概率复习题答案

一、全概率公式与贝叶斯公式1、设有一批产品由甲，乙，丙三个工厂生产，甲厂生产其中的21，其它二厂各生产41，又知甲乙两厂产品各有3%是次品，丙厂有2%是次品，(1)从这批产品中任取一件产品，求取到次品的概率？ (2)已知取到的是次品,求该次品是由乙厂生产的概率? 1、解：取到的产品是甲，乙，丙工厂生产的分别记为321,,A A A ，取到的产品是次品记为B ，则由全概率公式得：)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++==02.04103.04103.021⨯+⨯+⨯=40011由贝叶斯公式得：)()()|()|(222B P A P A B P B A P = = 1134001103.041=⨯2、国美电器商店里的冰箱有三个品牌，“海尔”品牌的次品率为0.01，份额为80%，“天尔”品牌的次品率为0.02，份额为15%，“地尔”品牌的次品率为0.03，份额为5%，随机地调查一名顾客,询问他购得的冰箱的质量.(1) 求顾客购得次品冰箱的概率。

(2) 已知顾客购得次品冰箱，求此冰箱恰好是“海尔”品牌的概率。

2、解：购到的冰箱是“海尔”，“天尔”，“地尔”品牌的分别记为321,,A A A ，购到的冰箱是次品的记为B ，则由全概率公式得：)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++==05.003.015.002.08.001.0⨯+⨯+⨯=0.0125 由贝叶斯公式得：)()()|()|(111B P A P A B P B A P ==64.00125.08.001.0=⨯3、某厂有三条流水线A ，B ，C 生产同一产品，其产品分别占总量的40％，35％， 25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从出厂的产品中任取一件。

问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，则该次品是流水线A 生产的概率是多少？3、解： 设 {}D =取得的是次品……2分则由全概率公式得:(1)()(|)()(|)()(|)()P D P D A P A P D B P B P D C P C =++0.020.40.040.350.050.250.0345=⨯+⨯+⨯= …………4分由贝叶斯公式得：()(|)()0.008(2)(|)0.232()()0.0345P A D P D A P A P A D P D P D ⋂==== ……4分二、已知联合概率密度求边缘概率密度1、设二维随机变量），Y X (在区域G:1,0,0≤+≥≥y x y x 上服从均匀分布，试求：（1）联合概率密度),(y x f ；（2）边缘概率密度(),()X Y f x f y ,并判断X 和Y 是否独立；（3）}5.00,5.00{≤≤≤≤Y X P . 1、解：(1)2(,)(,)0(,)x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰-其它010222)(10x x dy x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰-其它010222)(10y y dx y f y Y 因)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以不独立 (3) 0.50.500{00.5,00.5}20.5P X Y dxdy ≤≤≤≤==⎰⎰2、已知二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为1() , 0 2 , 0 2(,)80 ,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：(1)关于X 和Y 的边缘概率密度函数，X 、Y 是否独立？为什么？(2)cov(,)X Y (3) 令2,Z X Y =+求E(Z)。

2、解：(1)计算可得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+=⎰其它02041)(81)(20x x dy y x x f X ，由X 与Y 的对称性知：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+=⎰其它02041)(81)(20y y dx y x y f Y 因)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故x 与y 不是独立的。

(2)6741E(X)E(Y)20=+⋅⋅==⎰dx x x , (2分) 而⎰⎰=+⋅=2020348)(dxdy y x xy XY E ，故361)67(34),(2-=-=Y X Cov (3)E(Z)=E(X)+2E(Y)=27，3、设随机变量Y X ,的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它00,103),(xy x x y x f (1) 求)()(y f x f Y X 与；(2)Y X 与是否相互独立,为什么？3、解：(1) ,0103)(2⎩⎨⎧≤≤=其他x x x f X （3分）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,0102)1(3)(2其他y y y f Y （3分） (2) 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以Y X 与不相互独立。

（4分）4、设(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f (1) 求边缘密度函数)()(y f x f Y X 与； (2)Y X 与是否相互独立,为什么？4、解：(1)⎩⎨⎧<<=,,010,2)(其他x x x f X ⎩⎨⎧<<=,,010,3)(2其他y y y f Y（6分） (2) 因)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立。

（4分）5、已知二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=--其它0,0),(32y x ae y x f yx(1)试确定常数a ;(2)求边缘密度函数)(),(y f x f Y X ,随机变量Y X ,是否相互独立？ 5、解：2301x y ae dxdy +∞+∞--=⎰⎰2分所以 6=a 2分(2)⎩⎨⎧>=-其它002)(2x e x f xX 2分⎩⎨⎧>=-其它03)(3y e y f yY 2分(3)由于对任意2),(R y x ∈,有)()(),(y f x f y x f Y X =,故Y X ,独立.---2分6、设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y x y x =≤≤≤上服从均匀分布。

求边缘密度函数(),()X Y f x f y 。

6、解：因⎩⎨⎧∉∈=Gy x Gy x y x f ),(0),(1),(， 2分所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰-∞+∞-其它01021),()(x x dy dy y x f x f x xX ， 4分111101()(,)1110yY ydx y y f y f x y dx dx y y +∞-∞-⎧=-≤≤⎪⎪===+-≤≤⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰，，0， 其他4分 三、随机变量数字特征的计算1、一射手向指定目标射击2次，各次射击的结果相互独立，且每次射中的概率是31，用X 表示2次射击射中的次数.（1）求X 的分布律并计算E(X)，D(X)。

