高一数学必修1(人教出版)同步理解练习第二章第三节幂函数
高一数学必修1同步教师用书：第2章2.3幂函数
曲线越陡峭，所以曲线 C3 的 n＝－ 12，曲线 C4 的 n＝－ 2，故选 B.
【答案】 B (2)因为函数在 (0，＋∞)上单调递减， 所以 3m－9<0，解得 m<3，又 m∈ N*，
所以 m＝1,2.
因为函数的图象关于 y 轴对称，所以 3m－9 为偶数，故 m＝1，则原不等式
可化为
(a＋
【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定 m 的值，再利用幂函数的单
调性求解关于 a 的不等式． 【自主解答】 (1)根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，
n 越大， y＝xn 递增速度越快，故
1 C1 的 n＝ 2， C2 的 n＝ 2，当 n<0 时， |n|越大，
3)－
1
1
5<(5－2a)－5.
因为 y＝x－ 15在 (－∞ ，0)，(0，＋ ∞)上单调递减，所以 a＋ 3>5－2a>0 或 5 25
－ 2a<a＋ 3<0 或 a＋ 3<0<5－2a，解得 3<a<2或 a<－3.
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在 (0,1)上，指数越大，幂 函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低 )；在 (1，＋∞ )上，指数越大，幂函数图象 越远离 x 轴 (简记为指大图高 )． 2．依据图象确定幂指数 α与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象 (类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断．
教材整理 2 幂函数的图象与性质
阅读教材 P77 倒数第二自然段至 P78“例 1” 以上部分，完成下列问题．
高一数学人教新课标A版必修123幂函数同步练习
高一数学人教新课标A 版必修1第二章2.3幂函数同步练习（答题时间：30分钟）微课程：幂函数的定义同步练习1. 已知幂函数y ＝f （x ）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（ ）A. y ＝212xB. y ＝12xC. y ＝32x D. y ＝521x 22. 下列命题中正确的是（ ）A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）C. 若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m ，则实数m 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）4. 已知幂函数f （x ）＝x m ）x 1 12 f （x ）122A. {x|0<x≤2}B. {x|0≤x≤4}C. {x|－2≤x≤2}D. {x|－4≤x≤4} 5. 设x ∈（0，1），幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的上方，则实数a 的取值范围是______。
6. 已知函数223()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定f （x ）的解析式。
微课程：幂函数的图象和性质同步练习1. 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）A. 1y x=B. 12y x =C. 1()3xy =D. 2215y x x =--2. 函数35x y =的图象大致是（ ）3. 当x ∈（1，＋∞）时，下列函数的图象全在直线y ＝x 下方的偶函数是（ ）A. 21x y = B. y ＝x －2 C. y ＝x 2 D. y ＝x －14. 函数y ＝1x－x 2的图象关于（ ）A. y 轴对称B. 直线y ＝－x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y ＝x 对称5. 已知幂函数qp x y =，（p ，q ∈N *）的图象如图所示，则（ ）A. p ，q 均为奇数，且p q ＞0B. q 为偶数，p 为奇数，且p q＜0C. q 为奇数，p 为偶数，且p q ＞0D. q 为奇数，p 为偶数，且pq＜06. 函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p 的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是________。
人教A版精编数学必修1练习：第二章 2.3 幂函数 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是( )解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( )A ．a a <a bB. b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b 解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a .答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1，∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1.答案：17．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误．答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________. 解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝x 223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3.又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a )B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a ) D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减． 因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x 12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.答案：B 3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0.答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313- 5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2，又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12.又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
人教A版数学必修一高一同步单元练习 2.3 幂函数.docx
2015-2016学年高一数学人教A 版同步单元练习 ２．３ 幂函数1．如图中函数21-=x y 的图象大致是（ Ｄ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则)2(f ＝( )A.14 B ．4 C.22D. 2 3．图中所示曲线为幂函数nx y =在第一象限的图象，则1c 、2c 、3c 、4c 大小关系为（Ｃ）。
A ．4321c c c c >>>B ．3412c c c c >>>Ｂ．3421c c c c >>> Ｄ．2341c c c c >>>４．设3114.0=y ，1320.5y =，1410.5y =，则( )．A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．132y y y <<D ．231y y y <<５.已知幂函数)(x f y =部分对应值如下表：则不等式2|)(|≤x f 的解集是( A )．A ．]4,4[-B ．]4,0[C ．]2,2[-D ．]2,0(６．若函数)(x f y =是幂函数，且满足3)2()4(=f f ，则1()2y f =的值为(D ）A ．－3B ．－13C ．3D ．13 ７．幂函数35x y =的图象大致是（ B ）８．如图所示是函数(,mn y x m n N *=∈且互质）的图象，则（ C ） Ａ．n m ,是奇数，且1<n m Ｂ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> Ｃ．m 是偶数，n 是奇数，且1<n m Ｄ．m 是奇数，n 是偶数，且1m n > ９．对于函数212,x y x y ==有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；其中正确的有__①②⑤______．10．已知m m )3.1()7.0(7.03.1<，则实数m 的取值范围是___),0(+∞_____．１１．已知幂函数97222)199(--+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的值为___3=m ______。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( )A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=x α都是增函数12D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1 B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.已知a=1.,b=0.,c=,则( )2129-121.1A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b0.,c==1.,9-12=(910)-12=(109)121.1112∵>0,且1.2>>1.1,12109∴1.>1.,即a>b>c.212>(109)121126.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m 在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n 在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n 的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B .7.若(a+1<(3-2a ,则a 的取值范围是 .)13)13f (x )=的定义域为R ,且为单调递增函数,x 13所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<.23-∞,23)8.已知幂函数f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,并且f (x )在第一象限内是单调递减函数,则m= .x m 2-2m -3f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,所x m 2-2m -3以m 2-2m 为奇数.又因为f (x )在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.12x 12x 1210.已知函数y=(a 2-3a+2)(a 为常数),问:x a 2-5a +5(1)当a 为何值时,此函数为幂函数?(2)当a 为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a 为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,解得a=.3±52(2)由题意知解得a=4.{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,(3)由题意知解得a=3.{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( )A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A .(-b 2,1)b 22.函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,若a ,b ∈R ,且xm 2+m -3f (x 1)-f (x2)x 1-x 2a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,x m 2+m -3当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,f (x 1)-f (x 2)x1-x 2函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(,2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( )22A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n 的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为22{m =1,(2)n =22⇒{m =1,n =3,单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=;⑤f (x )=.其中满足条件f (x 2>x 1>0)x 1x (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 . x m n①m ,n 是奇数且<1;②m是偶数,n 是奇数,且>1;③m 是偶数,n 是奇数,且<1;④m ,n 是偶数,且>1.m n m n m n m n ,函数y=为偶函数,m 为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.x mn m n 6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= . x m 2-2m +1f (x )=(m 2-3m+3)是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当x m 2-2m +1m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .{2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.x m 2-4m +2(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ].∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x (2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q 的值;[-4,178]若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3.要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.12(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值2q -12q 12q 只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g =-2×+3×+1=,符合题34(34)(34)234178意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为.[-4,178]。
