Riemann积分 Lebesgue积分

从Riemann 积分到Lebesgue 积

摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系

一、Lebesgue 积分的引入

1、R 积分的定义 设

()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分

T

012n a x x x x b =<<<<=

将区间

[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和

11(ζ)()

n

i i i i S f x x -==-∑

令

11max()

i i i n

r x x -≤≤=-，如果对任意的分发与

ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限

的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为

()b

a

I R f x dx

=⎰

如果设=sup{f(x):

};

=inf{f(x):

}

则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积

1

()lim n b

i i a

r i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=0

1

lim ()n

b

i i a

r i m x f x dx →=∆=∑⎰

⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振

幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。

注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。

2、Riemann 积分的局限性

a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦

）的长

度以及函数在其上的振幅（

）。若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（

）

不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”

b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。设

定理：若f(x)在 [a,b]上可导，且f '(x)在[a,b]上是Riemann 可积的，则有

()()()

x

a

f t dt f x f a '=-⎰

X 属于a 到b 。

这一结论沟通了积分和微分之间的关系, 然而它必须受到f '(x)在[a,b]上是可积的条

件的限制。在1881年valterra 就作出了可微函数, 其导数是有界的, 但导数不是 可积的。可见微积分基本定理这一重要的结论的适应面过窄。 c 、R 积分与极限可交换的条件太严。

数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题。然而, 要交换次序往往需要函数列一致收敛, 这一条件太强, 不易满足, 也不易验证。" ,例：设{rn}为[0,1]中全体有理数，作[0,1]上的函数列

{}

{}

{

}1,2,310[0,1]1,2,3()1,2,3n n x r r r r n x r r r r f x n ∈⋅⋅⋅∈-⋅⋅⋅=

=………

则 {fn(x)}在[a,b]上Riemann 可积,但

不Riemann 可积。

故对一般收敛函数列，在Riemann 积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：

lim ()lim ()b b

n n a

a n n f x dx f x dx

→∞→∞

=⎰⎰

不一定成立。 再说，设|,

|是[a,b]上的可积函数列，且

|

|

，n=1,2,……

以及

注:

()n f x 和()n g x 一致收敛于

则必有

lim b

n a

→∞

⎰

dx=

lim b

n a

→∞

⎰

dx

然而f(x)的积分可能是不存在的。也就是说, 上述积分的极限并不依赖于本身，

而依赖于f （x ）。既然如此，定义积分为

()()lim b

b

n n

a

a

f x f x dx dx

→∞

=⎰⎰

也无妨, 这说明Riemann 积分的定义太窄。 3、Lebesgue 积分应运而生

由于Riemann 积分存在着种种缺陷,1902年，Lebesgue 发表了一篇标志着古典分析向近代分析转折的论文“ 积分、长度与面积”。他其积分理论不仅基本包含了Riemann 积分理论, 而且在较大程度上克服了Riemann 积分的缺陷

将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。

具体的定义如下

（1）非负简单函数的积分：设f 是可测集D 上的非负简单函数。于是有D 的分划{

i E }

1i S ≤≤及非负实数组{}1i a i S ≤≤使

1

()()s

i Ei i f x a X x x D

==∈∑

此时我们定义f 在D 上的Lebesgue 积分为

1

()()

s

i

i

i D

f x dx a m E ==∑⎰并且当()D

f x dx

⎰<∞时，称f 在D 上L 可

积。（2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集D 上的非负可测函数，{n f }是收敛于f(x)

的非负上升简单函数列。此时f 在D 上的Lebesgue 积分定义为

称lim n n D

D

f dx f dx

→∞

=⎰⎰

若积分值有限，则称f(x)在D 上Lebesgue 可积。

（3）一般可测函数的Lebesgue 积分：对每一个x D ∈,令

{}max 0,(),f dx f x +={}ma 0,(),

f dx ax f x -=-