高等数学复习题及参考答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题： 1.函数1
142
-+
-=
x x
y 的定义域是 。

解：),2[]2,(∞+--∞ 。

2.若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 。

解：62
-x 3.sin lim
x x x
x
→∞
-= 。

答案：1 正确解法：101sin lim
1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-
=-∞
→∞
→∞
→∞
→x
x x
x x
x
x x x x x
4.已知22
lim
2
2
2
=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。

由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由23
41
2lim
2
lim
2
2
22
=+=
+++=--++→→a x a x x x
b ax x
x x , 知8,2-==b a
5.已知∞=---→)1)((lim
x a x b e x
x ，则=a _____, =b _____。

∞=---→)
1)((lim
x a x b
e
x
x , 即01)
1)((lim
=-=
---→b
a b
e
x a x x
x ，∴0,1a b =≠
6.函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim 01sin
lim 0
==+=+-
→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，
又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7.设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()
=+1n y
(1)!n +
8.2
)(x x f =，则__________
)1)((=+'x f f 。

答案：2)12(+x 或1442
++x x 9.
函数2
2
ln (1)
x y z --=
的定义域为 。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z
⇒ 的定义域为：{10|),(2
2
<+<
y
x
y x 且x
y
42
≤}
10.已知2
2
),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f .
解：令x y u
+
=，x y v
-
=，则,2
2
u v u v x
y +-=
=
，
()()()
f x y x y xy x y +-=+
)(4
2
2
2
),(2
2
v u u u v u v u v u f -=-+=
，22
(,)()
4
x f x y x y =
-
11.设2
2
),(y
x
x xy y x f ++
=,则
=
'
)1,0(x f 。

=
'
)1,0(y f
∵
(0,1)000
f =+=
2
(,1)(0,1)
1(0,1)lim
lim
2
x x x x x f x f x f x
x
∆→∆→∆∆+
-∆-∆+'===∆∆
(0,1)(0,1)
00(0,1)lim
lim
y y y f y f f y
y
∆→∆→∆+--'===∆∆。

12.设,,cos ,sin 3
2t y t x y x z ==+=则t
z d d ＝ 。

解：2
2sin 3co s d z x t t y
d t
=-+
13.
=⎰⎰dx
x f d d dx
d )( 。

解：由导数与积分互为逆运算得，
)()(x f dx
x f d d dx
d =⎰⎰。

14.设)(x f 是连续函数，且x dt t f x =⎰
-1
3
)(，则=)7(f 。

解：两边对x 求导得1)1(33
2=-x f x ，令713=-x ，得2=x ，所以12
131)7(2
2
=
=
=x x
f 。

15.若2
1d e
=
⎰
∞+-x kx
，则_________
=k 。

答案：∵
)d(e
1lim d e
2
10
kx k
x b kx
b kx
--
==
⎰
⎰
-+∞→∞+-
k
k
k
k
kb
b b kx
b 1e
1lim
1e
1lim 0
=
-=
-
=-+∞
→-+∞
→
∴2=k
16.设函数f(x,y)连续，且满足⎰⎰+=D
y d y x f x y x f 2
),(),(σ，其中,:2
22a y x D ≤+则f(x,y)=______。

解：.4
44
2
x a y π+
记⎰⎰
=
D
d y x f A σ),(，则2
),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：⎰⎰
⎰⎰
+
=
D
D
d y Axd A σσ2
，其
中⎰⎰=D
xd A 0σ（由对称性），⎰
⎰⎰⎰
=
=
a
D
a d d d y 0
4
2
320
2
.4
sin
πρϕρϕ
σπ
即 4
4
a A π=
，所以，.4
),(4
2
x a y y x f π+
=
17.求曲线2
,42
2
ay x
ax y
==所围成图形的面积为 。

（a>0）
解：
2
23
a
18.∑
∞
=--1
2
22
12n n n
x
n ；
解：令2
x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数
∑
∞
=--1
1
2
12n n n
y
n ，记其各项系数为n b ，因为
21
212l i m
21
22
2
12l i m
l i m
1
1
=+-=+⋅
-==∞
→+∞
→+∞
→n n n n b b R n n n
n n n n ，则20222
<≤⇒<<-x
y ，
故22<<-x 。

