第5章利率风险和管理
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该考虑哪些因素？ l 信用风险，期限溢价等
第5章利率风险和管理
久期
l久期是利用现金流的相对现值作为权重的加权平 均到期期限。 l久期与到期日期限之间的区别？ 在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构 要收回贷款初始投资所需要的时间。在久期内所 收到的现金流反映了对初始贷款投资的收回，而 从久期未到到期日之间所收到的现金流才是金融 机构赚取的利润。到期日期限=投资收回时间 （久期）+利润时间
第5章利率风险和管理
l （2）金融机构的规模。A是以市场价格为表示 的金融机构的资产价值，它反映了金融机构的 规模。规模越大，可能暴露在利率风险下的净 值的规模就越大。
l （3）利率的变化程度为 ，利率的变动越大 ，金融机构的风险暴露越大。
l 这样，我们可以把金融机构的净值暴露表示为 ：
第5章利率风险和管理
久期定理
l 定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它 们的到期时间。
l 定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于 它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期 满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期 时间，并等于1 。
l 定理三：统一公债的马考勒久期等于
第5章利率风险和管理
l 定理四：在到期时间相同的条件下，息票率 越高，久期越短。
5
0.9434
4.72
2.36
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0.7921
83.17
166.34
96.54
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第5章利率风险和管理
零息债券的久期
l 零息债券是指以低于面值的价格发行的，在到 期时按照面值支付的债券。这些债券在发行日 和到期日之间不会产生现金流，即不会产生支 付。假设每年利率为复利，投资者愿意购买该 债券的当前价格将会等于该债券的现值。
l l 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期
越长，久期一般也越长。（令我们感到意外 的是，处于严重折价状态的债券，到期时间 越长，久期可能反而越短）
l 定理六：在其他条件不变的情况下，债券的 到期收益率越低，久期越长。
第5章利率风险和管理
息票债券的久期
l 【例1】假设投资者持有面值为100元，票面利
经济直觉
第5章利率风险和管理
(二)久期与到期收益率
l 在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到16%，债券的久期计算 如表5.6所示。
表5.6 票面利率为10%，到期收益率为16%的两年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9259
4.63
2.32
1
5
第5章利率风险和管理
到期日期限缺口管理无法完全规避利率 风险
l 一笔利率为12%的1000元1年期定期存款。 l 假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金
1000元和利息120元，即CF1=1120元。 l ＰＶ1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 l DD=W1×1=1×1=1年
l 数学推导
第5章利率风险和管理
债券票面利率、到期收益率、到期期限的变化对久期的影响
l （一）久期与票面利率 l 例2中，息票率为10%，期限为2年，每半年支付
利息一次，市场利率为12%，久期为1.859。 l 在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少
到8%，债券的久期的计算如表5.5所示。
第5章利率风险和管理
t
CFt
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CFt×DFt
CFt×DFt×t
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0.7921
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164.764
93.07
175.25
因此可得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利率 或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下
第5章利率风险和管理
•债券期限与久期的关系
久 期 ‘
•
•0
•期限
第5章利率风险和管理
久期的特征
l 1、证券的票面利率越高，它的久期越短； l 2、证券的到期收益率越高，它的久期越短； l 3、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，
久期会以一个递减的速度增加。
第5章利率风险和管理
久期的经济含义
l 复习：弹性的概念 l 久期的本质就是弹性。 l 数学推导。
第5章利率风险和管理
例
l 银行发放一笔金额为1000元的1年期贷款。假设 贷款利率为12%，年初发放贷款，要求在6月底 时偿还一半本金，另外一半在年底时付清。利 息每6个月支付一次。
l 在6月底和年底银行从贷款中收到的现金流。
l 与付息债券之间的差异？
l 哪一笔现金流更重•0要CF1/？2=56如何体现•C这F1=5种30 相对重要 性呢？
261.96
288.36
105.15
第5章利率风险和管理
l 【例2】假设投资者持有面值为100元，票面利 率为10%，期限为2年，每半年付一次息的息票 债券。当前市场利率为12%。
表5.3 票面利率为10%，到期收益率为12%的两年期息票债券
的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
