《均值不等式》课件2

ab 若a 0, b 0, 那么 ab 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释： 半径不小于半弦
ab 2
A D
ab
C
a
O
b
B
E
熟悉运算结构
• 我们把 ab 叫做a,b的几何平均数。 • 从形的角度来看，基本不等式具有特定的 几何意义；从数的角度来看，基本不等式 揭示了“和”与“积”这两种结构间的不 等关系。 • 回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出 现过“和”与“积” 的结构？
1 1、若x 3,函数y x ,当x为何值时， x 3
函数有最值，并求其最值。
2、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是
d2 正方形，这个正方形的面积等于 . 2
练习：
a b 2ab(a, b R)
2 2
课后练习：
ab ab (a, b R ) 2
(2)f ( x )
x x 2
2
f (x ) (, 2] [2, )
f (x ) [2, )
x 1
2
(3)f (x ) lg x lg x 10,(x 1)
f (x ) [2, )
能力训练
1 5. 已知 0 x , 求函数 y x (1 3x ) 3
课本P71 练习A P72 练习B
学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。 2.理解均值定理和重要不等式 a2 b2 2ab 几何意义。 3.会用定理解决有关比较大小、证明、 求最值等问题。 4.重点：两个不等式的证明和区别 5.难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的 数学内涵
自学提纲
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。 分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元， （1）建立 x 的函数 y ； （2）求y的最值.
的最大值及相应的x值。
1 x 6 y max 1 12
6. 求
x 0
2x 时，f ( x ) 2 的值域： x 1
f (x ) [1,0)
能力训练 7.已知
1 x 4, 函数 y x , 当x _______ 4 x
5
大 值是_______ 6 时，函数有最_______
8.已知 a, b, c R, 求证：
a b c ab bc ca
2 2 2
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课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
2
基础训练
4 3．试判断 x 3 x( x 3) 与 7的
大小关系？
解： x 3, x 3 0
4 4 x ( x 3) 3 x 3 x3 4 2 ( x 3) 3 2 2 3 7 x 3
基础训练
4. 求函数的值域：
(1)f ( x ) x 1
3.2均值不等式
1.预备定理：若a,b∈R, 则a + b ≥ 2ab （当且仅当a = b时，等号成立）
a+b 2.平均值定理：若a,b∈R , 则 ≥ ab 2 （当且仅当a = b时，等号成立）
+
2
2
3. 注意：两个不等式的适用范围不同;
1 问题：a > 0,当a取什么值，a + 的值 a 最小？最小值是多少？
形的角度 数的角度
2 2 a +b ≥2ab
a=b
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号）
• 公式两边具有何种运算结构？
数的角度:平方和不小于积的2倍
a2+b2
2ab
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号） 以下不等式是否成立？ 2+b2≥2|ab| 2 2 a a +b ≥－2ab，
1.算术平均值、几何平均值的概念 2.基本不等式的内容及成立的条件 3.基本不等式的证明 4.基本不等式的几何意义 5.基本不等式有哪些方面的应用
基础知识
1. 均值定理： ab 如果 a, b R ，那么 2 ab 当且仅当 a b 时，式中等号成立
即两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值 2. 均值定理的几何意义：
ab ab (a, b R ) 求最值时, 应用 2 注意验证：一正 、二定 、三相等
例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
练习:
解答
解： 设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248· (2×200/x)+80×200
=800x+259200/x+16000.
259200 16000 ≥ 2 800x x
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。 答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
ab 2 叫做a,b的算术平均数，把
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？
赵爽弦图
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
该结论成立的条件是什么 ？
形的角度 数的角度
a2+b2－2ab
a>0,b>0
=(a－b)2≥0
若a,b∈R，那么 （当且仅当a=b时，取“=”号）
• 公式中等号成立的条件是什么？ • 是否仅仅当a=b时等号才成立？
基础知识
3. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
4.定理的几何意义：
基础训练
1 1．试判断 a , (a 0) 与 2 的 a
大小关系？
2．试判断 x(2 x)(0 x 2) 与 1 的 大小关系？ x (2 x ) ( x 2 x )2 1