偏微分方程PPT课件
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（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3）
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1.1 基本概念
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1.2 三类经典方程的导出
例1.2.1 弦的微小横振动问题 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系 统研究的。 设有一根长为L均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿 直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。 试确定该弦的运动方程。
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.3.3定解问题
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1.4定解问题的适定性
定解问题的提法是否合适？
例如：这个定解问题的解是否一定存在？ 解的存在性问题
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.3定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具 体问题的完整描述，称为定解问题。
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1.1 基本概念
（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
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1.1 基本概念
如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是 线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数， 则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。
（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
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1.1 基本概念
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数 的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分 方程。 例
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1.1 基本概念
对于线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及 其偏导数的项称为自由项。 当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非 齐次方程。 注：齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
无热源的情况下得到的热传导方程： 有热源的情况下得到的热传导方程：
称为齐次热传导方程 称为非齐次热传导方程
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 拉普拉斯方程的导出
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1.2 泊松方程的导出
设空间中有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场。
在此电场内任取一由封闭曲面S包围的区域Ω，
由静电学基本原理知，通过S向外的电通量等于Ω中总电量的4π倍。
即
其中E为电场强度矢量，
n为Ω上的单位外法线向量。
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源自文库
1.2 泊松方程的导出
又由库仑定律知，静电场是有势的。即存在静电位势u=u(x,y,z)，使 E=-grad u
代入上式，得静电位势u满足以下的泊松方程 即
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1.2 拉普拉斯方程和泊松方程的导出
这个定解问题的解是否只有一个？
解的唯一性问题
此外，还要考虑解的稳定性问题（或称为解对定解条件或自由 项的连续依赖性问题），即当定解条件或自由项作很小的变化 时，问题的解是否也作很小的变化。
定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。 如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，称这个问 题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。
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1.4定解问题的适定性
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1.4定解问题的适定性
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.2 三类经典方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
例 1.2.2 热传导方程 所谓热传导，就是物体内温度较高的点处的热量 向温度较低点处的流动。 热传导问题归结为求物体内部温度的分布规律。
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1.2 热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源。 在Ω中任取一封闭曲面S。 以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。
（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
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1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
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1.2 三类经典方程的导出
假设： 1. 细弦，就是与张力相比，弦的重量可以忽略不计。 2. 有弹性，表示张力的大小可以按胡可（Hooke）定律来计算。 3. 柔软，是指弦可以弯曲，同时发生于弦中张力的方向总是沿 着弦所在曲线的切线方向。 4. 横振动，是指弦的运动只发生在一个平面上，且弦上各点的 位移与弦的平衡位置垂直。 5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很 小。
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1.3 定解条件与定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描 述，称为定解问题。 定解问题中的偏微分方程称为泛定方程。
常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.2边界条件
偏微分方程
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1.1 基本概念
数学物理方程通常是指物理学、力学、 工程技术和其他学科中出现的偏微分方 程。
反映有关的未知变量关于时间的导数和 关于空间变量的导数之间的制约关系。
连续介质力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的 范围。
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1.1 基本概念
偏微分方程是指含有未知函数以及未知 函数的某些偏导数的等式。
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
下面考虑物体内部有热源（例如物体中通有电流，或有化学反应等情况）。 设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则
则有热源的热传导方程为
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 三类经典方程的导出
例1.2.1 弦的微小横振动问题 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系 统研究的。 设有一根长为L均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿 直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。 试确定该弦的运动方程。
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1.3.3定解问题
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1.4定解问题的适定性
定解问题的提法是否合适？
例如：这个定解问题的解是否一定存在？ 解的存在性问题
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1.3.2边界条件
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1.3.2边界条件
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1.3.3定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具 体问题的完整描述，称为定解问题。
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1.1 基本概念
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1.1 基本概念
如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是 线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数， 则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。
（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
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1.1 基本概念
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数 的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分 方程。 例
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1.1 基本概念
对于线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及 其偏导数的项称为自由项。 当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非 齐次方程。 注：齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
无热源的情况下得到的热传导方程： 有热源的情况下得到的热传导方程：
称为齐次热传导方程 称为非齐次热传导方程
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1.2 拉普拉斯方程的导出
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1.2 泊松方程的导出
设空间中有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场。
在此电场内任取一由封闭曲面S包围的区域Ω，
由静电学基本原理知，通过S向外的电通量等于Ω中总电量的4π倍。
即
其中E为电场强度矢量，
n为Ω上的单位外法线向量。
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源自文库
1.2 泊松方程的导出
又由库仑定律知，静电场是有势的。即存在静电位势u=u(x,y,z)，使 E=-grad u
代入上式，得静电位势u满足以下的泊松方程 即
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1.2 拉普拉斯方程和泊松方程的导出
这个定解问题的解是否只有一个？
解的唯一性问题
此外，还要考虑解的稳定性问题（或称为解对定解条件或自由 项的连续依赖性问题），即当定解条件或自由项作很小的变化 时，问题的解是否也作很小的变化。
定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。 如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，称这个问 题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。
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1.4定解问题的适定性
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.2 三类经典方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
例 1.2.2 热传导方程 所谓热传导，就是物体内温度较高的点处的热量 向温度较低点处的流动。 热传导问题归结为求物体内部温度的分布规律。
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1.2 热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源。 在Ω中任取一封闭曲面S。 以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。
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1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
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1.2 三类经典方程的导出
假设： 1. 细弦，就是与张力相比，弦的重量可以忽略不计。 2. 有弹性，表示张力的大小可以按胡可（Hooke）定律来计算。 3. 柔软，是指弦可以弯曲，同时发生于弦中张力的方向总是沿 着弦所在曲线的切线方向。 4. 横振动，是指弦的运动只发生在一个平面上，且弦上各点的 位移与弦的平衡位置垂直。 5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很 小。
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1.3 定解条件与定解问题
一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描 述，称为定解问题。 定解问题中的偏微分方程称为泛定方程。
常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.1 初始条件
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1.3.2边界条件
偏微分方程
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1.1 基本概念
数学物理方程通常是指物理学、力学、 工程技术和其他学科中出现的偏微分方 程。
反映有关的未知变量关于时间的导数和 关于空间变量的导数之间的制约关系。
连续介质力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的 范围。
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1.1 基本概念
偏微分方程是指含有未知函数以及未知 函数的某些偏导数的等式。
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
下面考虑物体内部有热源（例如物体中通有电流，或有化学反应等情况）。 设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则
则有热源的热传导方程为
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1.2 热传导方程的导出