任意直线段N等分尺规画法WPS
尺规作图方法大全(正式)
aM③②①尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1） 作射线AP ；（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOBca bPBAPmn作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。
则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
任意长直线段三等分
任意长直线段三等分
或任意长直线段任意等分
这里应用的是相似直角三角形原理进行任意长直线段任意等分的几何尺规画法
所谓尺规画法就是应用最原始的画法，用无刻度的直尺、圆规、笔、纸、或物体平面来进行任意长直线段的任意等分。
不是利用计算工具和测量工具来完成的。
以任意长直线段三等分为例
作法：
1、作任意直线段长AB
2、以A点为圆心，作AB的垂线AC,∠CAB=90°
3、以B点为圆心，作BA的垂线BD,∠DBA=90°
4、在AC上任意作点E,得AE
5、在BD上作BF=FG=AE, BG=2AE
6、连接EG交AB于H点
7、以H点为圆心，HA长为半径画圆，交HB于J点。
8、得AH=HJ=JB, AB=3AH
中国化学工程第七建设有限公司
王建华
2015-5-30。
知识点6：等分线段、作正多边形、斜度、锥度
第一讲——工程图基本知识
知识点6：等分线段、作正多边形、斜度、锥度
欲将已知直线段AB五等分，可过其一个端点A任作一直线AC，用分规以任意距离在AC上量得1、2、3、4、5各等分点，然后连
接5-B，并过各等分点作5-B的平行线，即得AB
上的各等分点。
等分线段
用绘图工具可绘制正多边形, 其画法如下表所示。
作正多边形
斜度是指一直线对另一直线或一平面对另一平面的倾斜程
度，在图样中以1：n的形式进行标注，而且应使斜度符号斜边的倾斜方向与所注斜度的方向一致。
斜度符号标注方法
锥度是指正圆锥的底圆直径与圆锥高度之比，标注时常将锥度值化为１：n的形式，其锥度符号的方向应与所注锥度的方向一致。
锥度符号标注方法
知识点6：等分线段、作正多边形、斜度、锥度。
N等分线段的尺规作图法及证明资料讲解
N等分线段的尺规作图法及证明崔谧（安定区风翔学区小西岔小学甘肃定西743000）几何学从诞生到发展，再到逐步完善，除一条线段能被(n≥1且n为一正整数)等分外，至今还没有一种严格的几何方法能将一条线段进行任意N(N>3且N为一正整数)等分。
经过长期的探究，本人发现有一种严格的几何方法——定点定比交轨思想及方法可以将一条线段进行任意N(N>2且N为一正整数)等分。
该方法将以一条线段二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述。
为了简单明了起见，先详细介绍用该思想及方法将一条线段三等分和五等分的作法及证明过程，然后以此作为主要思想和理论依据进行论述任意N等分的作法及证明过程.将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点,以相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线,然后再确定该轨迹(直线)与已知线段的交点，即已知线段的二分之一点。
因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既定公理，无须再述。
我们可以称其为一一交轨思想（两条半径的长度比为1:1）。
依据以上二分线段的一一交轨（两条半径的长度比为1:1）的思想和方法，可以用已知线段的两个端点为定点，用长度比为2:1的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆，然后再确定该轨迹(弧所在的圆)与已知线段的交点，即已知线段的三分之二点。
我们可以称其为二一交轨思想（两条半径的长度比为2:1）。
具体作法和证明如下：作法：1.画线段AB并求其中点C。
2.用目测法在点C和B之间取一点D,使得线段AD的长度大于线段AB的三分之二而小于线段AB的长度，再求线段AD的中点E。
3.以A为圆心，以AD为半径画弧，以B为圆心，以AE的长为半径画弧，使两条弧相交与点F；以点A为圆心，以AB为半径画弧，以B为圆心，以BC为半径画弧，使两条弧相交于G点。
（确保点F和G在线段AB的同侧）4.连接FG并求其中垂线HI，延长HI交AB的延长线于点J。
WPS演示中绘制几何图的方法步骤图
