北约自主招生考数学试卷分析

点评：考查学生解方程和代数式变形的能力， 同时检测学生思维的灵敏性。
4.(2013年第9题)
对于任意的 ,求值：
32 cos6 cos6 6 cos 4 15cos 2
点评：三角式的化简求值问题，重点考查 学生的三角变换和代数运算能力。
5.(2014年第10题)
xi 0 i 1, 2,...n , xi 1
3.(2013年第8题)
)为2013个实数, 满足 已知 a i (i 1,2,3...2013
a1 a2 a3 a2013 0，且a1 2a2 | a2 2a3 | ... | a2013 2a1 | ，
a1 a2 a3 a2013 0. 求证：
7.(2011年第7题，最后一题)
求： f ( x) | x 1 | | 2 x 1 | | 2011 x 1 | 的最小值. 点评：含绝对值的函数或不等式历来是高考、 竞赛和自主招生考式的重点内容。
三、考查的能力
四大联盟对学生的考察，基本上都要求学生有扎实的 基础知识，良好的创造力，以及较强的社会责任感。和普 通高考相比，对综合素质和人文情怀的要求比较高。所选 拔的不是考试机器，而是德智体美全面发展的学生。
数学试题中的数学能力和数学思想
一、考点分析 二、试卷的特点分析 三、考查的能力分析 四、教学建议
一、考点分析
2014北约自主招生数学试题 1.圆心角为 的扇形面积为 6 , 求它围成圆锥的表面积. 3 2.将10个人分成3组，一组4人，另外两组每组3人，共有几种分法.
a 2b f (a) 2 f (b) f ( ) , f (1) 1, f (4) 7，求f (2014). 3. 3 3 2 4. f ( x) lg( x 2ax a) 的值域为R ，求a 的取值范围. 1 xy 5.已知 x y 1 , 且x, y 都为负实数，求 的取值范围. xy 2 2x 1 1 C 在 6. f ( x) arctan , 上为奇函数，求 C的值. 1 4x 4 4
• 辅导书以联盟内部的题型为主，适当接触一些竞赛题，要 想得90分应该有100分的高度。在此基础上根据每节课的 内容自己编排讲义，多教给学生思考。 • 摒弃“填鸭式”的教学模式，有意识地培养学生的创造性 思维。 • 避免抱佛脚的情况发生，其实对于数学思维或者技巧的训 练，应该边学边练，要从高一入学开始。
2013 复数 数论 2014 三角函数 数论
三角函数 不等式 数列 不等式
从上面可以看出来，“北约”近两年的自主招 生的考点的大方向是不变的。基本上就是三角函 数、不等式、数列、排列组合、几何等几大模块。 而且2014年的北约考试基本上可以看做是2013年 的北约考试的“平行削弱版”，甚至可能相较于 某些省份的高考题并没有难太多。
独立院校
• • • • • • • • • 中财 对外 政法 中医药 华电 石油 北语 传媒 …… 2014年全国自主招生高校总名单（109所）附录
考试形式
笔试 理解能力 计算能力 推理能力 迁移能力
面试 清晰的思维 表达能力 沟通、协调、领导能 力 学科能力
值得注意的是：
2013年开始，三大联盟的自主招 生考试全部由考试中心出题，内容上 有了很大变化，在题型上也做了很大 的改变。
北约自主招生考试简析
主讲人：李兆明
自主招生考试
• • • • • 北约联盟：以北大为首的综合类院校 华约联盟：以清华为主的理工科 卓越联盟：哈工大，同济之类 京城五校：北邮、北交等 独立院校
成立的背景
• 自2003年开始推行自主招生改革试点以来，高校 自主招生主要采取各校分别考试录取的方式。 • 2010年，北京大学、南开大学、复旦大学等13所 学校组成“北约联盟”。与此同时清华大学联合 上海交大等7所学校组成“华约联盟”。 • 2010年12 月，北京理工大学、天津大学等9所理 工学科高校组成“卓越联盟”。再加上2006年就 开始实行自主招生笔试联考的“京城五校”，至 此形成4大自主招生“联盟”。
7.求证： tan3 Q . f x g x 和 3 f x g x 0 有两重根， 8.已知实系数二次函数 f x 与g x ， f x 有两相异实根, 求证： g x 没有实根. a 9. a , a 是等差数列， M a a a 1 i j k 13 7 16 M 中，并证明你的结论. 问： 0, , 是否同在
点评：考查复数的有关概念与运算，是复变函数 的基础。
难易程度之二：对数学本质的理解要求特别高。
以前的北大或者近两年的北约试题，非常 显著的一个风格是讲究顿悟，一般情况下不强 调繁杂的计算，一旦抓住了问题的本质，往往 就能顺利解答，解答的计算量绝大多数情况下 比高考的后三道题要小很多，北约的数学试题 若做起来很繁琐说明你已脱离命题人的本意。
Fra Baidu bibliotek
卓越联盟
——工科系、卓越人才培养合作高校联合自主录取选拔 • 北京理工大学 • 大连理工大学 • 东南大学 • 哈尔滨工业大学 • 华南理工大学 • 天津大学 • 同济大学 • 西北工业大学 • 重庆大学
京城五校
• • • • • 北京化工大学 北京林业大学 北京邮电大学 北京交通大学 北京科技大学
2.(2014年第2题)
10个人分成3组，一组4人，另外两组各3人， 求共有几种分法。
点评：排列组合基础题型，分组问题，比去年难度小。
3.(2013年第2题)
在6×6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一 行、 每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？ 点评：排列组合近两年都考，它是数理统计的必备 知识。
3
2 2
3
2
2
3
n
1
n 1
n
2013
i
1
2
3
2013
1
2
2
3
2013
1
1
2
3
2013
6
ij mn
1
2
ij1
ij2
ij mn
'
ij m n
1
2
'
i1 j
'
i2 j
一、考点分析
• 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
2013 多项式 排列组合 多项式 几何 数列 2014 几何 排列组合 抽象函数 函数 不等式 • 第6题 第7题 第8题 数列 方程 第9 题 第10题
1 2 13
i j k
2 3
10.
xi 0 i 1,2, , n
且 xi 1
i 1
n
，求证 (
i 1
n
2 xi ) ( 2 1)n
.
一、考点分析
2013年北约自主招生数学试题 1．以 2 和1 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ 2．在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共 有多少种停放方法？ x 2 y 5，y 2 x 5，（x y） x 2 x y y 的值． 3．已知， ,求 4．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为∠ADB、∠ADC的角平分 线，试比较BM＋CN与MN的大小关系，并说明理由． a 1 S 4a 2 求 a . 5．设数列 a 满足 前项和为 S n ， xy yz zx x y z 0 6．模长为１的复数满足 ，求 x y z . 7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数． 8．已知 a i 1,2,3, ,2013 满足a a a a 0 , a 2a a 2a a 2a 求证 a a a a 0 . 9．对于任意 ，求 32cos cos6 6 cos 4 15cos 2 的值. mn 个实数，排列成一数阵，记作a 使得数阵的每一行从左到右都是递 10．已知有 增的，即对任意的i 1,2,3,, m ，当 j j 时，有a a ；现将a 的每一列原有的各数按 照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作a ，即对任意 j 1,2,3,, n 当 i i 时，有a a ，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明．
点评：考查基本初等函数的概念，含参值域问 题，高一基础题。
7.(2014年5题)
已知 x y 1, 且 求
xy 1 xy
x, y
都为负实数,
的取值范围.
a 点评：函数与不等式，课后作业难度。
8.(2014年6题）
f x arctan 2 2x C 1 4x
（ ， ） 在 4 4 上为奇函数, 求 C 的值. 1 1
1.(2014年第7题)
求证： tan 3 Q. 点评：以三角函数为载体，考查数域的封闭性。
2.(2013年第3题)
（ , x y） , 已知 x 2 2 y 5，y 2 2x 5 求 x 3 2x 2 y 2 y 3 的值．
点评：方程组与代数式的求值问题，注重对学生 解方程、代数变形和运算能力的考查。
i 1 n
, 求证：
n i 1
2 xi

