三角函数的概念PPT

②轴线角 x 轴的非负半轴: =k360º (2k)(kZ); x 轴的非正半轴: =k360º +180º (2k+)(kZ); y 轴的非负半轴: =k360º +90º (2k+ 2 )(kZ); ) 或 y 轴的非正半轴: =k360º +270º (2k+ 3 2 =k360º -90º (2k- 2 )(kZ); x 轴: =k180º (k)(kZ); 坐标轴: =k90º ( k )(kZ). 2 y 轴: =k180º +90º (k+ 2 )(kZ);
4.已知 为锐角, 证明: 1<sin+cos≤ 2 . 证: 由已知可在角 的终边上任取一点 P(x, y)(x>0, y>0), y x 则 sin= 2 2 , cos= 2 2 . x +y x +y ∵x>0, y>0, (x+y)2 x +y ∴ sin+cos= 2 2 = . 2 2 x +y x +y (x+y)2 x2+y2+2xy 2xy ∵ 2 2= =1+ 2 2 >1, 2 2 x +y x +y x +y (x+y)2 x2+y2+2xy x2+y2+x2+y2 又 2 2= ≤ =2, x +y x2+y2 x2+y2 (x+y)2 (x+y)2 ≤ 2. ∴1< 2 2 ≤2. ∴1< x2+y2 x +y ∴1<sin+cos≤ 2 .


2
第一或第三象限 y y
o x o x
第二或第四象限 y y
o x
区 域
o
x
如果用 1, 2, 3, 4 分别表示第一、二、三、四象限角, y 1 2 3 4 则 2, , , 分布如图: 即第一象限角 2 2 2 3 2 4 2 2 1 的半角是第一或第三象限角(其余略), 2 2 4 x 1 o 熟记右图, 解有关问题就方便多了.
二、任意角的三角函数
1.定义 y . P(x, y) x
r
o

y y x sin= r ; cos= r ; tan= x ; x r r cot= y ; sec= x ; csc= y ;
2.三角函数的符号 y
sin csc tan cot o + cos sec x
4.角的度量
(1)角度制 1 一个圆周的 360 的弧所对的圆心角叫做 1 度(1)的角. (2)弧度制
等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(1 rad)的角. (3)弧度与角度的相互换算 1 rad =(180 ) ≈57.30 = 5718´.
1= rad≈0.01745 rad. 180 (4)扇形的弧长公式 l =r|| 扇形的面积公式 1 r2 · S= 1 l · r = 2 2 ||
3.几类特殊角的表示方法 (1)与 角终边相同的角的集合: { | =k · 360+, k∈Z}, 或 { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: k360º <<k360º +90º , kZ; (2k<<2k+ 2 , kZ) 第二象限角: k360º +90º <<k360º +180º , kZ; (2k+ 2 <<2k+, kZ) 第三象限角: k360º +180º <<k360º +270º , kZ; 3 (2k+<<2k+ 2 , kZ) 第四象限角: k360º +270º <<k360º +360º , kZ. 或 k360º -90º <<k360º , kZ. <<2k+2, kZ 或 2k- <<2k, kZ ) (2k+ 3 2 2
2 2 3 2 2 2
典型例题
1.写出与 -1035º 终边相同的角, 并指出其中属于 [-4, 4] 的 角. 解: ∵-1035º =- 3360º +45º , ∴与 -1035º 终边相同的角为 k360º +45º (kZ). 用弧度制表示上面的角为 2k+ (kZ), 4 令 -4≤2k+ 4 ≤4(kZ) 得 k=-2, -1, 0, 1, 15 7 ∴其中属于 [-4, 4] 的角是 - 4 , - 4 , 4 , 9 4 . 1993 2.判断 =-5, =- 3 是第几象限的角.
三角函数正值歌 正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限. 或 一全二正弦, 三切四余弦. y P o
3.三角函数线 定义 与单位圆有 关的有向线段 MP、 OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、 正切线.
TFra Baidu bibliotek
P M o
y


M A x
A T
x
注: 已知角 所在象限, 应熟练地确定 2 所在的象限如下表: 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解: ∵0<2-5< 2 , ∴-5 是第一象限的角. 1993 ∵212≈1.68( , ),
3 2 1993 ∴- 3 是第二象限的角.
3 3.角 终边经过点 P(x, - 2 )(x0), 且 cos = 6 x, 求 sin+ cot 的值. 解: 设 |OP|=r, 则 r = x2+2 , 又 cos = 3 x, 则 6 x 3 = x, 解得 x= 10. 2 6 x +2 6 , cot=- 5 , 当 x= 10 时, sin=- 6 6 5 + 6 ∴ sin+cot=; 6 当 x=- 10 时, sin=- 6 , cot= 5 , 6 ∴ sin+cot= 6 5 - 6 . 6
一、角的基本概念
1.角的概念 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形. 旋转开始的射线叫角的始边, 旋转终止位置的射线叫角的 终边, 射线的端点叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转形 成的角叫负角, 如果一条射线没作任何旋转, 称它形成了一个 零角. 角的三要素: 顶点、始边、终边. 2.角的分类 (1)正角、负角、零角； (2)象限角、象限界角(象间角、轴线角)