（2）若以Y 表示2次射击不中的次数，求cov(,)X Y ，E(Y)，D(Y)，XY ρ。

1、解：(1)X 的分布律为： X 0 1 2k p 2)32( )31)(32(12C 2)31( E(X)= )31)(32(12C +22)31(=32， =)(2X E )31)(32(12C +42)31(=98， D(X)=94)]([)(22=+X E X E(2)Cov(X,Y)=Cov(X,2-X)=-D(X)=-94,E(Y)=E(2-X)=2-32=34, D(Y)=D(X)=94, 1-=XY ρ2、已知随机变量X 与Y 分别服从正态分布()21,3N 和()20,4N ，且X 与Y的相关系数为12XY ρ=-，设,32X YZ =+求 （1）)(Z E 和)(Z D ；（2）Z)Cov(X,；（3）XZ ρ.2、解：（1）31)(21)(31)23()(=+=+=Y E X E Y X E Z E , （3分） ),(31)(41)(91)23()(Y X Cov Y D X D Y X D Z D ++=+=3)()(31)(41)(91=++=XY Y D X D Y D X D ρ （4分） （2）0),(21),(31)23,(Z)Cov(X,=+=+=Y X Cov X X Cov Y X X Cov （3分）（3）0=XZ ρ （2分）3、随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1,110,0,0)(3x x x x x F ,求)(),E(X D X3、解：)(X E 433)(103===⎰⎰+∞∞-dx x x xdF ， （4分）533)()(10422===⎰⎰+∞∞-dx x x dF x X E （3分） )(X D =803)]([)(22=-X E X E （3分）4、随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-= , 0 , 1)(33a x ax x a x F ，求E （X ）,D （X ）。

4、解：依题意，随机变量X 的概率密度函数为343()0a x x a f x x a-⎧≥=⎨<⎩2分343()()32aaE X xf x dx x a x dx +∞+∞--∞==⋅=⎰⎰， 3分 24322233)()(a dx x a x x dF x X E a=⋅==⎰⎰+∞-+∞∞-， 3分所以 D(X)=43)]([)(222a X E X E =- 2分5、已知连续型随机变量X 的概率密度为2 , 01()0 ,ax bx c x f x ⎧++≤≤=⎨⎩其它且E(X)=0.5，D(X)=0.15。

求a ,b ,c 。

5、解：120120122201()20.5()20.150.5()2ax bx c dxx ax bx c dxx ax bx c dx⎧=++⎪⎪=++⎨⎪⎪+=++⎩⎰⎰⎰分分分， 从中解得a=12,b=--12,c=3 4分四、中心极限定理1、某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年（52周）内售出该商品件数在50件到70件之间的概率.1、解：设该商店第i 周售出该商品件数为52,,2,1, =i X i ，则该商店一年内（52周）售出该商品件数∑==521i i X X ，因i X 服从参数为1=λ的泊松分布，所以E(X)=52，D(X)=52所以5070250280993806103106041{}(.)(.)...P X P <<=<<≈Φ-Φ-=+-=2、某商场计划在元旦期间召开一次规模为120人参加的联谊会，根据以往的经验，接到邀请的人中平均有80%到会，故发出了150张请柬，试求前来参加联谊会的人数为110到130人的概率(用)(x Φ表示)2、解：.设前来参加联谊会的人数为X ,则有)8.0,150(~B X ， 由隶莫夫－拉普拉斯中心极限定理}2.08.01508.01501302.08.01508.01502.08.01508.0150110{}130110{⨯⨯⨯-<⨯⨯⨯-<⨯⨯⨯-=<<X P X P 1)6210(2-Φ≈3、某食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一块蛋糕的价格是一个随机变量，它取1， 1.2，1.5（元），各个值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5. 若某天售出300块蛋糕，求这天的收入至少有400元的概率.（结果保留Φ）3、解：设一块蛋糕的价格为i X ，其分布律为：1 1.2 1.5~0.30.20.5i X ⎛⎫⎪⎝⎭，1,2,...,300i =可求出05.0)(,29.1)(==i i X D X E （5分）1{400}11(3.36)10.99970.0003ni i P X =≥≈-Φ=-Φ=-=∑（5分）4、报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为0.6，1.0，1.5，1.8（元），且每份报纸售出的概率分别为0.25， 0.3， 0.35，0.1.若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少有450元的概率．（结果保留0),(>Φa a 其中）4、解：设k X 为该天售出第k 份报纸的收入()400.,2,1 =k ． 则()155.11.08.135.05.13.00.125.06.0=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，（2分）()5015.11.08.135.05.13.00.125.06.022222=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，所以 ()()()[]167475.0155.15015.1222=-=-=k k k X E X E X D （3分） 令X 表示该天的总收入，则∑==4001k k X X ．由独立同分布中心极限定理得{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≥⨯⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=≥∑∑==167475.0400155.1400450167475.0400155.140045045040014001k k k k X P X P X P()()9292.0466.1466.11466.1167475.0400155.140014001=Φ=-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<⨯⨯--=∑=k k X P ．（5分）5、在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量的结果相互独立且服从正态分布2(,0.2)N a 。