人教A版(2019) 高中数学必修一3.3幂函数 同步练习(含答案)
3.3幂函数 同步练习 一、选择题 1．已知幂函数()f x 的图象经过点22,⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4f 的值等于（） A ．16 B ．116 C ．2 D ．122．若函数()21()22m f x m m x-=--是幂函数，则m =（ ） A ．3 B ．1-C ．3或1-D ．13± 3．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－1，3]B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ 4．5个幂函数：①2yx ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是（ ）A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤5．2323⎛⎫ ⎪⎝⎭、2325-⎛⎫ ⎪⎝⎭、1323⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系为（ ） A ．212333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．212333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．122333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭> D ．221333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6．幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0)+∞，时是减函数，则实数m 的值为（ ） A ．2或1- B ．1- C ．2 D ．2-或1 7．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222-- D ．11,2,,222-- 8．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 9．若2()2f x x ax =-+与()a g x x =在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,0)(0,1)-⋂C ．(0,1)D ．(0,1] 10．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2x g x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ） A ．ϕB ．28t ≥或1t ≤C ．28t >或1t <D ．128t ≤≤二、填空题11．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则1()4f =__________.12．已知幂函数()221()33m m f x m m x --=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 值为_____. 13．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________．14．已知幂函数2()m f x x +=过点(2,8)，且()26(67)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是________.15．设幂函数()f x 的图象过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：①()f x 的定义域为R ；②()f x 是奇函数；③()f x 是减函数；④当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．三、解答题16．已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 17．若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，且()()f x F x x =． （1）试求出函数()y f x =的解析式；（2）讨论函数()F x 的单调性．19．已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. （2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.参考答案1．D2．C.3．B4．C5．A6．B7．C8．B9．D10．D11．1612．213．[–4，4]14．(3,4)15．②④16．解：2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠. 17．解：由幂函数()23f x x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减， 又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞．18．解：（1）设()y f x x α==，因为图象过点(2,，所以2α=32α=， 函数()y f x =的解析式为()32f x x =； （2）()()12f x F x x x===，定义域为[)0,+∞， 设120x x <<，则()()12F x F x -==． ∵12x x <，∴120x x -<0>，∴()()12F x F x <， ∴()F x 是区间[)0,+∞上的单调递增函数．19．解：（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意. （2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减.所以21162qqq-⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q=-.所以存在130q=-满足题设条件.。
人教A版数学必修一2.3 幂函数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3幂函数基础达标1．下列幂函数中①y＝x－1；②；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为()．A．2 B．3 C．4 D．5解析由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．答案 B2．已知m＝(a2＋3)－1，n＝3－1，则()．A．m≥n B．m≤nC．m＝n D．m与n的大小不确定解析设f(x)＝x－1，∵a2＋3≥3>0，且f(x)＝x－1在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2＋3)≤f(3)，即m≤n.答案 B3．(2013·鹤岗高一检测)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5<0(m ∈N)，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1.答案 B4．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在 (0，＋∞)内单调递减的α的个数是________．答案 15．若(a ＋1)3<(3a －2)3，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝x 3是R 上的增函数，且(a ＋1)3<(3a －2)3，∴a ＋1<3a －2，解得a >32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 6．给出下列四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n <0.其中正确的说法的序号是________．解析 显然①错误；②中如y ＝x －12的图象不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．答案 ③④7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x －1，当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 在同一坐标系中画出f (x )＝x 2与g (x )＝x －1的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．能力提升8．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a 的图象可能是 ( )．解析 当a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a >0，y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，∴A ，D 均不正确．对于B ，C ，若a >0则y ＝ax －1a 是增函数，B 错，C 正确．答案 C9．(2013·青岛质检)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案 1410．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解 (1)设f (x )＝x a ，则由题意可知25a ＝5，∴a ＝12，∴f (x )＝.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，即lg x≤2，解得0<x≤100.∴g(x)的定义域为(0,100]，又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．。
人教A版数学必修一高一同步单元练习 2.3 幂函数.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2015-2016学年高一数学人教A 版同步单元练习 ２．３ 幂函数1．如图中函数21-=x y 的图象大致是（ Ｄ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则)2(f ＝( )A.14 B ．4 C.22D. 2 3．图中所示曲线为幂函数nx y =在第一象限的图象，则1c 、2c 、3c 、4c 大小关系为（Ｃ）。
A ．4321c c c c >>>B ．3412c c c c >>>Ｂ．3421c c c c >>> Ｄ．2341c c c c >>>４．设3114.0=y ，1320.5y =，1410.5y =，则( )．A ．123y y y <<B ．123y y y <<C ．132y y y <<D ．231y y y << ５.已知幂函数)(x f y =部分对应值如下表：则不等式2|)(|≤x f 的解集是( A )． x 1 21A ．]4,4[-B ．]4,0[C ．]2,2[-D ．]2,0(６．若函数)(x f y =是幂函数，且满足3)2()4(=f f ，则1()2y f =的值为(D ）A ．－3B ．－13C ．3D ．13 ７．幂函数35x y =的图象大致是（ B ）８．如图所示是函数(,mn y x m n N *=∈且互质）的图象，则（ C ） Ａ．n m ,是奇数，且1<n m Ｂ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> Ｃ．m 是偶数，n 是奇数，且1<n m Ｄ．m 是奇数，n 是偶数，且1m n > ９．对于函数212,x y x y ==有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；其中正确的有__①②⑤______．10．已知m m )3.1()7.0(7.03.1<，则实数m 的取值范围是___),0(+∞_____．１１．已知幂函数97222)199(--+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的值为___3=m ______。
高中数学人教B版必修一练习：3.3 幂函数 Word版含解析
3.3 幂函数【选题明细表】1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C )(A)为增函数(B)为减函数(C)有最小值(D)有最大值解析:设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4=(-2)2,所以α=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.2.(2018·重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是( C )解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D )(A)y=(B)y=(C)y=(D)y=解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都为(0,+∞),D中y==定义域为R,而值域为 [0,+∞).4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是( A )(A)[-1,3) (B)(-∞,5)(C)(3,5) (D)(3,+∞)解析:由幂函数f(x)=的性质,有0≤a+1<10-2a,所以-1≤a<3, 故选A.5.(2018·山东烟台期中)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为增函数,则m的值为( D )(A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1解析:由函数f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,则m2-4m+4=1,解得m=1或m=3.又函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则m2-6m+8>0,解得m>4或m<2,因此只有m=1满足条件,故选D.6.已知幂函数y=(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m= .解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,所以m2-2m-3≤0,所以-1≤m≤3,又m∈N+,所以m=1,2,3.又因为函数为偶函数,所以m=1或m=3.答案:1或37.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以B不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.8.(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)( B )(A)是偶函数(B)是奇函数(C)是单调递减函数(D)在定义域内有最小值解析:幂函数f(x)=(m2-m-1)x m的图象与坐标轴无交点,可得m2-m-1=1,且m≤0,解得m=-1.则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B.9.幂函数y=(m2-m-1),当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为.解析:由m2-m-1=1得m=2或m=-1,又x∈(0,+∞)时为减函数,则需m2-2m-3<0,所以m=-1舍去.答案:210.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).(1)求y=f(x)的解析式;(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.解:(1)设f(x)=xα,将(2,)代入得,=2α,所以α=.所以f(x)=.(2)f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数.证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)<f(x2),即幂函数f(x)=在[0,+∞)上为增函数.11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论g(x)=a-的奇偶性.解:(1)因为f(x)=(m∈Z)是偶函数,所以m2-m-2为偶数.又因为f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,所以m2-m-2<0,即-1<m<2.因为m∈Z,所以m=0或m=1.当m=0时,m2-m-2=-2为偶数;当m=1时,m2-m-2=-2也为偶数,所以f(x)的解析式为f(x)=x-2.(2)g(x)=a-=-bx,所以g(-x)=+bx.①当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数;②当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数;③当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;④当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.。
