？ 这是静电学的典型问题，称为静电场的边值问 题。 如果静电场解存在的话，它是否唯一，即解的 唯一性问题？ 这在电磁学中称为唯一性定理。
图2.17 同轴圆柱形电容器
§2.3.3 电容器的串并联
1、电容器的并联（增加电容量） 总电容等于各个电容器电容之和。 C＝C1＋ C1＋ …＋ Cn
图2.18 电容器并联
2、电容器的串联
可增加耐电压能力，但很少使用。 总电容的倒数等于各个电容器的倒数之和。

1 1 1 1 ... C C1 C 2 Cn
§2.2.3 导体壳与唯一性定理
（1）腔内无带电体情形 基本性质 当导体腔内无带电体时，静电平衡下， 导体壳的内表面处处无电荷，电荷只分 布在外表面上； 空腔内没有电场，空腔内电势处处相等。 法拉第圆筒 内表面无电荷的实验验证。 库仑平方反比定律的精确验证