第5章利率风险和管理
2020/11/26
第5章利率风险和管理
主要内容
l 第一节 久期概述 l 第二节 运用久期模型进行免疫
第5章利率风险和管理
复习 l 重定价缺口（敏感型资金缺口）管理 l 到期日期限缺口管理
第5章利率风险和管理
第一节 久期概述
第5章利率风险和管理
久期的概念
久期（duration）也称为持续期，是美国经 济学家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。 与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和 负债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或 负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流 的情况。
l 到期日期限缺口为零，ML-MD=1-1=0。 l 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-0.2641。
第5章利率风险和管理
久期的定义
l久期的一般公式
l
lD为久期（以年为单位）
l 为证券在t期期末收到的现金流
lN为证券的年限
l 为贴现因子，等于
，其中R为债券
的年收益率或者说是当前市场的利率水平
0.8573
4.29
4.29
3/2
5
0.7938
3.97
5.96
2
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0.7350
77.18
154.35
90.07
166.92
对比表5.3和表5.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期收益率 增加，则久期越小，即
第5章利率风险和管理
(三)久期与到期期限
l 在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩短 一年和增加一年时债券的久期，如表5.7和表5.8所示。
T=1年
1.0
100%
第5章利率风险和管理
例（续）
l 以W1/2和W1作为权数，来计算久期，或者说是计 算贷款的平均到期期限：
=0.5283×1/2+0.4717×1=0.7359(年)
l 尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为 0.7359年，这是因为有52.83%的现金流是在半 年末的时候就收到了，久期也就小于到期期限 。
l R-要求的复利利率，N-期限年数，P-价格，F为 票面面值
l 由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以 DB=MB,即零息债券的久期一定等于到期期限
第5章利率风险和管理
l 【例三】假设投资者持有面值为100元的零息债 券，期限为5年，市场利率为10%。由于该债券 不付息，在整个债券期限中，只会在第5年底产 生现金流，如表5.4所示。
率为10%，期限为3年，每年付息一次的息票债
券。该债券的到期收益率（或目前的市场利率
）为8%。
l 表5t.2 久期1
2
CF票t 面利率为DFt10%的C3F年t×D期Ft 息C票Ft×债DF券t×t的
10
0.9259 9.26
9.26
10
0.8573 8.57
17.14
3
110
0.7938 87.32
表5.4 期限为5年底零息债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
5
Biblioteka Baidu
100 0.6209
62.09
310.45
第5章利率风险和管理
永久性公债的久期
l 永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到 期的债券，其到期期限（MC）为无穷大
l 虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（DC ）是有期限的。
第5章利率风险和管理
金融机构整个资产负债表的免疫
l 资产和负债市场价格的变化是如何与久期联系在 一起的
第5章利率风险和管理
l 式中k=L/A是对金融机构财务杠杆的测定，即金 融机构用于支持资产的负债与资产的比例。利 率变化对金融机构净值的影响可以分为以下三 个部分：
l （1）杠杆修正的久期缺口=DA-DL×k（持续性缺 口或净值缺口）。该缺口以年为单位，反映金 融机构资产和负债之间久期的不匹配程度。缺 口的绝对值越大，金融机构就越多地暴露在利 率风险下。
l 假设有一份5年期的保单，保险公司向客户承诺
5年后一次性支付一笔款项。为了简化，我们假
设保险公司应在5年期满后支付1496元作为退休
保险的一次性返还，它恰好等于用1000元投资
于票面利率8%的按复利计算的5年期债券。当然
，保险公司实际支付的金额可能会更大，但在
这个例子中我们假设支付的总额不会发生变化
l 为从时期t=1到t=N的求和符号
l 是在t时期期末的现金流的现值，等于
第5章利率风险和管理
每年付2次利息
l 对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式 变为：
l
l t=1/2,1,3/2,…,N
l 注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所 有现金流现值的和，而分子是每笔现金流的现 值与收到该笔现金流所需时间的乘积的和。
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9434
4.72
2.36
1
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0.8900
4.45
4.45
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0.8396
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2
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3.96
7.92