人教版数学高一A版必修1练习 2.3 幂函数
第二章 2.31．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B2．函数y ＝x 43 的图象是( )解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的．答案：A3．下列命题中，不正确的是( )A ．幂函数y ＝x －1是奇函数B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C 不正确；y ＝x 12 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.答案：－25．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 解析：由题设知f (3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．问：(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？解：(1)根据幂函数的定义，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52. (2)根据正比例函数的定义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0， 解得a ＝4.。
人教版数学高一必修1人教A版练习 2.3幂函数
A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x ＝4x ，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征． 答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2 D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)，可得4α＝2，即22α＝2，所以2α＝1，α＝12， 即f (x )＝x 12.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22. 答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a 解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c . 答案：B二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ， 所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数．所以m ＝1.答案：18．若f (x )＝x α是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f （4）f （2）＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13. 答案：13三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？(2)f (x )是正比例函数？(3)f (x )是反比例函数？(4)f (x )是二次函数？解：(1)因为f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45. (3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0， 故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，所以α＝12，所以f (x )＝x 12. (2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0<x ≤100.所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2 D ．无法确定 解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22. 因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2. 答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x 为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 3．已知幂函数f (x )＝x 1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，所以m 与m ＋1必定有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0.所以m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. 故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
3.3幂函数11题型分类(学生版) 2024-2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修第一册)
3.3幂函数11题型分类一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意：幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．三、一些常用幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y ＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减注意：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．（一）幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.C ．3D ．132-4．（2024·浙江·模拟预测）已知()f x 是幂函数，且满足：①()()f x f x -=；②()f x 在()0,+¥上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()f x =.2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数()f x x a = (α是常数)的图象经过点()2,4，那么f (−2)=（ ）A ．4B ．-4C ．14D ．-14题型3：根据幂函数求参数3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =．3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数()()22325m m f x m m x--=+-×的图像不经过原点，则实数m =.（二）幂函数的图象及应用依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．题型4：幂函数过定点问题4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数()2y x a a =-为常数的图象过定点．4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.题型5：幂函数的图象及应用5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxxì³ï==-í<ïî，则函数()g x的图象大致是（）A．B．C．D．5-2．（2024·全国·模拟预测）函数()11 3x xf xx --=的图象大致为（）A．B．C．D．5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数p qy x=（,p q ZÎ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A ．p 、q 均为奇数且0p q<B ．p 为奇数，q 为偶数且0p q <C ．p 为奇数，q 为偶数且0p q>D ．p 为偶数，q 为奇数且0p q<5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数()()2231mm f x m m x+-=--，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点()4,2P 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x -=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①（三）求幂函数的定义域和值域幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R ；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域.题型6：求幂函数的定义域6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数()f x 的图象经过点(25,5)，求()f x 的定义域.6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数()12f x x -=的定义域为．6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数3y x a a =-，则此函数的定义域为．题型7：求幂函数的值域（四）利用幂函数的性质比较大小（1）比较幂大小的三种常用方法:(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.（五）幂函数的性质综合应用利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型10：利用幂函数解不等式10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若12()f x x =，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（ ）A ．162,7éö÷êëøB ．(]0,2C ．16(,)7-¥D ．[2,+∞)10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数()f x 的图象经过点1,93æöç÷èø，且()()12f a f +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,1-D ．()(),31,-¥-+¥U 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为 ．10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数12()f x x -=，则不等式(21)(1)f x f x ->+的解集为．题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数()()22322mm f x x m ,m --+=-<<ÎΖ在区间()0,¥+上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的x ÎR ，都有()()f x f x -=；②对任意的x ÎR ，都有()()0f x f x -+=中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求()f x 的解析式；(2)在（1）问的条件下，当[]3,3x Î-时，求()f x 的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①2y x -=，②43y x =，③35y x =，④45y x -=，既是偶函数，又在(,0)-¥上为增函数的是．11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知112,1,,,1,2,322a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a =奇函数，且在()0,¥+上为严格减函数，则a =.11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数()()()2157R m f x m m xm --=-+Î为奇函数.(1)求12f æöç÷èø的值；(2)若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2024高一上·四川成都·期末）函数()f x ）A ．B ．C ．D ．2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点()3,2a 在幂函数()()1b f x a x =-的图象上，则（ ）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x =3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则12f æöç÷èø等于（ ）A B C D ．144．（2024·海南·模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（ ）．A ．()f x 在(),0-¥上单调递增B ．()f x 在(),0-¥上单调递减C ．()f x 在()0,¥+上单调递增D ．()f x 在()0,¥+上单调递减5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设R m Î，若幂函数221m m y x -+=定义域为R ，且其图像关于y 轴成轴对称，则m 的值可以为（ ）A ．1B ．4C ．7D ．106．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①3y x =；②12xy æö=ç÷èø；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数()2133m y m m x +=-+的图像关于y 轴对称，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．38．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（ ）A ．