WPS演示中绘制几何图的方法步骤图WPS演示中怎么绘制几何图?虽然金山WPS演示中已经提供了很多作图工具以及模板，但是有时候也不能满足一些特殊的作图需要，比如演示数学函数图像的时候，函数图形要求很严格，很精细，下面店铺就教你WPS演示中绘制几何图的方法。
WPS演示中绘制几何图的方法在演示文稿中添加“抛物线”图像。
先在几何画板中将“抛物线”图形画出来后，再选中复制到剪贴板。
然后打开金山WPS演示文稿，找到要添加的位置。
WPS演示中绘制几何图的方法图2在编辑“菜单”中选择“粘贴”，在剪贴板中的图像就被复制到演示文稿中了。
下面是我利用此方法在演示文稿中制作的图，同时这个方法还可以在WPS文字中使用，比如制作数学教案等，大家试试看。
WPS演示中绘制几何图的方法图3 在Word中绘制立体几何图的方法 1.在“绘图”工具栏的“自选图形/基本形状”中选择“平行四边形”，用它画两个平面，且相交。
调整好两平面的位置，并用直线工具画一条平面相交线。
2.将被遮挡的部分画成虚线。
利用直线工具画两条线段，长度与被遮挡线段等长，并将其完全覆盖。
从工具栏上的线型列表中，将所画线段设置为虚线。
此时因为虚线下面是实线，所以看上去还是实线。
双击虚线，打开“设置自选图形格式”对话框，在“线条与颜色”选项卡中将“线条”颜色设置为“白色”，确认退出。
现在你再瞧，遮挡部分变成虚线了吧。
提示：此时虚线看上去有点模糊，为获得最佳效果，可将虚线设置得比实线宽一点。
如实线是0.75磅，虚线可设置为1.5磅，这样效果就非常好了。
3.若要给平面加上标注(如α、β)，可先插入一个文本框，对文本框进行如下设置：双击文本框，打开“设置文本框格式”对话框，在“线条与颜色”选项卡中将“线条”颜色设置为“无线条颜色”，并在“填充”中将“透明度”设置为100%。
然后在文本框中输入字母。
最后把全部对象选中，组合在一起。
如果您使用的是Word XP，在开始绘图时把图形画在画布内，完成后不需组合。
wps文字表格怎样用画线工具
wps文字表格怎样用画线工具如何在wps文字中画线条呢?其实添加方法很简单，在wps中就有线条形状了，选择形状图表就可以直接添加。
下面店铺就为你提供wps文字中如何画线的方法啦!wps文字画线的方法输入好文字，然后单击菜单栏--插入--形状，选择直线。
在文字上方画出一条直线，然后右击，设置对象格式。
在这个界面我们可以设置线条的颜色类型等等。
这样上划线就设置好了，重新输入一行文字，选中，右击，字体。
选择下划线类型以及颜色，应用即可。
相比之下，下划线的添加简单多了。
wps实用技巧1、WPS文字表格玩自动填充在WPS文字表格里选中要填入相同内容的单元格，单击“格式→项目符号和编号”，进入“编号”选项卡，选择任意一种样式，单击“自定义”按钮，在“自定义编号列表”窗口中“编号格式”栏内输入要填充的内容，在“编号样式”栏内选择“无”，依次单击“确定”退出后即可。
2、WPS文字中巧输星期单击“格式→项目符号和编号”，进入“编号”选项卡，单击“自定义”按钮，在“编号样式”栏内选择“一、二、三”等样式，在“编号格式”栏内的“一”前输入“星期”即可。
3、粘贴网页内容在WPS文字中粘贴网页，只须在网页中复制内容，切换到WPS 文字中，单击“粘贴”按钮，网页中所有内容就会原样复制到WPS文字中，这时在复制内容的右下角会出现一个“粘贴选项”按钮，单击按钮右侧的黑三角符号，弹出一个菜单，选择“无格式文本”即可。
4、快速转换大写金额在WPS文字中输入12345，然后点击“插入→数字”命令，在弹出的“数字”对话框“数字类型”栏里选择中文数字版式“壹、贰、叁…… ”单击“确定”，则12345就变成中文数字“壹万贰仟叁佰肆拾伍”。
5、去掉自动编号功能点击“左上角WPS文字- 选项”，打开“选项”对话框，进入“编辑”选项卡，找到“键入时自动应用自动编号列表”复选项，取消前面的钩即可。
这样就可以去掉那些“烦心”的自动编号功能。
初中数学尺规作图方法大全
初中数学尺规作图方法大全尺规作图是一种用没有刻度的直尺和圆规作图的方法。
最基本的尺规作图通常称为基本作图，而一些复杂的尺规作图则是由基本作图组成的。
基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线。
第一个问题要求作一条长度等于已知线段a的线段AB。
作法是先作射线AP，然后在射线AP上截取AB=a。
这样就得到了所求的线段AB。
第二个问题要求作已知线段MN的中点O。
作法是以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P、Q，然后连接PQ交MN于O。
这样就得到了所求的点O。
第三个问题要求作已知角AOB的角平分线OP。
作法是以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于M、N，然后分别以M、N为圆心，大于AOB的线段长为半径画弧，两弧交AOB内于P，最后作射线OP。
