华南理工大学_630量子力学2004--2017年_考研真题

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(试卷上做答无效,请在答题纸上做答,试后本卷必须与答题纸一同交回) 科目名称:量子力学 适用专业:凝聚态物理 共 2 页
(本试卷共五大题,第一题 50 分,其余四题每题 25 分)
一、简答题(50 分)
1.写出一维无限深势阱的能量本征值和本征波函数。 2.写出一维谐振子的哈密顿及能级。 3.什么是厄米算符?指出其两个主要性质。 4.推导坐标、动量、角动量算符的如下对易关系
(本试卷共五大题,每题 30 分) 一、对于一维自由粒子, (1) 设波函数为 p ( x )
1 eipx / , 用哈密顿算符对其运算, 证明动 2
量本征态 p ( x ) 也是能量本征态,并写出其能量本征值; (2) 设 t 0 时刻 ( x,0) p ( x) , 求 ( x, t ) ; (3)波函数 ( x) ( x) 是否该自由粒子的能量本征态?为什么?
hc ; eU 0

B.
hc ; eU 0
C.
eU 0 ; hc
D.
eU 0 . hc
(3) 单项选择:下列波函数所描写的状态哪个是定态? A. 1 x, t u x e
ix iE t
u xe u xe
ix
iE
t
;
B. 2 x, t u x e C. 3 x, t u x e
ˆ x ] , [lˆx , lˆy ] 。 [ x, p
5.设 Ylm 是 (l 2 , lz ) 的共同本征态,指出对应的本征值以及量子数 l 和 m 的取值关系。 6.量子态用狄拉克符号表示有什么优点?在以 i (i 1,2,...) 为基矢的 表象中,用狄拉克符号写出算符 Q 的矩阵元。 7. 两个全同费米子处于两个不同的单粒子态 1 和 2 ,写出该体系的波 函数。 8. 简述用变分法如何估算量子体系的基态能量。 9.写出非简并微扰能级的一级和二级修正。 10.简述正常塞曼效应的产生机制。
( x)
2 2 2 2 A(a x )(a x ) 0
x a x a
其中为变分参数,试求基态能级近似值。
5. 考虑由正交归一基 1 , 2 , 3 张成的三维矢量空间。右矢 和 由下式给出
i 1 2 2 i 3 , i 1 2 3
(a) 给出 和 (以对偶基 1 , 2 , 3 表示的)。
*
(b) 求出 和 并证实 .
ˆ 里的 9 个矩阵元,并写出矩阵 A ,它是厄米矩 (c) 在这个基中,求出算符 A
阵吗?

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华南理工大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
四、单价原子中的价电子受原子实的作用势可近似表示成
V ( x) e2a e2 2 0 , (0 1) , r r
(25 分) a 0 为玻尔半径。求价电子的能级,并与氢原子能级做比较。
1 五、一自旋为 ,磁矩为 的不带电粒子,置于磁场中。 t 0 时磁场 2
0 沿 z 方向,即 B B0 (0,0, B0 ) ,而粒子处于 z 的本征态 1 。
来自百度文库630
华南理工大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
(试卷上做答无效,请在答题纸上做答,试后本卷必须与答题纸一同交回) 科目名称:量子力学 适用专业:理论物理;凝聚态物理 共 ( 本试卷共 5 大题,每题 30 分,总分 150 分) 1. (1) 简答:如果一个微观粒子的速率增加,则它的德布罗意波长将增大还是减小? (2) 单项选择:当单色光垂直照射金属表面产生光电效应时,已知此金属的逸出电 位为 U 0 ,则这种单色光的波长 一定要满足的条件是 A.

iE1
t

iE2
t
;

iE
t
u xe
t
iE
t
;
t
D. 4 x, t u x e

iE1
u xe
iE2
.
(4) 单项选择:泡利不相容原理指的是 A. 自旋为整数的粒子不能处于同一态中; B. 自旋为整数的粒子处于同一态中; C. 自旋为半整数的粒子能处于同一态中; D. 自旋为半整数的粒子不能处于同一态中。 2. 求出如下势垒的透射系数,按 E<V0 和 E=V0 两种情况分开处理。

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二、质量为 m ,能量为 E 的粒子从 势垒 V ( x) ( x) 一边入射,求透 射系数,并讨论粒子流密度的连续性。 (25 分)
ˆ, H ˆ ] 0 。证明不论体系处于任何状 三、设 A 为体系的一守恒量,即 [ A
态 (t ) ,力学量 A 的平均值和几率分布都不随时间改变。 (25 分)
二、设粒子限制在立方形匣子中运动,即
0, 0 x a, 0 y b, 0 z c V ( x, y , z ) , 其余区域
求能量本征值和本征函数。如果 a b c ,讨论能级的简并度.
三、 ( 1)利用轨道角动量分量 lˆx , lˆy , lˆz 的对易关系证明:在 lˆz 的本征态下
t 0 时再加上沿 x 方向的较弱磁场 B1 ( B1 ,0,0) 。求 t 0 时粒子的
自旋态,以及测得自旋向上的几率。 (25 分)

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华南理工大学 2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
(试卷上做答无效,请在答题纸上做答,试后本卷必须与答题纸一同交回) 科目名称:量子力学 适用专业:凝聚态物理 共 2 页
V0 V x 0 a x a x a
(V0>0)

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3. (a) 求出自旋角动量 Sy 的本征值和本征矢。
a (b) 如果对一个一般态 测量 Sy,可能得到什么值?每一个值的概率大小 b
是多少?注意:a 和 b 不一定是实数!
4. 粒子在无限深势阱( a x a )中运动,取试探波函数为
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