CUMCM2011A题分析
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：_______________
参赛队员(打印并签名) ：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期：2011年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛ABCD4题评阅要点
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
本问题的数据来源于某城市对土壤环境的实地监测。
评阅时, 应着重注意数学模型的建立、计算方法（或所选软件的程序语句) 及挑选该方法的理由。
(1) 可用插值拟合的方法获得. 各重金属污染物浓度的空间分布。
再参考由背景值确定的阈值, 定量分析城区各区域的污染程度。
由于空间数据是不规则的 , 较好的方法是用散乱数据插值, 例如Kriging插值、 Shepard插值等。
也可以用其他方法插值拟合, 但应明确所使用的方法, 并作出分析, 不能只简单套用软件。
各个污染元素浓度的最大值与插值后浓度的最大值距离不会太远。
(2) 分析污染产生的原因, 必须有充分的数据分析以及明确的结论。
例如, 可以根据各区域的污染浓度信息进行聚类, 考察污染物出现的相关性, 发现某些污染物结伴出现（如Cr与Ni, Cd与Pb的相关性较高) , 这与污染物产生的原因是密切相关的 , 由此可大致确定出产生这些污染的原因。
(3) 本小题可以在不同的假定下建立相应的模型, 但必须有合理的假定、建立明确的数学模型, 并根据模型和所给的数据进行数值计算。
例如, 由于雨水的作用是重金属在土壤表层中传播的主要原因之一, 可以假定传播以对流形式为主, 由此建立对流方程, 并以给出的重金属污染物浓度数据作为初始值（实际上是终值) , 从而得. 到偏微分方程的定解问题。
类似于(1) ,采纳插值拟合的方法, 可以得. 到地形高度函数。
利用特征线法, 可以得. 到各区域在各个时间点上的重金属污染物浓度数据,从而可以得. 到各时间的污染范围, 由此确定出污染源的位置。
(4) 本问题只给出一个时间点上的数据, 信息量明显不足, 需要补充更多的信息。
加入学生考虑到多个时间点上的采样信息, 给出更好的演化模式, 应予以鼓励。
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
2011数学建模A题论文研究报告
2011数学建模A题论文研究报告1．问题的探究本题是研究某一地区重金属的污染情况，从问题本质来看问题可以大致看做是对待解决问题的初步认识与描述；其次就是对该问题逐步深入进行探究，比如原因等；然后建立问题的数学模型；最后紧接上题，对该模型的探究，譬如可以是模型的修正与推广。
本人认为这样的提问方式一个是循序渐进、不断深入，符合常规，更易于读者理解和思考。
就本题来讲第一题是要求给出不同重金属在该地的空间分布，并建立能表征污染程度的指标，读者看到这样的第一题就会有亲切感，因为问题所需的数据已经给出，只需要对数据进行分析就可，这样就不会让读者感到无从下手；第二题是要求分析污染的原因，引导读者向更深的方向对问题进行探究；第三题就步入正题了，建立重金属污染的传播方式的数学模型，确定金属的污染源；最后是对模型优缺点探究和更加广发的应用。
1.1问题一的探究问题一是得到重要金属的空间分布图并建立重金属的污染指标，我们首先讨论解决该问题的结果是得到该地区不同地理位置的金属含量高低，对于该问题的解决不可避免的就是要运用给出的已知数据，由于无法得知数据的给出情况，这里不再讨论数据的处理方法。
浓度的数据不难得出，本人认为关键之处就是怎样把庞大的数据清晰、简明的标注在相应的地理位置上，便于读者阅读。
本人的想法是建立一个三维的空间分布图，X、Y轴分布表示经度、纬度，Z轴表示该地理位置的重金属浓度，这样在图上就可以标明给出数据，然后通过拟合的方法便可得到一个浓度平面，达到清晰明了的读出金属的浓度的效果。
本方法虽然不失为一个良策，但由于本人能力有限，无法用科学方法得当此图。
在论文中本题的解决采用等值线的方法来描述重金属的空间分布图。
利用三角线性插值的方法可以得到浓度的等值图。
浓度的等值图可以科学清晰的反映金属浓度的空间分布情况，并且等值线的疏密可以体现数据变化的速率，越密说明变化越快，最密点越有可能是污染源；并且可以找出污染严重的区域，结合已知的城市功能分区和地形可以定性分析出该地重金属污染的原因，可以为后题的解答提供有效的依据，和答题方向。
CUMCM A题葡萄酒评价讲评
问题二的建模
• 问题：根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质 量对这些酿酒葡萄进行分级
• 评阅要点：给出根据酿酒葡萄的理化指标和葡 萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级的原则 模型 算法和结果
• 确定酿酒葡萄质量好坏的主要依据是问题1中 评酒员对酒的质量的评价结果;根据这个评价 结果和酿酒葡萄的各种理化指标给出确定葡萄 质量的模型;由此给出这些酿酒葡萄的分级结 果
• 优点：既考虑了葡萄的理化指标;又考虑了葡萄酒的评 分对葡萄分级的影响; 保留了对酒的质量有较大影响的 理化指标
• 分级结果的检验：应与葡萄酒的分级结果基本一致
问题三
• 问题：分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间 的联系