这样就得到了所求的角平分线OP。
第四个问题要求作一个角等于已知角AOB。
作法是先作射线O'A'，然后以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N，再以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’，以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’，最后连接O’N’并延长到B’。
这样就得到了所求的角A’O’B’。
最后一个问题要求经过点P作直线CD，使得CD经过点P且CD⊥AB。
作法是以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N，然后分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点Q，最后过D、Q作直线CD。
这样就得到了所求的直线CD。
题六：已知直线AB及外一点P，求作直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB。
作法：1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；2）分别以M、N为圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；3）过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。
题目七：已知三边作三角形。
已知：线段a，b，c，求作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
尺规作图方法大全(正式)
BPAaOQPNMON MBPA N MB O A ③②①A'A'N'O'B'M'O'A'N'M'M'O'尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本，最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角;3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线； (1)题目一：作一条线段等于已知线段. 已知:如图,线段a 。
求作:线段AB ，使AB = a . 作法：（1） 作射线AP;（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图,线段MN 。
求作:点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）。
作法:（１）分别以M 、N 为圆心,大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P,Q; (２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
(3）题目三：作已知角的角平分线. 已知：如图，∠AOB ，求作:射线OP ， 使∠AOP ＝∠BOP(即OP 平分∠AOB)。
作法:（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2)分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧,两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A ’O ’B ’,使A'O ’B'=∠AOBcabP BBAPmn 作法：（1)作射线O ’A'；(2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧,交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心,以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； (4）以M'为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N'并延长到B ’. 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1的长度自然就出来了. 【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，角形..） ⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆. ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄NM P CB Al金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△，∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD=．∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DECFCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△．∴ADCFGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；M （答案图1）M （答案图2）A CB 图1 A D B 图2CAD B图3C F E 图4画法一：如答图1，取EF中点G，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM NE∥交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．。
《尺规作图三等分任意线段》再探
《尺规作图三等分任意线段》再探方法1：从作垂直平分线切入①.在线段AB上做等边三角形ABL.做△ABL的外接圆ALB,圆心的点O；②.过点B,L,A分别作△ABL三条边AL,AB,BL的垂直平分线BH,LC,AK.(这个LC上半部分因为用不到,就不画了).③.它们交圆ALB与点H,C,K.连接HC,KC,HK.则HC和KC与线段AB的交点M、N就是线段AB 的三等分点.说明：本方法来源于学科网“教师帮”论坛→数学→初中数学→ 2014年12月18日的一会员贴.下面我提供几种方法供各位来讨论！方法2：从作角平分线切入①.以线段AB上做等边三角形ABC;②.分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线交于点O;③.分别在三条角平分线上截取OD=OA,OE=OB,OF=OC;④.连接EF,FD,DE.则EFN就是线段AB的三等分点.说明：由于等边三角形具有三线合一，四心合一的特点，所以不管作角平分线，还是中线、高线、中垂线，按此方法截取、连接均可以找到线段AB的三等分点.和方法1有“异曲同工”之妙.方法3：根据重心定理的性质来切入①.以线段AB上做等边三角形ABC;②.分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线交于点O(由于等边三角形四心合一，内心与重心是重合的);③.过点O分别作DE∥AB,MH∥AC,NG∥BC(各交点见图).与AB的交点M、N就是线段AB的三等分点.说明：①.示意图中的有些线条是隐去了的；②.由于三角形的重心（三边中线的交点）到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，再根据平行线分线段对应成比例，容易得到AN=2BN，BM=2AN;所以AM=MN=BN.方法4：根据平行线等分线段的性质来切入①.以线段AB端点A作一射线AF（注意F、A、B不能共线）；②.在射线AF上依次截取AD=DE=EC；③.连结BC,并分别过D、E作DM∥BC,NE∥BC与线段AB分别交于M、N点，M、N就是线段AB 的三等分点.说明：根据平行线等分线段的性质，由DM∥BC,NE∥BC可推DM∥NE∥BC，又AD=DE=EC；故AM=MN=NB.以上示意图虽然是在几何画板中制作的，但平时均可以用尺规作图完成；我想方法还有更多，甚至用尺规作图还有更为简捷的，希望我的这些方法能起到抛砖引玉的作用！郑宗平 2015/1/20《尺规作图三等分任意线段》再探。
等分线段、斜度等
D
b)
1:4
R6
C2
72 96
c)
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11
小结
思考题
❖ 1、如何绘制圆内接正三边形和圆内接正八边形？
❖ 2、斜度和锥度有何区别？1：5的斜度和1：5的锥度是否相同？
2024/7/15就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
E
B
c)
1:6
∅ 32
60x60
d)
3 3
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第二节 斜度和锥度
❖ 锥度是指圆锥的底面直径与其高度的比值。 ❖ 锥度常用于机械零件中的圆锥销、工具手柄等处，而且有些锥度已经标准化了。在图样中，