,m n 是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（ ）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1C ．1-或3D ．1或3-11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知111333332,,555a b c -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<12．（2024高一·全国·课后作业）已知()21f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．()()11f a f b f f a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøB ．()()11f f f b f a a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøC ．()()11f a f b f f b a æöæö<<<ç÷ç÷èøèøD ．()()11f f a f f b a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèø13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递增，则m =（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数()()22222n nf x n n x-=+-×在()0,¥+上是减函数，则n 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1或3-15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数()f x 的图像过点()64,4，则()8f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =C ．22y x =D ．1y x x=+17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数()y f x =的图象过()4,32点，则()2f =（ ）．A ．B ．4C ．D ．8二、多选题19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数()()23m x m x f =-的图象过点12,4æöç÷èø，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0-¥上为减函数D ．()f x 在()0,¥+上为减函数20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数()()211m f x m m x --=+-，m ∈N ∗，则下列结论正确的是（ ）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,¥+21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在(),0-¥上单调递减的是（ ）A ．y x =-B ．2y x -=C ．1y x -=D ．2y x =22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数()f x 的图象经过点(8,，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ³时，()2f x ³D ．当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø三、填空题23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()()2732351t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+¥上为增函数，则函数解析式为 ．24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若()f x 是幂函数，且()124f =，则13f æö=ç÷èø25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数()f x ，条件：①()f x 是偶函数；②()f x 为()0,¥+上的减函数．则()f x =．26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数()f x 的图象过点()3,3和()m,2，则实数m ＝ .27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()21N nn y x n ++=Î的图像一定经过第象限28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是．29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数()()222m f x m m x =--满足()()23f f <，则m = .30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数()()22221m m f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数()()231m f x m m x =++在第一象限单调递减，则()f m = .32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数()()21m f x m m x =+-是幂函数，且在()0,¥+上是增函数，则实数m 的值为 ．33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数()y f x =的图像过点(9,3)，则(2)f 的值为．34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数f (x )=(m 2−2m−2)x 2m−1在()0,¥+上为减函数，则m 的值为 .35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为 .36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数1101 ()f x x æö=ç÷èø，若f (a−1)<f (8−2a )，则a 的取值范围是.37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ．38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数()()226633m m f x m m x-+=-+在()0,¥+上单调递减，则m 的值为 ．四、解答题39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1,22æöç÷èø．(1)求()f x 的解析式，并指明函数()f x 的定义域；(2)设函数()()g x x f x =+，用单调性的定义证明()g x 在()1,+¥单调递增．40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)()32--，()32.5--；(2)788--，7819æö-ç÷èø；(3)3412æöç÷èø，3415æöç÷èø，1412æöç÷èø．41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式()()2233131x x ->+的解.42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数()223mm f x x --=（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上是严格减函数，求满足()()33132mma a --+>-的实数a 的取值范围．43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)kg x f x k x =+Î．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k £，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+¥上恒成立，求k 的取值范围．44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-Î在()0,¥+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数()()25af x a a x =+-为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若正数,m n 满足31250m n a ++=，若不等式91b m n+³恒成立．求b 的最大值．46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数()()215m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)若函数()()g x f x =-()g x 的单调递增区间.。
人教A版高中数学同步辅导与检测必修一第二章幂函数
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝7xB ．y ＝x 7C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋2)3解析：函数y ＝x 7是幂函数，其他函数都不是幂函数．答案：B2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43B ．y ＝x 32C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确，故选C.答案：C3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，33)，则f (4)的值为( ) A.12 B.14 C.13D ．2 解析：依题意有33＝3α，所以α＝－12， 所以f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.答案：A4．函数y ＝x 23图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 23是偶函数，且在第一象限图象沿x 轴递增，所以选项D 正确．答案：DA ．1或3B ．1C ．3D ．2解析：因为f (x )为幂函数，所以m 2－4m ＋4＝1，解得m ＝3或m ＝1，所以f (x )＝x －1或f (x )＝x 3，因为f (x )为(0，＋∞)上的减函数，所以m ＝3.答案：C二、填空题6．(2016·全国Ⅲ卷改编)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.因为y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5>4>3，所以c >a >b .答案：c >a >b7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ， 所以m ＝0，1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数．所以m ＝1.答案：18．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数是幂函数，所以k ＝1，又因为其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α， 解得α＝12，故k ＋α＝32. 答案：32三、解答题9．函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋2是幂函数，且函数f (x )为偶函数，求m 的值．解：因为f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋2是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0.所以m ＝1，或m ＝2.当m ＝1时，f (x )＝x 3为奇函数，不符合题意．当m ＝2时，f (x )＝x 4为偶函数，满足题目要求．所以m ＝2.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0<x ≤100.所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b解析：a ＝1.212，b ＝0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912， c ＝ 1.1＝1.112，因为函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数且1.2>109>1.1， 故1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即a >b >c . 答案：A2．给出下面三个不等式，其中正确的是________(填序号)．①－8－13<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1913；②4.125>3.8－25>(－1.9)－35；③0.20.5>0.40.3 解析：①－⎝ ⎛⎭⎪⎫1913＝－9－13，由于幂函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数，所以8－13>9－13，因此－8－13<－913，故①正确；②由于4.125>1，0<3.8－25<1，(－1.9)－35<0，故②正确；③由于y ＝0.2x 在R 上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．答案：①②(1)求k 的值与f (x )的解析式．(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(2)<f(3)，得－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2，又k∈N，则k＝0，1.所以当k＝0，1时，f(x)＝x2.(2)由已知得g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，由已知值域为[2，3]，得m＝3.故存在满足条件的m，且m＝3.。
人教b版高一数学必修一：3.3《幂函数2》学案(含答案)
自主学习 学习目标 1．掌握幂函数的概念． 2．熟悉 α＝1,2,3，12，－ 1 时幂函数 y＝ xα的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．
自学导引
1．一般地， 幂函数的表达式为 ________；其特征是以幂的 ________为自变量， ________ 为常数．
线 C1， C2， C3， C4 的 α依次为 ________________ ．
三、解答题
9．已知点 ( 2， 2)在幂函数 f(x)的图象上，点
－
2，
1 4
在幂函数
g(x)的图象上，问当
x
为何值时， (1)f(x)> g( x)； (2)f(x)＝ g( x)； (3)f(x)<g(x)．
10．已知幂函数 y＝ xm2－ 2m－3( m∈ Z )在 (0，＋∞ )上是减函数，求其解析式，并讨论 此函数的单调性和奇偶性．
变式迁移
1
已知
y＝
(m
2＋
2m－
2)
1 xm2 －
1＋
2n
－
3
是幂函数，求
m， n 的值．
知识点二 幂函数单调性的应用
例 2 比较下列各组数的大小：
(1) 3－ 52与 3.1－ 52；
(2) － 8－ 78与－
17 9 8.