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0.7473
3.74
9.34
3
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0.7050
74.03
222.09
95.10
252.46
l 通过对比表5.7、表5.3、表5.8我们可以知道，当固定收益的证券或资产的到 期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加：
第5章利率风险和管理
修正久期
l 修正的久期
第5章利率风险和管理
l 久期、修正久期的经济含义：资产或负债对 利率的敏感程度。
第5章利率风险和管理
第二节 运用久期模型进行免疫
第5章利率风险和管理
久期和远期支付的免疫
l 养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行 多种资产的组合选择，以使他们在将来某个时 期能够获得足够的投资收益来向受益人或投保 人支付退休金或保险金的问题
第5章利率风险和管理
例（续）
金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析 的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。 从现值的角度看，t=1/2年和t=1年的现金流的相对重要性如表5.1所示。
•t=1/2年和t=1的现金流的重要性
时间（t）
权重（w）
T=1/2年
•0
•1/2年
•1年
•图5.1 1年期贷款应收到的现金流
第5章利率风险和管理
现值分析
l CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元) l CF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70（元） l CF1/2 +CF1 =1090 PV1/2 + PV1 =1000(元) l 对相对重要性而言，除了考虑折现率外？还应
表5.7票面利率为10%，到期收益率为12%的1年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9439
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0.8900
93.45
93.45
98.17
95.81
第5章利率风险和管理
l 表5.8 票面利率为10%，到期收益率为12%的3年期息票债券的久期
。
第5章利率风险和管理
l 策略一 购买期限为5年期的零息债券 l 假设面值为1000元，到期收益率为8%的5年期贴现债券的当
前价格为680.58元，即P=680.58（元）如果保险公司以1000 元的总成本购买了这样的债券，那么该项投资在5年后将刚 好产生1469元的现金流。原因是债券组合的久期与保险公司 保费的返还期相匹配。 l 策略二 购买久期为5年的息票债券 l 通过计算可以知道面值为1000元，期限为6年，票面利率为 8%，到期收益率为8%的债券的久期为4.993年，约为5年。如 果公司购买了该债券，无论市场利率如何变化，在5年后保 险公司都能获得1496元的现金流。原因是利率变动带来的再 投资收入的增加或减少都恰好被出售债券的收入的减少或增 加所抵消。
第5章利率风险和管理
久期
l久期是利用现金流的相对现值作为权重的加权平 均到期期限。 l久期与到期日期限之间的区别？ 在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构 要收回贷款初始投资所需要的时间。在久期内所 收到的现金流反映了对初始贷款投资的收回，而 从久期未到到期日之间所收到的现金流才是金融 机构赚取的利润。到期日期限=投资收回时间 （久期）+利润时间
第5章利率风险和管理
l （2）金融机构的规模。A是以市场价格为表示 的金融机构的资产价值，它反映了金融机构的 规模。规模越大，可能暴露在利率风险下的净 值的规模就越大。
l （3）利率的变化程度为 ，利率的变动越大 ，金融机构的风险暴露越大。
l 这样，我们可以把金融机构的净值暴露表示为 ：
第5章利率风险和管理
久期定理
l 定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它 们的到期时间。
l 定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于 它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期 满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期 时间，并等于1 。
l 定理三：统一公债的马考勒久期等于
第5章利率风险和管理
l 定理四：在到期时间相同的条件下，息票率 越高，久期越短。
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0.7921
83.17
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179.45
第5章利率风险和管理
零息债券的久期
l 零息债券是指以低于面值的价格发行的，在到 期时按照面值支付的债券。这些债券在发行日 和到期日之间不会产生现金流，即不会产生支 付。假设每年利率为复利，投资者愿意购买该 债券的当前价格将会等于该债券的现值。
l l 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期
越长，久期一般也越长。（令我们感到意外 的是，处于严重折价状态的债券，到期时间 越长，久期可能反而越短）
l 定理六：在其他条件不变的情况下，债券的 到期收益率越低，久期越长。
第5章利率风险和管理
息票债券的久期
l 【例1】假设投资者持有面值为100元，票面利
经济直觉
第5章利率风险和管理
(二)久期与到期收益率
l 在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到16%，债券的久期计算 如表5.6所示。