锥度也常以比例的形式表示，例如：锥度1：5；锥度1：10。
1:5
15°
1.4h
2024/7/15
第二章 机械制图基本技能
第一节 等分线段和等分圆周
A
BA
BA
B
A1 2B
1
C
2 3
C
1 2 3
a)
b)
c)
d)
三等分线段
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1
第一节 等分线段和等分圆周
圆内接正方形的画法
B
B
O
A
C
D D
B CA
A D
B C
任意角三等分WPS
任意角三等分任意角三等分，尺规画法分两部分举例说明：一、以大于0°小于等于90°任意角三等分尺规画法举例说明：Z YA BU VS TXQ RE FC DGHPI NL MO JK1、作大于0°小于等于90°的任意角∠AOB2、以O点为圆心，取任意长为半径画圆，交AO于C点，交BO于D点3、作∠COD的角平分线ZK，交圆于E点和K点4、作∠EOD的角平分线FO，交圆于F点5、作∠EOF的角平分线XO6、以D点为圆心，等于DE长为半径画弧，交圆于H点7、过O点，作IJ⊥EK8、连接KF并延长至Y点，交IJ于M点9、以O点为圆心，OM长为半径画弧，交OI于L点10、连接OH交KY于N点11、以O为圆心，ON长为半径画弧，交EO于P点12、以E点为圆心，EO长为半径画弧，交EZ于Q点13、以P点为圆心，PQ长为半径画弧，交OX于R点14、连接RK交圆于G点15、以G点为圆心，GK长为半径画弧，交KY于V点16、以O点为圆心，OV长为半径画弧，交AO于S点，交BO于T点17、以V点为圆心，VT长为半径画弧，交弧于U点18、U点、V点三等分弧⌒ST19、连接OU、连接OV20、得∠AOU=∠UOV=∠VOB=∠AOB/3（三等分∠AOB）21、完成尺规三等分大于0°小于等于90°以内的任意角二、以大于90°小于等于360°任意角三等分尺规画法举例说明：AB c d e fG hI jKL m nP q r SO T HU JVX Y WZ DE F1、作大于90°小于等于360°任意角∠EOF2、以O点为圆心，任意长为半径画圆，交EO于X点，交FO于Y点3、二等分角∠EOF，得∠EOA=∠FOA4、二等分角∠FOA，得∠SOA=∠SOF（就是首先将任意角∠EOF进行四等分）5、取1/4角∠AOS进行三等分（就是对大于0°小于等于90°任意角进行三等分）（重要说明：只要精确地完成大于0°小于等于90°以内的任意角三等分，就等于完成了大于0°小于等于360°以内的任意角三等分，因为360°角由4个90°角组成，所以首先考虑的是将大于90°小于等于360°以内的任意角进行4等分，然后将其中的任何一个角进行三等分，最后将小的三等份加上大的三等份，就完成了大于90°小于等于360°以内的任意角三等分）6、作∠AOS的角平分线cV交圆于V点、m点7、作∠cOS的角平分线Oh交圆于r点8、作∠cOh的角平分线Od9、过O点作WL⊥cV10、连接Vr并延长至f交OW于U点11、以O点为圆心，OU长为半径画弧，交OL于P点12、以H点为圆心，Hm长为半径画弧，交圆于J点13、连接PJ交Vf于T点14、以O点为圆心，OT长为半径画弧，交Oc于q点15、以m点为圆心，mO长为半径画弧，交Oc于G点16、以q点为圆心，qG长为半径画弧，交Od于I点17、连接IV交圆于n点18、以n点为圆心，nV长为半径画弧，交Vf于e点19、以O点为圆心，Oe长为半径画弧，交EO于Z点，交FO于D点20、小弧⌒eS+大弧⌒SD=弧⌒eD21、以e点为圆心，eD长为半径画弧，交大圆于B点22、e点、B点三等分弧⌒ZBeD23、得弧⌒ZB=弧⌒Be=弧⌒eD24、连接OB和连接Oe25、得∠EOB=∠BOe=∠eOF=∠EOF/3（完成尺规三等分任意角）中国化学工程第七建设有限公司四川泸州分公司木工：王建华QQ25054059272015-08-10。
初中尺规作图详细讲解含图
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形==.2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..设法构造斜边为1的的长度自然就出来了.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2.）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形作法：⑴ 作线段12MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点． 【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h=△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DEC FCE S S =△△．A CB 图1 ADB 图2C AD B 图3 C FE 图4设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．E M （答案图1）E M （答案图2）。