规律方法 比较大小的题， 要综合考虑函数的性质，
“搭桥 ” 法进行分组，常数 0 和 1 是常用的参数．
3．设 α∈ － 2，－ 1，－ 12，13， 12， 1， 2， 3 ，则使 f( x)＝ xα为奇函数且在 (0，＋∞ )内单
调递减的 α值的个数是 ( )
A．1
B． 2
人教B版数学高一版必修1同步训练3.3幂函数
3.3 幂函数5分钟训练1.下列函数中是幂函数的是（ ）A.y=(x+2)2B.y=x2 C.y=21x D.y=3x 答案：C解析：根据幂函数的定义判断. 2.下列函数图象中，表示y=31-x的是（ ）答案：C 解析：因为31-<0,所以A 、D 错误.又因为函数是奇函数，所以B 错误. 3.幂函数y=x a 的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的( ) A.一点 B.两点 C.三点 D.四点 答案：A解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，2），那么这个幂函数的解析式为_____________. 答案：y=21x10分钟训练1.下列命题中，不正确的是（ ）A.幂函数y=x -1是奇函数B.幂函数y=x 2是偶函数C.幂函数y=x 既是奇函数又是偶函数D.幂函数y=21x 既不是奇函数也不是偶函数 答案：C解析：函数y=x 是奇函数，不是偶函数. 2.幂函数的图象过点（2，41），则它的单调递增区间是（ ） A.（0，+∞） B.［0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 答案：D解析：设f(x)=x α.由2α=41,得α=-2,故f(x)=x -2,其单调增区间是（-∞,0）. 3.函数y=11+x 的图象是（ ）答案：D 解析：y=11+x 的图象是由函数y=x1的图象向左平移1个单位得到的. 4.当x>1时，函数y=x a 的图象恒在直线y=x 的下方，则a 的取值范围是（ ） A.0<a<1 B.a<0 C.a<1 D.a>1答案：C解析：观察幂函数的图象.5.若幂函数y=x n 对于给定的有理数n ，其定义域和值域相同，则此幂函数（ ） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数 答案：D解析：可使用排除法，如y=21x 满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A 、B 均不对.y=x 3满足题意，它是奇函数，所以C 不对. 6.已知x 2>21x ，求x 的取值范围.解：在同一坐标系中，作出函数y=x 2与y=21x 的图象，如图. 通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x 2>21x , ∴所求x 的取值范围是x>1.30分钟训练1.下列命题中正确的是（ ）A.当α=0时函数y=x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C.若幂函数y=x α是奇函数，则y=x α是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错.2.已知幂函数y=1n x，y=2n x，y=3n x，y=4n x在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是( )A.n1>n2>1，n3<n4<0B.n1>n2>1，n4<n3<0C.n1>1>n2>0>n4>n3D.n1>1>n2>0>n3>n4答案：D解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小.3.下列不等式中错误的是( )A.0.50.3＜0.70.3B.5131)34()43(<C.43328.08.0--> D.2log3log4222>答案：C解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断.4.(创新题)函数①y=|x|;②y=xx||;③y=||2xx-;④y=||xxx+中，在（-∞,0）上是增函数的有（）A.①②B.②③C.③④D.①④答案：C解析：①y=|x|=⎩⎨⎧<-≥,,0,xxxx在（-∞,0）上是减函数，排除A、D；②y=⎩⎨⎧<->=,1,0,1||xxxx在（-∞,0）上为常数函数，排除B.5.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--,0,,0,1221xxxx若f(x0)>1,则x0的取值范围是（）A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案：D解析：由⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤>--,0,1,0,112xxxx得所以x<-1.又由⎩⎨⎧>>⎪⎩⎪⎨⎧>>,0,1,0,121xxxx得所以x>1.所以x0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞).6.幂函数y=x-1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=23-x的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A.ⅣⅦB.ⅣⅧC.ⅢⅧD.ⅢⅦ答案：D解析：y=3231xx=-，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x-1交叉出现.由23-<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦限”.7.3131)22()1(-<+aa,则实数a的取值范围是__________________.答案：a>3解析：y=31x在R上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3.8.已知函数f(x)=xx+1.(1)画出f(x)的草图；（2）指数f(x)的单调区间；（3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c).解：(1)f(x)=111+-x.函数f(x)是由y=x1-向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图.（2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞).(3)f(a)=a a +1,f(b)=bb +1. ∵a,b>0,∴b a bb b b a a a a ++>+++>+11,11. ∴f(a)+f(b)>ba ba +++1=f(a+b).∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0, ∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c). 9.(探究题)已知函数f(x)=xx 1-,求证： （1）f(x)在其定义域上是增函数； （2）方程f(x)=1最多有一个实根.答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）. 设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=221111x x x x +--)11)((11212121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-++-=-+-=. ∵0<x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).∴f(x)为增函数.（2）证明：f(x)的值域为R .假设存在x 1,x 2>0,使f(x 1)=f(x 2)=1.不妨设x 1<x 2. ∵f(x)是（0，+∞）上的增函数， ∴f(x 1)<f(x 2)与假设相矛盾.∴假设不成立，即f(x)=1的根只有一个. 10.已知幂函数f （x ）=322--m m x（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点.（1）试求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象； （2）讨论函数g （x ）=)()(x xf bx f a-的奇偶性（a 、b ∈R ）. 解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点， ∴m 2-2m-3<0，即-1<m<3. 又m ∈Z ，得m=0，1，2.∵幂函数的图象关于y 轴对称，∴它是偶函数.把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3， 只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1.∴f （x ）=x -4.其图象如图所示.（2）把f （x ）=x -4代入g （x ）的解析式，得 g （x ）=3244bx xax x b x a -=•---（x≠0）， g （-x ）=3232)()(bx xa xb x a +=---. ∴当a≠0，b≠0时，g （x ）为非奇非偶函数；当a=0，b≠0时，g （x ）为奇函数； 当a≠0，b=0时，g （x ）为偶函数；当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数.。