表5.6 票面利率为10%，到期收益率为16%的两年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
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0.9259
4.63
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第5章利率风险和管理
到期日期限缺口管理无法完全规避利率 风险
l 一笔利率为12%的1000元1年期定期存款。 l 假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金
1000元和利息120元，即CF1=1120元。 l ＰＶ1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 l DD=W1×1=1×1=1年
l 数学推导
第5章利率风险和管理
债券票面利率、到期收益率、到期期限的变化对久期的影响
l （一）久期与票面利率 l 例2中，息票率为10%，期限为2年，每半年支付
利息一次，市场利率为12%，久期为1.859。 l 在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少
到8%，债券的久期的计算如表5.5所示。
第5章利率风险和管理
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CFt
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82.38
164.764
93.07
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因此可得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利率 或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下
第5章利率风险和管理
•债券期限与久期的关系
久 期 ‘
•
•0
•期限
第5章利率风险和管理
久期的特征
l 1、证券的票面利率越高，它的久期越短； l 2、证券的到期收益率越高，它的久期越短； l 3、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，
久期会以一个递减的速度增加。
第5章利率风险和管理
久期的经济含义
l 复习：弹性的概念 l 久期的本质就是弹性。 l 数学推导。
第5章利率风险和管理
例
l 银行发放一笔金额为1000元的1年期贷款。假设 贷款利率为12%，年初发放贷款，要求在6月底 时偿还一半本金，另外一半在年底时付清。利 息每6个月支付一次。
l 在6月底和年底银行从贷款中收到的现金流。
l 与付息债券之间的差异？
l 哪一笔现金流更重•0要CF1/？2=56如何体现•C这F1=5种30 相对重要 性呢？
261.96
288.36
105.15
第5章利率风险和管理
l 【例2】假设投资者持有面值为100元，票面利 率为10%，期限为2年，每半年付一次息的息票 债券。当前市场利率为12%。
表5.3 票面利率为10%，到期收益率为12%的两年期息票债券
的久期
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CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
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第5章利率风险和管理
2020/11/26
第5章利率风险和管理
主要内容
l 第一节 久期概述 l 第二节 运用久期模型进行免疫
第5章利率风险和管理
复习 l 重定价缺口（敏感型资金缺口）管理 l 到期日期限缺口管理
第5章利率风险和管理
第一节 久期概述
第5章利率风险和管理
久期的概念
久期（duration）也称为持续期，是美国经 济学家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。 与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和 负债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或 负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流 的情况。
l 到期日期限缺口为零，ML-MD=1-1=0。 l 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-0.2641。
第5章利率风险和管理
久期的定义
l久期的一般公式
l
lD为久期（以年为单位）
l 为证券在t期期末收到的现金流
lN为证券的年限
l 为贴现因子，等于
，其中R为债券
的年收益率或者说是当前市场的利率水平
0.8573
4.29
4.29
3/2
5
0.7938
3.97
5.96
2
105
0.7350
77.18
154.35
90.07
166.92
对比表5.3和表5.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期收益率 增加，则久期越小，即
第5章利率风险和管理
(三)久期与到期期限
l 在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩短 一年和增加一年时债券的久期，如表5.7和表5.8所示。
T=1年
1.0
100%
第5章利率风险和管理
例（续）
l 以W1/2和W1作为权数，来计算久期，或者说是计 算贷款的平均到期期限：
=0.5283×1/2+0.4717×1=0.7359(年)
l 尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为 0.7359年，这是因为有52.83%的现金流是在半 年末的时候就收到了，久期也就小于到期期限 。
l R-要求的复利利率，N-期限年数，P-价格，F为 票面面值
l 由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以 DB=MB,即零息债券的久期一定等于到期期限