wps表格如何3等分
竭诚为您提供优质文档/双击可除wps表格如何3等分篇一：任意角三等分wps任意角三等分任意角三等分，尺规画法分两部分举例说明：一、以大于0°小于等于90°任意角三等分尺规画法举例说明：1、作大于0°小于等于90°的任意角∠aob2、以o点为圆心，取任意长为半径画圆，交ao于c点，交bo于d点3、作∠cod的角平分线zk，交圆于e点和k点4、作∠eod的角平分线Fo，交圆于F点5、作∠eoF的角平分线xo6、以d点为圆心，等于de长为半径画弧，交圆于h点7、过o点，作ij⊥ek8、连接kF并延长至y点，交ij于m点9、以o点为圆心，om长为半径画弧，交oi于l点10、连接oh交ky于n点11、以o为圆心，on长为半径画弧，交eo于p点12、以e点为圆心，eo长为半径画弧，交ez于q点13、以p点为圆心，pq长为半径画弧，交ox于R点14、连接Rk交圆于g点15、以g点为圆心，gk长为半径画弧，交ky于V点16、以o点为圆心，oV长为半径画弧，交ao于s点，交bo于t点17、以V点为圆心，Vt长为半径画弧，交弧于u点18、u点、V点三等分弧⌒st19、连接ou、连接oV20、得∠aou=∠uoV=∠Vob=∠aob/3（三等分∠aob）21、完成尺规三等分大于0°小于等于90°以内的任意角二、以大于90°小于等于360°任意角三等分尺规画法举例说明：abcdefhjrsVwdeF1、作大于90°小于等于360°任意角∠eoF2、以o点为圆心，任意长为半径画圆，交eo于x点，交Fo于y点3、二等分角∠eoF，得∠eoa=∠Foa4、二等分角∠Foa，得∠soa=∠soF（就是首先将任意角∠eoF进行四等分）5、取1/4角∠aos进行三等分（就是对大于0°小于等于90°任意角进行三等分）（重要说明：只要精确地完成大于0°小于等于90°以内的任意角三等分，就等于完成了大于0°小于等于360°以内的任意角三等分，因为360°角由4个90°角组成，所以首先考虑的是将大于90°小于等于360°以内的任意角进行4等分，然后将其中的任何一个角进行三等分，最后将小的三等份加上大的三等份，就完成了大于90°小于等于360°以内的任意角三等分）6、作∠aos的角平分线cV交圆于V点、m点7、作∠cos的角平分线oh交圆于r点8、作∠coh的角平分线od9、过o点作wl⊥cV10、连接Vr并延长至f交ow于u点11、以o点为圆心，ou长为半径画弧，交ol于p点12、以h点为圆心，hm长为半径画弧，交圆于j点13、连接pj交Vf于t点14、以o点为圆心，ot长为半径画弧，交oc于q点15、以m点为圆心，mo长为半径画弧，交oc于g点16、以q点为圆心，qg长为半径画弧，交od于i点17、连接iV交圆于n点18、以n点为圆心，nV长为半径画弧，交Vf于e点19、以o点为圆心，oe长为半径画弧，交eo于z点，交Fo于d点20、小弧⌒es+大弧⌒sd=弧⌒ed21、以e点为圆心，ed长为半径画弧，交大圆于b点22、e点、b点三等分弧⌒zbed23、得弧⌒zb=弧⌒be=弧⌒ed24、连接ob和连接oe25、得∠eob=∠boe=∠eoF=∠eoF/3（完成尺规三等分任意角）中国化学工程第七建设有限公司四川泸州分公司木工：王建华qq250540592720xx-08-10篇二：任意直线段三等分wps直线三等分供任意直线段三等分爱好者共同探讨。
将任意一条线段任意等分的尺规作图方法
将任意一条线段任意等分的尺规作图方法已知任意一条线段a，利用尺规将它二等分就是作它的垂直平分线，垂足即为二等分点。
已知任意一条线段a，利用尺规将它三等分、四等分、五等分……，怎么做呢？
下面给出一种方法，可以将任意一条线段n等分。
1、过已知线段AB的一个端点A做任意一条射线AC
2
距离的几个点。
例如要三等分，则取三个点，如图用圆规取M、N、P三点，使得AM=MN=NP。
3、连结PB,分别过点M和点N作直线M D‖PB,NE‖PB,交线段AB分别于点D和点E。
即点D和点E就是所要求作的已知线段AB的三等分点。
注:过直线外一点作已知直线的平行线用尺规法是可以的。
用此法以此理类推，用尺规就可以将任意一条线段任意等分。
证明：由作图可知AM=MN=NP，M D‖NE‖PB,
依据平行线等分线段成比例定理可知：AM：MN：NP=AD：DE：EB=1：1：1.
