第18届华杯赛决赛真题答案(小高组b卷)

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题 B 参考答案

（小学高年级组）

一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案50 6, 7 3466 6.5 67 136 1000

3 7

二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

9.答案：106

解答.图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段,任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有

(4 + 3 + 2 +1) ⨯(6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1) =10⨯ 21 = 210 (个).

其中含“*”号有

4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).

所以不含含“*”号有

210－104＝106 个.

10.答案：9

解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等,可得出三角形AEC的面积等于

三角形 BDC 的面积.由 BD:DA = 1:2,得三角形 BDC 的面积等于三角形 ABC 面积的1 3,即

三角形 AEC 的面积等于三角形 ABC 面积的1

3.那么 EC 等于 BC 的

1

3,得出 EC = 6,进

而 AD = 6, BD = 3,最终 AB = 9.

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11.答案：61

解答.设有n个人,每人植树x棵,则

nx =2013=3⨯11⨯61.

可以说明： n >3⨯11.若 n =33,则每人植树61棵.如果5人不参加植树,则有305棵树, 其余 28 人每人多植 3 棵, 才种 84 棵树, 完不成任务. 可见, n>3⨯11.

考虑 n = 61.此时, x = 33.如果5人不参加植树,则有165棵树要让56人多植树.若每人多植2 棵, 则 56 人多植了56⨯2=112（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植 3 棵, 则 56 人多植了 56⨯3 =168（棵）,完成了植树任务.所以,n =61符合要求.

12.答案：59

解答.

①观察立体右面的正方体, 标有 1 个黑点的侧面到标有 2 个黑点的面, 再

到标有 4 个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.

②观察中间上面的正方体, 既然从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 4 个黑点是逆时针, 则该正方体标有 6 个黑点的面的对面标有 1 个黑点.

③观察立体左面的正方体, 正方体标有 3 个黑点的面紧邻标有 2 个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有 4 个黑点的侧面的对面的黑点有 3 个, 且底

面标有 5 个黑点. 并且可知, 从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 3 个黑点是顺时针.

所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为 1、2 和 3 的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1 对6, 2 对 5, 3 对 4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5 个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有 2 个黑点, 底面有可能是有 1 个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他 3 个正方体的 3 个侧面黑点总数最少是 8 个.

4 个正方体黑点总数是 84, 3 对紧贴的侧面黑点总数最多是 25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是 59.

三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）

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13.答案：4

解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.对于拼成的正方形图形,记过左上顶点

的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.

图A

首先, 有如下观察:

1)当甲对角线是对称轴时,

a)左上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (3), (4)中之一;

b)右下角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (5), (6)中之一;

c)若右上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (7), (8)中的一个,则左下角的

2 ⨯ 2 小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);

2)当乙对角线是对称轴时,

a)右上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (7), (8)中之一;

b)左下角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (9), (10)中之一;

c)若左上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4)之一,则左下角的

2 ⨯ 2 小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).

根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下 4 种图形:

14.

解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i,j,k类,每类的盒子数目分别为

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a 1 , a 2 ,

, a i , b 1 , b 2 , , b j , c 1 , c 2 , , c k ,

令 n = i + j + k .

1) 因为 a 1 , a 2 , , a i , b 1 , b 2 , , b j , c 1 , c 2 , , c k 包含了 1 到 30 的所有整数, 所以 n ≥ 30 . 另一方面,

3⨯155 = a 1 + a 2 +

+ a i + b 1 + b 2 +

+ b j + c 1 + c 2 + + c k

≥ 1 + 2 + + 30 =

30⨯

31

= 465 = 3⨯155,

2

所以 n = i + j + k = 30 , 三种分类各自分类的类数之和是 30.

2) 不妨设 a 1 = 30 , 记这 30 个盒子的类为 A 类. 因为 i + j + k = 30 , 必有 j ≤ 14或

k ≤ 14, 不妨设 j ≤ 14. A 类的 30 个盒子分到这不超过 14 个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.

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