• 评阅要点： 1 给出分析酿酒葡萄与葡萄酒的成分之间关系 的原理 模型和方法;得到葡萄酒的理化指标是 否与葡萄的理化指标相关的结论;相关时给出 具体的依赖关系 2 求解时最好先对葡萄的理化指标包括芳香物 质进行分类和筛选;然后进行评价
• 根据附录三中得到葡萄的芳香类理化指标;根据其化 学性质;将其划分为酯类;芳香烃类;醛类;萜类 以各类 芳香物质的相对分子质量作为权重;进行加权平均
建模方法
• 相关性分析;典型相关性分析； • 多元回归分析;偏最小二乘回归分析； • 多因素优势的灰色关联度分析；
问题四
• 问题：分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡 萄酒质量的影响;并论证能否用葡萄和葡萄酒 的理化指标来评价葡萄酒的质量
CUMCM_A题：葡萄酒的评价
• 问题背景：确定葡萄酒质量时一般是通过
聘请一批有资质的评酒员进行品评 每个评酒
员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分 ;然后求和得到其总分;从而确定葡萄酒的质 量 酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有 直接的关系;葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化 指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质 量 附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价 结果;附件2和附件3分别给出了该年份这些 葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据
天然肠衣搭配问题 2011年全国大学生数学建模竞赛 A题 优秀论文设计
天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进展设计，充分考虑最优化原如此，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。
对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。
首先我们将条件〔1〕设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。
在此根底上，条件〔2〕的优先级次之。
对于条件〔3〕和〔4〕，我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。
因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。
当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组装长度与根数要求，条件〔3〕与〔4〕的优先级最次。
在建模过程中，我们先对各规格在不考虑〔3〕与〔4〕的情况下进展线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。
这种方法在数据量较大的情况下兼顾了准确度与效率。
对上述不能组合的剩余材料我们如此放宽条件。
因条件〔2〕要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件〔4〕中原料可以降级使用的规如此，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。
由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。
最后满足条件〔5〕将结果求解。
利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。
并可以根据原料数量求出具体的搭配方案。
关键词：搭配方案线性规划 Lingo1.问题重述天然肠衣〔以下简称肠衣〕制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段〔原料〕，进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品〔捆〕。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
原料按长度分档，通常以为一档，如：3按3米计算，按计算，其余的依此类推。
2011全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文——一篇
城市表层土壤重金属污染分析的数学模型摘要为研究城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式。
本文通过处理和分析已给数据，给出金属的空间分布说明污染程度和主要原因；建立数学模型确定污染源位置；最后收集其他信息讨论城市地质环境的演变模式。
问题一，利用matlab软件作出位置坐标x、y与八种总金属元素浓度的空间分布图；分析采集的重金属元素浓度所在区域的大致情形。
对采集的重金属元素浓度的数据进行分析，并计算单因子和多因子污染指数，根据土壤污染分级标准判断出不同重金属元素在各功能区的污染程度和各功能区的综合污染程度，其中工业区中铜是所有元素在不同功能区中污染程度最严重的，而工业区和交通区的综合污染程度是最严重的。