所以，AD=DE=EB,
即点D和点E就是线段AB的三等分点。
wps表格中如何画直线
竭诚为您提供优质文档/双击可除wps表格中如何画直线篇一：wps表格中怎么画斜线wps表格中怎么画斜线(对角线)以及绘制斜线表头时间:20xx-02-20兴隆小学-谭后模wps表格绘制斜线表头的方法和excel的方法有些不同，所以有些人在绘制表头的时候遇到了麻烦，用wps表格做报表、姓名表、日常表、工资单的时候最麻烦的就是制作各种各样的表头，而wps表格又没有提供“绘制斜线表头”功能，对初学者来说确实比较因难，这里分步骤介绍在wps中绘制斜线表头的方法。
硬回车换行法以学生成绩登记表为例。
第1步、先在先来绘制一个表格，选中一个区域作为表格，如图所示第2步、在工具栏上的表格样式选项下，随便选择一个你喜欢的样式，绘制出来下面这个表格第3步、将第一行标题行的行高设置的高一些，否则表头就装不下了，由于作为斜线表头的单元格都要比其他单元格大，所以首先将表格中第一个单元大小调整好。
第4步、将文字（科目姓名）录入到要制作斜线表头的单元格中，并适当缩小文字的字号，其中斜线右边的文字在前，如图1。
第5步、将光标定位在科目与姓名的中间，再按“alt+回车”键，如图2。
第6步、在“科目”前面插入4个空格，如图3。
第7步、右击要绘制作斜线表头的单元格，再单击“设置单元格格式”或者是“开始→格式→单元格”命令。
第8步、在打开的单元格格式对话框中，选择“对齐”标签，将垂直对齐的方式选择为“靠上”，再选择“边框”标签，按下“外边框”按钮，使表头外框有线，然后设置一个深一点的颜色，接着再按下面的“斜线”按钮(记住一定是先设置颜色再点击斜线按钮，这样才能绘制出来)为此单元格添加一格对角线，设置好后，单击“确定”按钮，这时wps表格的第一个单元格中将多出一个对角线（如图4）效果如图5。
灵活应用上述方法，再结合“直线”工具还可以制作出其它类型的斜线表头。
上标法第1步、将文字（姓名科目）录入到要制作斜线表头的单元格中，并适当缩小文字的字号，其中斜线右边的文字在后，如图6。
02直线等分的画法
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2014年5月8日1时44分
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教学过程
2014年5月8日1时44分
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教学过程 课堂小结
学生能够掌握如何绘制线段的等分线，能够 独立完成任意的等分线段 通过练习，学生达到能够熟练的完成三等分
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教学过程 课堂练习
完成一条线段的五等分
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隋长伟
2014年5月8日1时44分
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教学过程 教学目标
1、学生能够利用三角板实现直线的等分 2、学生能够独立的在图纸上实现直线等分的基 本画法
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教学过程
试分法 先凭目测估计出每一等份的长度，用分规自 线段的一端起依次截取三个等分点。如果恰 好将线段AB等分尽，则就完成了等分作图。 如果不能恰好将线段AB等分尽，则视其“不 足”或“剩余”部分的长度调整分规的开度， 再进行试分，直到分尽为止。
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第3页Biblioteka 教学过程任意等分直线段的方法如图所示(如将线段A 四等分)。
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教学过程
作图步骤： a：过端点做一条倾斜于已知直线的辅助射线， 并与一直的线段成任意锐角 b：用分规在射线上一任意长度截取n个点 c： 连接射线上找到的第n个点和已知线段的端 点得到一条线C，并且过前面的所有点做 线C的平行线找到和已知线段的焦点即为要 找到的等分点
尺规作图方式大全(正式)
：如图，线段m，n,∠ .
求作：△ABC，使∠A=∠ ，AB=m，AC=n.
作法：
（1）作∠A=∠ ；
（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3）连接BC。
那么△ABC确实是所求作的三角形。
题目九：两角及夹边作三角形。
：如图，∠ ，∠ ，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠ ，∠B=∠ ,AB=m.