2 1 .

n
点评：不等式是高考也是自主招生考试的重 点，对学生逻辑推理的能力要求高。
6.(2012年第9题，最后一题)
求证：对于任意的正整数n , (1 2 ) n 必可表示 成 s s 1 的形式,其中 s N . 点评：本题运算量不大，但有较高的思维要求。
比较：(2014年北京高考13题)
把5件不同产品摆成一排 , 若产品A 与产 B 品相邻 , 且产品 A与产品 C 不相邻 , 则不同 的摆法有_____ 种．
4.(2013年第1题)
以 2 和 1 2为两根的有理系数多项式的 次数最小是多少？
3
点评：考查多项式的根，是高等数学必 备的知识。
5.(2014年第3题)
北约联盟
——北大系、综合性大学自主选拔录取联合考试 • 北京大学 • 北京航空航天大学 • 北京师范大学 • 厦门大学 • 武汉大学 • 中山大学 • 四川大学 • 山东大学 • 兰州大学 • 华中科技大学 • 香港大学
华约联盟
——清华系、高水平大学自主选拔学业能力测试 • 清华大学 • 上海交大 • 南京大学 • 中国科技大学 • 西安交大 • 浙江大学 • 人民大学
10.(2013年5题)
S n1 4a n 2 设数列 a 满足 a1 1, 前 n 项和为 S n ， 求 a 2013 .
n
点评：数列综合题，是高等数学极限与级数理论 的基础。
11.(2013年6题)
模长为１的复数 x, y, z 满足 x y z 0 , 求
xy yz zx x yz .
二、试卷的特点分析
1)题型特点：6个选择题（48分） 4个解答题 （72分） 考试时间 90分钟
2)难易程度之一：它也有基础题，它的基础题属于 高考类型的题，总的来讲：高于高考，低于竞赛。 真题分析：
1.(2014年第1题)
求圆心角为 3 , 面积为 6 的扇形围成圆锥的表面积.
点评：该题为几何基础题，属于高考基础题难度。
a 2b f a 2 f b f , f 1 1, f 4 7, 求 f 2014 . 3 3
点评：抽象函数的表达式，考查对于式子的直 观理解。
6.(2014年第4题)
f x lg x2 2ax a 的值域为 R ,求a 的取值范围.
点评：反三角函数，只要对反三角函数的概 念有简单认识就可以做。
9.(2013年第4题)
如图,△ABC中,AD为BC边上的中线,DM、DN 分别为∠ADB、∠ADC的角平分线，试比较BM ＋CN与MN的大小关系.
A
M B D
N C
点评：考查学生的平面几何基础知识和几何 论证的能力，是高等几何必备的素养。
“北约”联考在考查考生基础知识的同时，更 突出对考生视野以及综合运用知识的能力考查，更 加突出对考生未来学习潜能的考查。希望招收视野 开阔、思维活跃、具有独立思考与批判性思维能力、 社会责任感强的优秀学生。
四、教学建议
• 以基础为主，对于基础概念要重在直观理解，对数论和组 合数学问题不要花费太多时间。