问题二，首先利用SAS软件对八种重金属元素在五个城区的含量进行主成分分析，得到八种重金属对各功能区的贡献率，可初步推断出工业生产、交通设施和生活垃圾造成重金属污染。
再利用SAS软件对各城区的重金属进行因子分析，进一步判断八种不同重金属污染的原因，如汞污染的原因为工业生产中三废的排放、交通运输业中汽油的燃烧和汽车轮胎磨损产生的粉尘等。
问题三，根据所给数据，分析重金属污染传播特征，即分别是介质的迁移运动、污染物的分散运动、污染物的累积与转化、污染物被环境介质吸收或吸附、污染物的沉淀，然后利用Matlab软件，采用多元纯二次二项式回归分析方法，分别得到每种重金属元素浓度与坐标的回归方程，并根据该方程利用多元函数求极值的方法确定出污染源的可能位置分别为：As（1878.2634，6003.7263，4.5846），Cd(970.5835，3946.7518，6.5891)，Cr（1235.1956，2658.3427，8.5402），Cu（138.4682，6223.4521，3.2461），Hg （1231.5782，2561.5483，5.2478），Ni（12234.2587，5865.1656，23.2461），Pb （2310.68914145.2674，3.2651），Zn（3015.43418642.2365 5.0543）；问题四，基于前三问，分析所建模型的优缺点。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日益突出，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，可将城市划分为生活区、工业区、山区、主干道路区和公园绿地区等，不同区域环境受人类活动影响的程度不同。
对于问题一，利用附件中所给数据，通过MATLAB插值法建立城市地形的三维模型，以及八种重金属元素空间浓度分布图（共8幅），通过模型我们可以清楚地看到不同元素在不同区域的分布情况。
分析不同地区污染程度时我们采用了Muller指数将污染情况分成0—6共7个等级，并列表统计不同功能区不同金属元素的污染等级。
通过比较可以清楚地看到该城区不同区域重金属的污染程度，按严重程度依次为工业区主干道路区生活区公园绿地区山区。
对于问题二，通过问题一我们发现工业区、主干道路区和生活区是重金属污染较为严重的区域。
由于目前我国在重金属冶炼、开采、加工等领域生产方式粗放，造成了大量的重金属元素如Pb、Hg、Cu等进入空气、水体以及土壤，造成了严重的重金属污染。
人类生活中日常使用的一些物品含有大量重金属元素，如电池中含有大量Hg、Zn、Ni等重金属元素，他们通过自然和生物降解，随雨水进入水体和土壤中。
对于问题三，我们通过分析前两问得出的结论，即重金属元素从高海拔向低海拔，从高浓度向低浓度扩散，我们建立数学模型，通过求解函数极值，可确定污染源位置。
对于问题四，我们仔细分析了上述数学模型的优缺点，为了更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该城市盛行风风向、水流流向、人类活动、土壤中生物活动情况、土壤本身的性质情况以及各污染源污染强度、持续时间、当地的空气污染情况等信息。
综合各因子的作用效果，通过回归分析解决新模型。
关键词：插值法；Muller；扩散模型；回归分析1一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
2011年高教杯数学建模A题优秀论文
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：06007所属学校（请填写完整的全名）：佳木斯大学参赛队员(打印并签名) ：1. 刘明亮2. 王俊3. 王雷指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张菊红日期： 2011 年9月9日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题城市表层土壤重金属污染分析摘要通过对某城市城区319处土壤的取样调查，利用插值分析法研究城区8种主要重金属污染程度问题，利用MATLAB软件进行分析模拟计算，得出8种重金属在该城区空间分布特征。
对比经数据标准化后的城区海拔最高点和土壤重金属浓度最高点，可以估计污染源位置，进而建立负指数分布模型。
用梯度场检验模型，并用单因子污染指数评价法对城市表层土壤重金属污染状况进行评价。
结果表明，重金属在不同区域的空间分布不同，但大体呈现从高浓度到低浓度扩散的趋势，其中山区和工业区浓度最高，生活区的重金属浓度也很高。
最后给出了污染治理方案及相关建议。
关键词：土壤重金属污染插值分析梯度场分析负指数分布模型污染评价目录第一部分问题重述…………………………………………………………()第二部分问题分析…………………………………………………………()第三部分模型的假设………………………………………………………()第四部分定义与符号说明…………………………………………………()第五部分模型的建立与求解………………………………………………() 1．数据处理及图像的给出…………………………………………………()2．题1的解答………………………………………………………………()3．题2的解答……………………………………………………………()4．模型的建立……………………………………………………………()5．模型的求解……………………………………………………………()第六部分结果分析…………………………………………………………()第七部分模型的评价与改进……………………………………………（）1．优点………………………………………………………………………().2．缺点……………………………………………………………………（）3．改进措施………………………………………………………………().第八部分参考资料…………………………………………………………()第九部分附录………………………………………………………………()一问题重述在社会经济日益发展的同时，我们人类也给环境带去了一定的影响，其中尤以土壤重金属污染最为引人关注。