〔3〕过D、Q作直线CD。
那么直线CD是求作的直线。
〔6〕题目六：通过直线外一点作直线的垂线
：如图，直线AB及外一点P。
求作：直线CD，使CD通过点P，
且CD⊥AB。
作法：
〔1〕以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；
〔2〕别离以M、N圆心，大于 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；
〔3〕过P、Q作直线CD。
〔4〕以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；
〔5〕连接O’N’并延长到B’。
那么∠A’O’B’确实是所求作的角。
〔5〕题目五：通过直线上一点做直线的垂线。
：如图，P是直线AB上一点。
求作：直线CD，是CD通过点P，且CD⊥AB。
作法：
〔1〕以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；
〔2〕别离以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点Q；
那么直线CD确实是所求作的直线。
〔5〕题目七：三边作三角形。
：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1）作线段AB = c；
（2）以A为圆心，以b为半径作弧，
以B为圆心，以a为半径作弧与
前弧相交于C；
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任意直线段N等分尺规画法
任意直线段N等分：按照相似三角形定义进行解题
（定义）：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
直线段N等分尺规作图比例规律为：N=1∶（N-1)
N------代表要将直线段进行（多少）等分，例如：N可以代表3等分、5等分、7等分等等以5等分直线段为例，举例说明：
C
E
1K L M N
A B
1 1
2
3
4 1
G
2
H
3
J
4
F
D
作法步骤：
1、作直线段AB
2、作CA⊥AB ∠CAB=90°
3、作DB⊥BA ∠DBA=90°
4、作AE=1（假设）
5、作BF=4AE=4×1=4
6、连接EF交AB于K点，
7、得∠AKE=∠BKF(对顶角相等），∠EAK=∠FBK=90°（满足相似三角形条件）
8、得Rt△EAK∽Rt△DBK, Rt△EAK∶Rt△DBK=1∶4
9、以AK长4等分KB,得AK=KL=LM=MN=NB=1（假设），KB=KL+LM+MN+NB=4
10、AB=AK+KB=1+4=5
11、得AK五等分AB
说明：任意直线段N等分尺规画法，就是指直线段的无限次的等分，确切点说，主要是研究任意直线段的（奇数）无限次等分，因为（偶数）无限次等分技术是已经存在的，但是任意直线段N等分在这里已经（包括和满足）了（奇数+偶数）的无限次等分技术。
在百度文库中，可以看到任意直线段三等分尺规画法，只代表直线段的三等分特殊画法，不能代表5、7、9、......等无限次等分的尺规画法。
在这里，主要研究的是直线段的（有效）（无限次）等分的尺规画法。
直线段的N等分尺规画法，在百度文库中，可以看到，在研究（化圆为方）中应用到了直线段的3等分、5等分技术，在研究（立方倍积）中应用到了直线段的5等分技术，只有在研究（任意角三等分）时，没有应用到直线段的N等分技术。
直线段的N等分尺规画法技术，主要应用了（相似三角形）的（判定定理）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（定义）：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
对直线段N等分的研究，起源于对（化圆为方）和（立方倍积）的研究，因为在研究（化圆为方）与（立方倍积）时，应用到了5等分直线段技术。
对直线段3等分的研究，起源于对（任意角三等分）的研究，当时是考虑怎么样才能3等分任意角的弦长，其结论是研究成功实现了任意直线段的三等分，但是三等分任意角的弦长并不能实现任意角的三等分，只有三等分任意角的弧长才能实现三等分任意角。
但是，任意角三等分，通过其它方式，也成功地完成了任意角三等分，可以在百度文库看到，只是目前还没有找到数学计算方式可以证明，却可以通过（几何画板）软件的角度读数来确定3个角度的精确度，你可以看到它的完美性。
需要说明的是，用相同的画法步骤，就能够完美地三等分大于0°小于等于360°之内的任意一个不同的角度。
只要按照角的三等分方法步骤，就犹如分任意角2等分那么容易而且标准。
指的是用（几何画板）软件三等分任意角，是那么的容易和标准，如改用圆规和直尺，可能是因为定点，定距离产生判断误差而不够标准和完美。
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四川泸州分公司
木工：王建华
2015-08-06。