高中数学人教A版(2019)必修一3 3幂函数 同步练习 (含解析)
人教A版（2019）必修一3.3幂函数（共21题）一、选择题（共13题）1.下列函数是幂函数的是( )A．y=2x B．y=2x−1C．y=(x+1)2D．y=√x23 2.下列幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是( )A．y=x 32B．y=x23C．y=x13D．y=x−133.函数y=x k与y=kx(k∈{−1,12,2,3})的图象只可能是( ) A．B．C．D．4.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A．y=x 12B．y=x4C．y=x−2D．y=x135.已知y=(m2+2m−2)x m 12−1是幂函数，则m的值为( )A．−3B．1C．−3或1D．36.若幂函数y=x n对于给定的有理数n，其定义域与值域相同．则此幂函数( )A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．一定不是奇函数D．一定不是偶函数7.若幂函数y=f(x)的图象经过点(−2,4)，则f(x)在定义域内( )A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值8.已知函数f(x)=(3m2−2m)x m是幂函数，若f(x)为增函数，则m等于( )A．13B．−1C．1D．−13或19.已知点(13,27)在幂函数f(x)=(t−2)x a的图象上，则t+a=( ) A．−1B．0C．1D．2 10.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则该函数的解析式为( )A．y=x 12，x≥0B．y=2x−12，x≥0C．y=x−12，x≥0D．y=12x−12，x≥011.函数y=x 53的图象大致是( )A．B．C．D．12.己知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则函数f(x)的解析式为( )A．f(x)=x2B．f(x)=x 12C．f(x)=x−12D．f(x)=x−213.已知幂函数y=x pq（p，q∈N∗，q>1，且p，q互质）的图象如图所示，则( )A．p，q均为奇数，且pq>1B．p为奇数，q为偶数，且pq>1C．p为偶数，q为奇数，且pq>1D．p为偶数，q为奇数，且0<pq<1二、填空题（共4题）14.已知y=(2a+b)x a+b+(a−2b)是幂函数，则a=，b=．15.若幂函数f(x)=x m−1在(0,+∞)上是减函数，则实数m的取值范围是．16.当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m为减函数，则实数m的值为．17.若幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m=．三、解答题（共4题）18.设点(√2,2)在幂函数y=x a的图象上，点(−2,14)在幂函数y=x b的图象上．问：当x为何值时，x a>x b？19.设函数y=(m2+2m)x m2−m−4，根据下列条件分别求出m的值：(1) 该函数为二次函数；(2) 该函数为幂函数，且在区间(0,+∞)上是严格减函数．20.已知函数f(x)=x 13−x−135，g(x)=x13+x−135．(1) 证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间．(2) 分别计算f(4)−5f(2)⋅g(2)和f(9)−5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21.已知幂函数f(x)=x 13(m−2)(m∈N)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)=a√f(x)−bxf(x)的奇偶性．答案一、选择题（共13题） 1. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确．2. 【答案】C3. 【答案】C【解析】对于A ，直线对应函数 y =x ，曲线对应函数为 y =x −1，1≠−1，故A 错； 对于B ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 12，2≠12，故B 错；对于C ，直线对应函数为 y =2x ，曲线对应函数为 y =x 2，2=2，故C 对； 对于D ，直线对应函数为 y =−x ，曲线对应函数为 y =x 3，−1≠3，故D 错．4. 【答案】B5. 【答案】A【解析】由题意得 {m 2+2m −2=1,m 12−1≠0, 解得 m =−3．6. 【答案】D【解析】由于偶函数的图象关于 y 轴对称，并且定义域关于原点对称，故定义域和值域不可能相同．7. 【答案】C【解析】易知 (−2)a =4，则 a =2，f (x )=x 2≥0， 所以函数有最小值．8. 【答案】C【解析】函数 f (x )=(3m 2−2m )x m 是幂函数，则 3m 2−2m =1，解得 m =1 或 m =−13，又 f (x ) 为增函数，则 m =1 满足条件，即 m 的值为 1．9. 【答案】B【解析】因为点 (13,27) 在幂函数 f (x )=(t −2)x a 的图象上，所以 f (13)=(t −2)(13)a=27，且 t −2=1， 解得 t =3，a =−3，所以 t +a =3−3=0．10. 【答案】A【解析】设幂函数 y =f (x )=x α，因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 2α=√2，解得 α=12，所以 f (x )=x 12，x ≥0．11. 【答案】B【解析】由于 53>1，故可排除选项 A ，D ．根据幂函数的性质可知，当 k >1 时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项 C ，只有选项 B 正确．12. 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为 y =x a ， 因为幂函数 y =f (x ) 的图象过点 (2,√2)， 所以 √2=2a ， 解得 a =12，所以 f (x )=x 12．13. 【答案】D【解析】因为图象关于 y 轴对称， 所以函数为偶函数，所以 p 为偶数，q 为奇函数． 由图象在第一象限内缓慢递增，知 0<p q<1．故选D ．二、填空题（共4题） 14. 【答案】 25 ； 15【解析】由题意得 {2a +b =1,a −2b =0, 解得 {a =25,b =15.15. 【答案】 (−∞,1)【解析】因为幂函数 f (x )=x m−1 在 (0,+∞) 上是减函数， 所以 m −1<0，解得 m <1． 故答案为 (−∞,1)．16. 【答案】−1【解析】由幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1， 又因为该幂函数在 x ∈(0,+∞) 时为减函数，当 m =2 时，函数化为 y =x 2 不符合题意，而 m ＝−1 时，y =x −1 符合题意，故 m =−1．17. 【答案】 1【解析】因为幂函数 y =(m 2−3m +3)x m 2−m−1的图象不过原点，所以 {m 2−m −l ≤0,m 2−3m +3=1.解得 m =1．三、解答题（共4题）18. 【答案】由题意，可解得 a =2，b =−2．又由 x 2>x −2，可解得 x >1 或 x <−1．19. 【答案】(1) 由题意，知 {m 2+2m ≠0,m 2−m −4=2, 即 {m 2+2m ≠0,m 2−m −6=0, 得 m =3．(2) 由题意，知 {m 2+2m =1,m 2−m −4<0, 即 {m 2+2m −1=0,m 2−m −4<0, 得 m =√2−1．20. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域是 (−∞,0)∪(0,+∞)， 所以定义域关于原点对称． 又因为 f (−x )=(−x )13−(−x )−135=−x 13−x−135=−f (x )，所以函数 f (x ) 是奇函数．