2011年高教社杯全国大学生数建模竞赛_A题参考答案
1
1. 问题的重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响 日显突出。按照功能城区划分为生活区、工业区、山区、主干道、及公园绿地区。不同 的区域受人类活动影响的程度不同。现对城区的土壤环境进行抽样调查，并通过相应的 仪器进行分析，得出了其相应的数据。现通过数学建模来分析解决以下问题。 (1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布， 并分析该城区内不同区域重金属 的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集 什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
2. 模型的假设与符号说明
2.1 模型的假设与说明 1. 2. 3. 4. 每次取样互不干扰，每次采样的方法都一样。 重金属是以有害物质或其有害化合物形式存在的，且土壤中的重金属含量在一段时 间内不变。 在用网格方法采样时采样点的选取是随机的，在样品分析阶段对重金属的含量影响 不大。 远离人群和工业的自然区的污染忽略不计，且别的城区对此城区的环境影响不大。
i 1
319
Pi
5.2 模型二： 空间变异指标
I
2
ij eve
I ij
2 max
2 j 1,2,,8; i 1,2,,319
Dj
C0 j Cj
j 1,2,,8
表 1 重金属空间变异指标
重金属元素 Cd As Ni Zn Hg Pb Cr Cu 块金值 0.31316 0.14474 0.098028 0.33991 0.84608 0.13906 0.10435 0.23178 偏基台值 0.12613 0.061824 0.044344 0.32966 0.86731 0.19258 0.17137 0.44441 基台值 0.43929 0.206564 0.142372 0.66957 1.71339 0.33164 0.27572 0.67619 空间变异指标 0.712877598 0.70070293 0.688534262 0.507654166 0.49380468 0.419310095 0.378463659 0.342773481
全国大学生数学建模大赛2011 A题
城市表层土壤重金属污染分析摘要通过分析城市城区土壤地质环境数据，选取采集样本为研究对象，建立模型综合评价城区污染状况，分析确立重金属污染源及其污染的传播方式。
模型一：采用模糊综合评价模型通过建立各重金属浓度的隶属度函数进而求出模糊关系矩阵和模糊权重矩阵，最后求出模糊评价向量，按照最大隶属度原则计算得出各区污染程度的等级，其中生活区、山区、公园绿地属于一级污染，工业区和主干道路区属于二级污染。
模型二：采用改进单因子污染指数模型计算各种重金属污染指数，再根据标准确定各区主要污染因子及其污染程度。
本文得到山区和公园绿地区各种金属污染程度都较低。
生活区主要污染因子Cd和Zn，工业区主要污染因子Cd、Cu、Hg、、Zn，主干道路区主要污染因子Cd和Zn，最后由这些不同区域的不同属性判断重金属污染的原因主要包括生活垃圾，工业排放，汽车尾气等。
模型三：利用地统计学中的半方差函数公式描述八种重金属元素分布在整个城市区域上的浓度变化，分析出这八个变量的空间变异方式，即确定变量的传播方式。
利用克里克法对重金属含量进行插值，模拟出各种重金属的分布扩散区域图，其中As,Cd,Hg 在东北部的污染源全都为点状以小范围的方式向周围辐射，Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn等元素都城市东南部以大范围的方式向四周面状和带状扩散。
污染源中心为22号、8号、20号等许多采样点所处区域。
最后再收集数据，对模型三进行改进，重金属元素通过大气、河流和沉降进入土壤，但都需要经过植物根系主导的土壤水循环，以此建立微分方程模型研究重金属元素的迁移规律，分析地质环境演变。
关键字模糊综合评价单因子污染指数半方差函数微分方程1 问题重述土壤是人类赖以生存的最基本的自然资源之一，也是人类环境的重要组成成分。
随着工业化、城市化进程的不断加快，废弃物排放、农业化肥使用量增加，土壤重金属污染越来越严重。
土壤重金属污染是由于人类活动使重金属在土壤中的累计量明显高于土壤环境质量标准或土壤环境背景值，致使土壤环境质量下降和生态环境恶化的现象。
2011数学建模国赛a题
2011数学建模国赛a题
2011年全国数学建模竞赛A题是关于制动器试验台的控制方法分析的问题。
制动器是汽车中非常重要的安全部件，它的设计直接关系到汽车和人身的安全。
为了测试制动器的性能，需要进行制动器试验。
题目要求对制动器试验台的控制方法进行分析。
在这个问题中，需要考虑的关键点包括：如何控制制动器试验台进行准确的制动测试；如何模拟实际道路的制动情况；如何评估制动器的性能等。
