华南理工大学_630量子力学2004--2017年_考研真题

四、单价原子中的价电子受原子实的作用势可近似表示成
V ( x) e2a e2 2 0 , (0 1) ， r r
（25 分） a 0 为玻尔半径。求价电子的能级，并与氢原子能级做比较。
1 五、一自旋为 ，磁矩为 的不带电粒子，置于磁场中。 t 0 时磁场 2
0 沿 z 方向，即 B B0 (0,0, B0 ) ，而粒子处于 z 的本征态 1 。
hc ; eU 0
页
B.
hc ; eU 0
C.
eU 0 ; hc
D.
eU 0 . hc
(3) 单项选择：下列波函数所描写的状态哪个是定态？ A. 1 x, t u x e
ix iE t
u xe u xe
ix
iE
t
;
B. 2 x, t u x e C. 3 x, t u x e
( x)
2 2 2 2 A(a x )(a x ) 0
x a x a
其中为变分参数，试求基态能级近似值。
5. 考虑由正交归一基 1 , 2 , 3 张成的三维矢量空间。右矢 和 由下式给出
i 1 2 2 i 3 ， i 1 2 3
（本试卷共五大题，每题 30 分） 一、对于一维自由粒子, （1） 设波函数为 p ( x )
1 eipx / , 用哈密顿算符对其运算, 证明动 2
量本征态 p ( x ) 也是能量本征态,并写出其能量本征值； （2） 设 t 0 时刻 ( x,0) p ( x) , 求 ( x, t ) ； （3）波函数 ( x) ( x) 是否该自由粒子的能量本征态?为什么？
m 是 (l 2 , lz ) 的共同本征态，指出对应的本征值以及量子数 l 和 m 的取值关系。 6．量子态用狄拉克符号表示有什么优点？在以 i (i 1,2,...) 为基矢的 表象中，用狄拉克符号写出算符 Q 的矩阵元。 7. 两个全同费米子处于两个不同的单粒子态 1 和 2 ，写出该体系的波 函数。 8. 简述用变分法如何估算量子体系的基态能量。 9．写出非简并微扰能级的一级和二级修正。 10．简述正常塞曼效应的产生机制。
(a) 给出 和 (以对偶基 1 ， 2 ， 3 表示的)。
*
(b) 求出 和 并证实 .
ˆ 里的 9 个矩阵元，并写出矩阵 A ，它是厄米矩 (c) 在这个基中，求出算符 A
阵吗？
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华南理工大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 2 页
（本试卷共五大题，第一题 50 分，其余四题每题 25 分）
一、简答题（50 分）
1．写出一维无限深势阱的能量本征值和本征波函数。 2．写出一维谐振子的哈密顿及能级。 3．什么是厄米算符？指出其两个主要性质。 4．推导坐标、动量、角动量算符的如下对易关系
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二、质量为 m ，能量为 E 的粒子从 势垒 V ( x) ( x) 一边入射，求透 射系数，并讨论粒子流密度的连续性。 （25 分）
ˆ, H ˆ ] 0 。证明不论体系处于任何状 三、设 A 为体系的一守恒量，即 [ A
态 (t ) ，力学量 A 的平均值和几率分布都不随时间改变。 （25 分）
V0 V x 0 a x a x a
(V0>0)
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3. (a) 求出自旋角动量 Sy 的本征值和本征矢。
a (b) 如果对一个一般态 测量 Sy，可能得到什么值？每一个值的概率大小 b
是多少？注意：a 和 b 不一定是实数！
4. 粒子在无限深势阱( a x a )中运动，取试探波函数为
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华南理工大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：理论物理；凝聚态物理 共 ( 本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分 150 分) 1. (1) 简答：如果一个微观粒子的速率增加，则它的德布罗意波长将增大还是减小？ (2) 单项选择：当单色光垂直照射金属表面产生光电效应时，已知此金属的逸出电 位为 U 0 ，则这种单色光的波长 一定要满足的条件是 A.
二、设粒子限制在立方形匣子中运动，即
0, 0 x a, 0 y b, 0 z c V ( x, y , z ) ， 其余区域
求能量本征值和本征函数。如果 a b c ，讨论能级的简并度.
三、 （ 1）利用轨道角动量分量 lˆx , lˆy , lˆz 的对易关系证明：在 lˆz 的本征态下

iE1
t

iE2
t
;

iE
t
u xe
t
iE
t
;
t
D. 4 x, t u x e

iE1
u xe
iE2
.
(4) 单项选择：泡利不相容原理指的是 A. 自旋为整数的粒子不能处于同一态中； B. 自旋为整数的粒子处于同一态中； C. 自旋为半整数的粒子能处于同一态中； D. 自旋为半整数的粒子不能处于同一态中。 2. 求出如下势垒的透射系数，按 E<V0 和 E=V0 两种情况分开处理。
t 0 时再加上沿 x 方向的较弱磁场 B1 ( B1 ,0,0) 。求 t 0 时粒子的
自旋态，以及测得自旋向上的几率。 （25 分）
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华南理工大学 2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 2 页