在 (0,+∞) 上任取 x 1，x 2，且 x 1<x 2， 则 (x 1)13<(x 2)13，(x 2)−13<(x 1)−13，从而 f (x 1)−f (x 2)=(x 1)13−(x 1)−135−(x 2)13−(x 2)−135=15[(x 1)13−(x 2)13]+15[(x 2)−13−(x 1)−13]<0，即 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x )=x 13−x−135在 (0,+∞) 上单调递增．又因为 f (x ) 是奇函数，所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上也单调递增．故函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0)，(0,+∞)． (2) f (4)−5f (2)g (2)=413−4−135−5×213−2−135×213+2−135=0，f (9)−5f (3)g (3)=913−9−135−5×313−3−135×313+3−135=0．由此可推测出一个等式 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）．证明如下： f (x 2)−5f (x )g (x )=(x 2)13−(x 2)−135−5×x 13−x−135×x 13+x−135=x 23−x−235−x 23−x−235=0．故 f (x 2)−5f (x )g (x )=0（x ≠0）成立．21. 【答案】由 f (x )=x 13(m−2)(m ∈N ) 在 (0,+∞) 上单调递减，得 13(m −2)<0，所以 m <2．因为 m ∈N ，所以 m =0 或 m =1．因为 f (x ) 是偶函数，所以只有当 m =0 时符合题意，故 f (x )=x −23． 于是 g (x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣−bx 13，g (−x )=a ∣∣∣x 13∣∣∣+b x 13，且 g (x ) 的定义域为 (−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称． 当 a ≠0 且 b ≠0 时，g (x ) 既不是奇函数也不是偶函数； 当 a =0 且 b ≠0 时，g (x ) 是奇函数；当 a ≠0 且 b =0 时，g (x ) 是偶函数；当 a =0 且 b =0 时，g (x ) 既是奇函数又是偶函数．。
2020-2021学年人教A数学必修1配套训练：2.3 幂函数
[A 组 学业达标]1．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：设f (x )＝x α，则2α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝.选B.答案：B2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.答案：A 3．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n 当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n 当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：y ＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝x n 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.答案：D4．函数y ＝的图象是( )解析：∵函数y ＝是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．－1或2D ．2解析：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m 2－2m －3<0解得m ＝2.答案：D6．若f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为__________． 解析：由f (x )的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 7．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1(－2)3＝－18. 答案：－188．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)xm 2＋2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝__________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：09．比较下列各题中两个幂的值的大小：10．点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问：当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )?②f (x )＝g (x )？ ③f (x )<g (x )? 解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， 当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．[B 组 能力提升]1．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a . 答案：C2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．答案：D3．若(a ＋1)3＜(3a －2)3，则实数a 的取值范围是__________．解析：构造函数y ＝x 3，它在R 上是增函数，所以a ＋1＜3a －2，解得a ＞32.答案：⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．已知幂函数(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数 (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1. ∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴由f (2－a )＞f (a －1)得{ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第二章第三节幂函数一. 教学内容：幂函数二. 学习目标1. 理解幂函数y=x a的概念；2. 以简单的幂函数为例研究它们的定义域、奇偶性、单调性及图像；3. 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的性质和图像特征三. 知识要点形如y ＝x a的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数.1. 幂函数y=x n随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y=x n，当n=±2，±1，±12，13，3时的图像和性质，列表如下：2. 幂函数性质归纳.（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图像都过点（1，1）；（2）0a >时，图像都通过两点（0，0）、（1，1）；并且在区间),0[+∞上是增函数. 需特别注意的是，当1a >时，幂函数的图像下凸；当1a 0<<时，幂函数的图像上凸；（3）当0a<时，图像都通过一点（1，1）；图像在区间),0(+∞上是减函数. 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.【典型例题】例1、比较下列各组数的大小：（1）分析：底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小的问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（3）分析：为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数.即评述：此例充分显示了化归转化思想在比较幂函数大小中的运用.例2、已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值.解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x -+=， ∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=， ∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x --+--==-+-.