解题思路可以包括以下几个步骤：
1. 确定制动器试验台的控制目标：例如，控制制动器的制动力、制动速度、制动距离等。
2. 分析制动器试验台的控制系统：了解试验台的硬件组成和软件控制逻辑，分析如何通过控制输入信号来控制试验台的输出。
3. 设计合理的控制策略：根据制动器试验的要求，设计适当的控制算法或策略，如PID控制、模糊控制等，以满足制动测试的准确性、稳定性和安全性。
4. 进行仿真或实验验证：使用数学模型或实际数据进行仿真分析，或搭建试验台进行实际测试，以验证所设计的控制策略的有效性和可行性。
5. 评估制动器性能：根据测试结果，对制动器的性能进行评估，包括制动力、制动距离、制动稳定性等方面的评估。
6. 优化制动器设计：根据测试结果和评估结论，对制动器设计进行优化，提高其性能和可靠性。
具体解答还需要查阅相关的资料和专业文献，并结合实际问题进行深入分析和探讨。
同时，建议在进行建模和仿真时采用适当的数学方法和计算机编程技巧，以提高模型的精度和求解效率。
cumcm2011A
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
附件1. 取样点位置及其所属功能区。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛全国一等奖A题城市表层土壤重金属污染分析(1)
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛城市表层土壤重金属污染分析摘要本文主要研究重金属对城市表层土壤污染的问题,我们根据题目所给定的一些数据和信息分析并建立了扩散传播模型、权重分配模型、对比模型和转换模型解决问题。
首先，我们利用Matlab 软件拟出该城区地势图（图1），根据所给数据绘出该地区的三维地势及采样点在其上的综合空间分布图。
之后将8种重金属的浓度等高线投影到该地区三维地形图曲面上，接着分别计算8种重金属在五个区域的平均值，立体图和平面图（图1附件）相结合便可得出8种重金属元素在该城区的空间分布。
其次，在确定该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们运用两种方法进行解答。
先假设各重金属毒性及其它性质相同，运用公式ij ij P C P ='求出各区域各金属相对于背景平均值的比值作为金属污染程度，再运用1ji ij j C C ==∑求出各区域重金属污染程度，并将各区进行比较。
之后，我们加上各重金属的毒性，对各重金属求出权数，再结合国标重金属污染等级和已知的各组数据来确定金属的污染程度。
由上述两种方法的对比，更准确地得出重金属对各区的影响程度。
即： 工业区>交通区>生活区>公园绿地区>山区并根据第一个模型的数据来说明重金属污染的主要原因。
再次，对重金属污染物的传播特征进行了分析，判断出重金属污染物主要是通过大气、土壤和水流进行传播。
在分析之中，我们得出这三种状态的传播并不是孤立存在的，而是可以相互影响和叠加的，因此，我们分别建立三个传播模型，再对这三个传播模型进行了时间和空间上的拟合，得出重金属浓度最高的区域图，并结合各重金属的分布图（图6）来确定各污染源的位置。
最后，本题中只给出了重金属对土壤的污染，对于研究城市地质环境的演变模式，还需要搜集一些信息（图7）。
根据每种因素对地质环境的影响程度进行由定性到定量的转化。
建立同一地质时期地质环境中各因素的正影响和负影响的权重分配模型，再对这些权重进行验算和修正。
2011年全国大学生数学建模 A题论文
Y
18000 16000 14000 12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 0
5000
10000
15000
X
2
20000
25000
变量 生活区 工业区 山区 交通区 公园区
图 1 各功能区分布图 然后将各个重金属污染分布图画出，结果如图二至图九：
Y
18000
16000
9.0
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
城市表层土壤重金数污染分析
240 40 120
5000
40
80
80 160 120 40 80
120
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80 120
40 80
40
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X
40
40 40 80
40 80
40
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25000
图 8 Pb 的空间分布
Y
18000
16000 14000 12000 10000
300
300 300
8000
300
6000
18000 16000 14000 12000 10000
8000 6000 4000
80
2000 0 0
80
5000
80 80
160 80
10000
15000
全国大学生数学建模竞赛A题解析
ˆ2.1, ˆ4.3
事实上，储油量对横向偏转变位角不敏感。如果经分 析说明了这一点，这一问也可以直接考虑纵向变位的单 参数估计问题。
三、解题思路（续）
和 （，6）就 ˆ根可据以模给ˆ 型出罐V 体变F位(和后,前的,一罐h)问容得表到标的定参值数。估计值
其中，l为探针到左侧面的距离。
三、解题思路（续）