第5章利率风险和管理
l 【例三】假设投资者持有面值为100元的零息债 券，期限为5年，市场利率为10%。由于该债券 不付息，在整个债券期限中，只会在第5年底产 生现金流，如表5.4所示。
率为10%，期限为3年，每年付息一次的息票债
券。该债券的到期收益率（或目前的市场利率
）为8%。
l 表5t.2 久期1
2
CF票t 面利率为DFt10%的C3F年t×D期Ft 息C票Ft×债DF券t×t的
10
0.9259 9.26
9.26
10
0.8573 8.57
17.14
3
110
0.7938 87.32
表5.4 期限为5年底零息债券的久期
t
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CFt×DFt
CFt×DFt×t
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100 0.6209
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第5章利率风险和管理
永久性公债的久期
l 永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到 期的债券，其到期期限（MC）为无穷大
l 虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（DC ）是有期限的。
第5章利率风险和管理
金融机构整个资产负债表的免疫
l 资产和负债市场价格的变化是如何与久期联系在 一起的
第5章利率风险和管理
l 式中k=L/A是对金融机构财务杠杆的测定，即金 融机构用于支持资产的负债与资产的比例。利 率变化对金融机构净值的影响可以分为以下三 个部分：
l （1）杠杆修正的久期缺口=DA-DL×k（持续性缺 口或净值缺口）。该缺口以年为单位，反映金 融机构资产和负债之间久期的不匹配程度。缺 口的绝对值越大，金融机构就越多地暴露在利 率风险下。
l 假设有一份5年期的保单，保险公司向客户承诺
5年后一次性支付一笔款项。为了简化，我们假
设保险公司应在5年期满后支付1496元作为退休
保险的一次性返还，它恰好等于用1000元投资
于票面利率8%的按复利计算的5年期债券。当然
，保险公司实际支付的金额可能会更大，但在
这个例子中我们假设支付的总额不会发生变化
l 为从时期t=1到t=N的求和符号
l 是在t时期期末的现金流的现值，等于
第5章利率风险和管理
每年付2次利息
l 对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式 变为：
l
l t=1/2,1,3/2,…,N
l 注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所 有现金流现值的和，而分子是每笔现金流的现 值与收到该笔现金流所需时间的乘积的和。
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9434
4.72
2.36
1
5
0.8900
4.45
4.45
3/2
5
0.8396
4.20
6.30
2
5
0.7921
3.96
7.92
5/2
5
0.7473
3.74
9.34
3
105
0.7050
74.03
222.09
95.10
252.46
l 通过对比表5.7、表5.3、表5.8我们可以知道，当固定收益的证券或资产的到 期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加：
第5章利率风险和管理
修正久期
l 修正的久期
第5章利率风险和管理
l 久期、修正久期的经济含义：资产或负债对 利率的敏感程度。
第5章利率风险和管理
第二节 运用久期模型进行免疫
第5章利率风险和管理
久期和远期支付的免疫
l 养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行 多种资产的组合选择，以使他们在将来某个时 期能够获得足够的投资收益来向受益人或投保 人支付退休金或保险金的问题
第5章利率风险和管理
例（续）
金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析 的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。 从现值的角度看，t=1/2年和t=1年的现金流的相对重要性如表5.1所示。
•t=1/2年和t=1的现金流的重要性
时间（t）
权重（w）
T=1/2年
•0
•1/2年
•1年
•图5.1 1年期贷款应收到的现金流
第5章利率风险和管理
现值分析
l CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元) l CF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70（元） l CF1/2 +CF1 =1090 PV1/2 + PV1 =1000(元) l 对相对重要性而言，除了考虑折现率外？还应
表5.7票面利率为10%，到期收益率为12%的1年期息票债券的久期
t
CFt
DFt
CFt×DFt
CFt×DFt×t
1/2
5
0.9439
4.72
2.36
1
105
0.8900
93.45
93.45
98.17
95.81
第5章利率风险和管理
l 表5.8 票面利率为10%，到期收益率为12%的3年期息票债券的久期
。
第5章利率风险和管理
l 策略一 购买期限为5年期的零息债券 l 假设面值为1000元，到期收益率为8%的5年期贴现债券的当
前价格为680.58元，即P=680.58（元）如果保险公司以1000 元的总成本购买了这样的债券，那么该项投资在5年后将刚 好产生1469元的现金流。原因是债券组合的久期与保险公司 保费的返还期相匹配。 l 策略二 购买久期为5年的息票债券 l 通过计算可以知道面值为1000元，期限为6年，票面利率为 8%，到期收益率为8%的债券的久期为4.993年，约为5年。如 果公司购买了该债券，无论市场利率如何变化，在5年后保 险公司都能获得1496元的现金流。原因是利率变动带来的再 投资收入的增加或减少都恰好被出售债券的收入的减少或增 加所抵消。