例3、已知1212)(+-⋅=xx a x f 是定义在R 上的奇函数. （1）求f （x ）及f －1（x ）的表达式； （2）若当x ∈（－1，1）时，不等式f －1（x ）≥m x+1log 2恒成立，试求m 的取值范围.解：（1）f （x ）在R 上为奇函数1212)(10)0(+-=⇒=⇒=⇒xx x f a f )11(11log )(110110211log 1121212212<<--+=<<-⇒>-+⇒>-+=⇒-+=⇒+-=-x x xx f y y yy y x y y y x x x x 由令 （2）xm m x x x m x x x -≥⇒+≥-+⇒+≥-+11111log 11log 22221011≥⇒<-<⇒<<-m x x 由故所求m 的取值范围是),2[+∞.例4、已知函数()f x 的定义域为R ，且2(log )(af x x a x =+为正常数).⑴ 当2a =时，求函数()f x 的解析式及值域；⑵ 如果函数()f x 是偶函数，求a 的值；⑶ 当函数()f x 是偶函数时，用定义证明()f x 在(0,)+∞上是增函数.解：（I ）设2log x t =，则2()tx t R =∈ 得2()22t t f t =+， ∴2()22x xf x =+，()x R ∈ ∴2()22x x f x =+≥222x x =，即当12x =时，取“=”号， ∴ ()f x的值域为)+∞.（2） 如果函数()x f 是偶函数，则有()()f x f x -=，2222x xx x a a --+=+∴1(1)(2)02x x a --=对任意x R ∈恒成立.∴ 1a =（3）当()f x 是偶函数时，1()22x xf x =+ 设120x x <<，则 12121211()()2(2)22x x x x f x f x -=+-+21121222(22)22x x x x x x -=-+⋅ 12121(22)(1)2x x x x +=--∵120x x <<，∴ 1222x x <，1221x x +> ∴ 12220x x -<，121102x x +-<，∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在(0,)+∞上是增函数.例5、已知函数5x x )x (g ,5xx )x (f 31313131--+=-=（1）证明：f （x ）是奇函数，并求f （x ）的单调区间，（2）分别计算f （4）-5f （2）g （2）和f （9）-5f （3）g （3）的值，由此概括出涉及函数f （x ）和g （x ）的对所有不等于零的x 都成立的一个等式。
解：（1）函数f （x ）的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，关于原点对称，又)(55)()()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---∴f （x ）是奇函数设)11)((5155)()(),0(,312311312311312312311311212121x x x x x x x x x f x f x x x x +-=---=-+∞∈<--)()(011,021312311312311<-∴>+<-x f x f x x x x f （x ）在（0，+∞）上单调递增，又∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）在（-∞，0）上也单调递增。
（2）计算得f （4）-5f （2）g （2）=0， f （9）-5f （3）g （3）=0，由此概括出对所有不等于零的实数x 得：f （x 2）-5f （x ）g （x ）=0.0)(51)(515555)()(5)(323232323131313132322=---=+⋅-⋅--=------x x x x x x x x x x x g x f x f主要数学思想方法1、通过观察、总结幂函数的性质，培养抽象概括和识图能力，数形结合思想运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。
2、幂函数图像的位置和形状变化，并将图像的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质，培养概括的能力。
3、通过对幂函数图像的学习，加深对幂函数性质的理解，体会通过观察、分析函数图像来研究函数性质的方法.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列函数是幂函数的是 （ ） A. y=2xB. y=2x -1C. y=（x+1）2D. y=32x 2. 下列说法正确的是 （ ）A. y=x 4是幂函数，也是偶函数；B. y=-x 3是幂函数， 也是减函数；C. y=x 是增函数， 也是偶函数；D. y=x 0不是偶函数.3. 下列幂函数中，定义域为R 的是 （ ）A. y=x -2B. y=21xC. y=41xD. y=21x-4. 若A=2，B=33，则A 、B 的大小关系是 （ ）A. A>BB. A<BC. A 2>B 3D. 不确定5. 下列是y=32x 的图像的是 （ ）6. y=x 2与y=2x的图像的交点个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题7. y=（m 2-2m+2）x2m+1是一个幂函数，则m=8. y=x 的单调增区间为 . 9. 若()()a a +<---1321313， 则a 的取值范围是 。
三、解答题10、已知f x x (),=+≤≤21132λ， 试求g x f f x f x ()[()]()=-2λ在]1,1[-上的最大值与最小值。
11、已知函数x ，y 满足x ≥1，y ≥1。
log a 2x +log a 2y =log a （ax 2）+log a （ay 2）（a >0且a ≠1），求log a （xy ）的取值范围。
12、已知函数f （x ）=log a x （a >0且a ≠1），（x ∈（0，+∞）），若x 1，x 2∈（0，+∞），判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明。
【试题答案】1. D2. A3. A4. B5. B6. C7. 18.),0[∞+9. -<<1332a 10、解：g x x x ()()()=++-+2221121λ=+-+-x x 422121()()λλx x ∈-∴∈[,][,]11012令t x t =∈201,[,] g x f t t t t ()()()(),[,]==+-+-∈2212101λλ 对称轴 t =-λ1由011132≤-≤≤≤⎧⎨⎪⎩⎪λλ得 1320112≤≤⇒≤-≤λλ g F g F max min ()()()()()()()==+-+-=-=-=---+-=-112121541121211222λλλλλλλλ11、解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =（1+2log a x ）+（1+2log a y ），即（log a x －1）2+（log a y －1）2=4，令u =log a x ，v =log a y ，k =log a （xy ），则（u －1）2+（v －1）2=4（uv ≥0），k =u +v 在直角坐标系uOv 内，圆弧（u －1）2+（v －1）2=4（uv ≥0）与平行直线系v =－u +k 有公共点， 分两类讨论（1）当u ≥0，v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2（1+2）；（2）当u ≤0，v ≤0，即0＜a ＜1时，同理得到2（1－2）≤k ≤1－3。
综上，当a >1时，log a （xy ）的最大值为2+22，最小值为1+3； 当0＜a ＜1时，log a （xy ）的最大值为1－3，最小值为2－22。
12、解：f （x 1）+f （x 2）=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2，∵x 1，x 2∈（0，+∞），x 1x 2≤（221x x +）2（当且仅当x 1=x 2时取“=”号），当a >1时，有log a x 1x 2≤log a （221x x +）2，∴21log a x 1x 2≤log a （221x x +），21（log a x 1+log a x 2）≤log a 221x x +，即21[f （x 1）+f （x 2）］≤f （221x x +）（当且仅当x 1=x 2时取“=”号）当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a （221x x +）2，∴21（log a x 1+log a x 2）≥log a 221x x +，即21［f （x 1）+f （x 2）］≥f （221x x +）（当且仅当x 1=x 2时取“=”号）。