（3）将变位参数 4.1 代入上述公式计算，得出 修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
油面高度ห้องสมุดไป่ตู้10 20 30 40
罐体变位后高度间隔为10cm的罐容表标定值
油的容量 70.13 281.86 595.25 965.66
油面高度 50 60 70 80
180
190
200
L 19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48
h 210
220
230
240
250
260
270
280
290
3400
L 46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入 计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐 体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目2011 全国数学建模大学生随着题荒的到来，很多数学建模题目的直接来源于众多老师的科研课题，至少华中数学建模竞赛的题目由我们这边命题时直接为正在研究且没有解决的科研问题，看来一方面锻炼学生建模能力的同时，又可以为“焦头难额”的老师们来自点新鲜的ideas，这些题目确实蛮好玩的。
A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土(0~10 厘米深度)进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务:(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息,有了这些信息，如何建立模型解决问题,B题交巡警服务平台的设置与调度“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
全国大学生数学建模竞赛2011A题评阅要点（精选多篇）
全国大学生数学建模竞赛2011A题评阅要点（精选多篇）第一篇：全国大学生数学建模竞赛2011A题评阅要点2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
本问题的数据来源于某城市对土壤环境的实地监测。
评阅时，应着重注意数学模型的建立、计算方法（或所选软件的程序语句）及选择该方法的理由。
(1)可用插值拟合的方法获得各重金属污染物浓度的空间分布。
再参考由背景值确定的阈值，定量分析城区各区域的污染程度。
由于空间数据是不规则的，较好的方法是用散乱数据插值，例如Kriging插值、Shepard插值等。
也可以用其他方法插值拟合，但应明确所使用的方法，并作出分析，不能只简单套用软件。
各个污染元素浓度的最大值与插值后浓度的最大值距离不会太远。
(2)分析污染产生的原因，必须有充分的数据分析以及明确的结论。
例如，可以根据各区域的污染浓度信息进行聚类，考察污染物出现的相关性，发现某些污染物结伴出现（如Cr与Ni，Cd与Pb的相关性较高），这与污染物产生的原因是密切相关的，由此可大致确定出产生这些污染的原因。
(3)本小题可以在不同的假设下建立相应的模型，但必须有合理的假设、建立明确的数学模型，并根据模型和所给的数据进行数值计算。
例如，由于雨水的作用是重金属在土壤表层中传播的主要原因之一，可以假设传播以对流形式为主，由此建立对流方程，并以给出的重金属污染物浓度数据作为初始值（实际上是终值），从而得到偏微分方程的定解问题。
类似于(1)，采用插值拟合的方法，可以得到地形高度函数。
利用特征线法，可以得到各区域在各个时间点上的重金属污染物浓度数据，从而可以得到各时间的污染范围，由此确定出污染源的位置。
(4)本问题只给出一个时间点上的数据，信息量明显不足，需要补充更多的信息。
如果学生考虑到多个时间点上的采样信息，给出更好的演化模式，应予以鼓励。
第二篇：全国大学生数学建模竞赛2011D题评阅要点2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
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20000
Zn(ug/g)
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Y (m )
10000
1500
500 5000 300
0 0 5000 10000 15000 X(m) 20000 25000 30000
0
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27
问题1 元素的空间分布，污染程度
l
表1 各重金属元素浓度分布及污染严重区域
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19
问题1 元素的空间分布，污染程度
砷(As)
As(ug/g)
20000
23
15000
19
16
Y(m)
10000
13
10
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7
4
0 0 5000 10000 15000 X(m) 20000 25000 30000
1
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20
问题1 元素的空间分布，污染程度
镉(Cd)
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11
A题 城市表层土壤重金属污染分析
针对问题二，经 KMO检验和Bartlett球度检验，对这8种重金属元 素运用主成分旋转法获得5个主成分， 其累计贡献率达到87.76%。第一 主成分主有Cr、Cu、Ni，主要源于工业“ 三废” 排放污染；第二主成分有 Pb、Cd，主要源于道路交通的排气污染；第三主成分有Hg，主要源于 废弃物污染；第四主成分有As，主要源于农药化肥污染；第五主成分有 Zn，主要源于工业及生活污水排放污染。 针对问题三，基于污染物传播特征，引入污染浓度衰减因子，根据 菲克定律建立三维非稳态的污染扩散方程。利用反演思想，将污染扩散 方程中的时间取反，即让时间步长为负数，从而再现污染物的传播历史 过程，直到还原到大部分地区的污染物浓度降到最大背景值以下，则位 置为污染源。考虑反演数值求解的稳定性问题，运用Tikhonov迭代正则 化方法对方程进行处理，从而求得真解的合理近似值。
关键词： 克里金插值法 主成分旋转 菲克定律 非稳态污染扩散方程 反演
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摘要的写作
论文的摘要不要出现大量的图表和 程序，这都是不符合论文格式的，这种 论文也不会取得好成绩，主要回答问 题，方法，模型，结果
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问题1 元素的空间分布，污染程度
二、问题 1（ 25分） 各步骤分别评分 方法 1：a.可用插值拟合的方法获得各重金属污染物浓度 的空间分布。（ 15分） b.再参考由背景值确定的阈值，定量分析城区各区域 的污染程度。（ 10分） 由于空间数据是不规则的，较好的方法是用散乱数据 插值，例如 Kriging插值、 Shepard插值等。也可以用其他方 法插值拟合，但应明确所使用的方法，并作出分析，不能只 简单套用软件。 各个污染元素浓度的最大值与插值后浓度的最大值距离 不会太远。
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15
问题1 元素的空间分布，污染程度
评阅时，应着重注意数学模型的建立、计算方法（或所选软 件的程序语句）及选择该方法的理由。
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16
问题1 元素的空间分布，污染程度
主要重金属元素的城区空间分布 (1) Kriging插值法[1] 针对城市各区域重金属污染程度问题，首先给出 8种主 要重金属污染物在该城区的空间分布。考虑到土壤的监测点 位有限，仅利用有限样点的均值来确定区域总体状况容易跟 实际情况发生偏差。为了对区域土壤中污染物的浓度进行较 准确的估算，考虑采用 Kriging插值法对地块的实测数据作线 性、无偏、具有最小估计方差的估计。 普通 Kriging插值法的基本原理是根据一个待测地块领 域内的若干样品的实测数据、样品的相互位置关系所提供的 结构信息，对每个样品值分别赋予一定的权重，然后进行加 权平均来估计地块各点的污染物含量。
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摘要的写作
摘要一般首先应该写明确研究的是什么 问题，采用了什么数学方法，建立了什么样 的求解问题的数学模型。利用什么样的软件 编程或者采用了什么计算手段，得到了什么 结果。该模型有什么特色。 摘要的写作应该使读者或者评委通过阅 读摘要即可以知道数学建模使用的方法和模 型，以及大致的建模计算结果，使评委对于 本论文有一个基本的了解。
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4
A题 城市表层土壤重金属污染分析
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模 型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城 市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了 这些信息，如何建立模型解决问题？
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A题 城市表层土壤重金属污染分析
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A题 城市表层土壤重金属污染分析
针对问题四，从土壤溶质运移的物理性质考虑，分析城市地质环 境的演变问题仍需收集土壤密度，土壤含水率，对流速度等地理信息。 根据这些信息求得土壤溶质在运移过程中的源汇项，并据此在三维非稳 态污染扩散方程的基础上进行修改，得到了对流— 弥散模型。利用该模 型可预测污染的扩散趋势，从而给出城市有效防污治污的建议。
基本完整 ５－４
一般 ３－２
差 １－０
（１）给出８种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析 该城区内不同区域重金属的污染程度（方法，结论）。（２） 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因（方法，污染原 因结论）。（３） 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模 型，确定污染源的位置（模型，污染源）。（４） 分析你所建 立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式， 还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问 题？（新模型）
20000 1350 1200 15000 1050 900 Y(m) 10000 750 600 450 5000 300 150 0 0 5000 10000 15000 X(m) 20000 25000 30000 0
Cd(ng/g)
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21
问题1 元素的空间分布，污染程度
铬(Cr)
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3
A题 城市表层土壤重金属污染分析
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所 属功能区等信息，附件2列出了 8种主要重金属元素 在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元 素的背景值。 数学建模任务： (1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布， 并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
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18
问题1 元素的空间分布，污染程度
(2)主要重金属元素的空间分布及分析 运用Kriging法对此次所采的As、 Cd 、Cr、Cu 、Hg、 Ni 、Pb、Zn 8种重金属浓度值进行网格化处理，按插值网 格30000×20000m作Kriging插值，网格间距为100m，共 有插值点300×200=60000个，插值过程中选择线性无偏模 型。 根据Kriging插值法，利用Surfer 软件作各重金属浓度等 高线二维图，得到城区各污染物浓度的分布图如下，其中 西北部及东南部的紊乱区域无采样点。
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7
A题 城市表层土壤重金属污染分析
关键词（１）
１ 规范 基本规范
０ 无 或者差
参考文献（２）
２ 规范
１ 基本规范
０ 差
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8பைடு நூலகம்
摘要的写作
数学建模论文的摘要一般包括6 要素：问题、 方法、模型、算法、结论、特色。它是建模 论文的概括，摘要的好坏将决定你的论文是 否吸引读者或者评委的目光。
500 Y(m) 10000 300
150 5000 50
0 0 5000 10000 15000 X(m) 20000 25000 30000
0
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23
问题1 元素的空间分布，污染程度
汞(Hg)
20000
Hg(ng/g)
13000
15000
10000
6000 Y(m)
10000
3000
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题 城市表层土壤重金属污染分析 分析
科技论文写作
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1
A题 城市表层土壤重金属污染分析
A题 城市表层土壤重金属污染分析 对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获 得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动 影响下城市地质环境的演变模式。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山 区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为 1类区、 2类 区、 … … 、 5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度 不同。
i
根据普通 Kriging 插值法的基本原理，待插点 M 处的污染物浓度 C (M ) 是附近 n 个污染
*
0
0
物浓度 C( Mi ) (i =1,2,L,n ) 的加权和，即：
C ( M0 ) =∑λC n , i (Mi ) , i = 1,2,L
* i=1 n
(1)
其中， λi 为待求权系数。
背景平均值 3.6 130 31 13.2 35 12.3 31 69 采样平均值 5.7 302 54 55 299 17.3 62 201 标准值 10 1000 250 100 1000 60 80 300 污染严重区域 — 西部交通区 西部边界的工业区 西部生活区、工业区、交通区 西部交通区、工业区及南部生活区 — — 西部交通区、工业区及南部生活区
20000
Cr(ug/g)
900 15000
750
600 Y(m) 10000 450
100 5000 50
0 0 5000 10000 15000 X(m) 20000 25000 30000