当2±=x 时，幂级数成为数项级数
∑∞
=-1
)12(2
1
n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为)2,2(-。

19.()
02
='-''y y 的满足初始条件()()41
1,121
1='=y y 的特解为3
21121⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 。

20.微分方程03='-''y y 的通解为x
e c c y 321+=。

21.微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e y x
2sin 2cos 213+=-。

22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1
-*
7-2A
A |= 。

答案：()
3
11n
-
23.1
11
1
11
1
1
x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 。

答案： 2;
24.f (x )=3
1251
4
x
x
x
是 次多项式，其一次项的系数是 。

解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。

25.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC 。

26.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = 。

解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )
∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6
27.A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= 。

解：A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8
28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 。

解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标
可表示为A B C A B C A B C ++，即有 P (A B C A B C A B C ++)
=P (A )()()()()()()()()P B P C P A P B P C P A P B P C ++=0.36
29.已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝ ；P （A B －）＝ 。

解：P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9
P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3
30.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 。

解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(
二、单项选择题： 1.函数)1,0(1
1)(≠>+-=a a a
a x
x f x
x ( )
A.是奇函数
B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1
1)
1()1(1
1)
()(x f a
a x
a a
a a x
a
a x x f x
x x
x
x
x x
x =+-=+--=+--=-----
所以B 正确。

2.若函数2
2
1)1(x
x
x
x f +
=+
，则=)(x f ( )
A.2
x B.22
-x C.2
)1(-x D.12
-x 解：因为2)1(21212
2
2
2
2
-+
=-+
+=+
x
x x
x
x
x ，所以2)1()1(2
-+
=+
x
x x
x f
则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。

3.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =( )
A ． x
B ．x + 1
C ．x + 2
D ．x + 3
解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D 4.已知0)1
(
lim 2
=--+∞
→b ax x x
x ，其中a ,b 是常数，则( )
A.1,1==b a ,
B.1,1=-=b a
C.1,1-==b a
D.1,1-=-=b a 解：()()01
1lim
)1
(
lim 22
=+-+--=--+∞
→∞
→x b x b a x a b ax x x
x x ,
1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C
5.下列函数在指定的变化过程中，( )是无穷小量。

( )
A.e 1
x x ,()→∞ B.
sin ,()x x
x →∞；
C.ln(),()11+→x x
D.
x x
x +-→110,()
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sin lim
=∞
→x
x x
而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( ) (A))(1sin
∞→=x x
x y ; (B)())(1∞→=-n n
y n
;
(C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1cos
1→=
x x
x
y
解：111sin
lim 1sin
lim ==∞
→∞
→x
x
x
x x x ,故不选(A)。

取12+=k m ,则()01
21lim
lim 1=+=∞
→-∞
→k n
k n n
,
故不选(B)。

取2
1ππ+
=
n x n , 则01cos
1lim
=∞
→n
n
n x x ,故不选(D)。

答案：C
7.设⎪⎩
⎪⎨⎧
≤>=0,0,1sin
)(x x x x
x x f ，则)(x f 在0=x 处( ) A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导 解：（B ）
0lim )(lim 0
0==--→→x x f x x ，01sin
lim )(lim 0
0==++→→x
x x f x x ，0)0(=f
因此)(x f 在0=x 处连续
x
x x
x x f x f f x x x 1sin
lim 0
1sin
lim 0
)
0()(lim )0(0
++
+
→→→+=--=--='，此极限不存在
从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在
8.曲线x x y -=3
在点（1，0）处的切线是( )
A.22-=x y
B.22+-=x y
C.22+=x y
D.22--=x y
解：由导数的定义和它的几何意义可知，
1
3
)()1(='
-='x x x y 2)
13(1
2
=-==x x
是曲线x x y -=3
在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20-=-x y ，即22-=x y 正确答案：A 9.已知4
4
1x y =
，则y ''=( )
A. 3
x B. 2
3x C. x 6 D. 6 解：直接利用导数的公式计算：
3
4
)4
1(
x x y ='=', 2
33)(x x y ='=''
正确答案：B
10.若x x f =)1
(，则=')(x f ( )
A.
x
1 B.
2
1x
C.x
1-
D.2
1x
-
答案：D 先求出)(x f ，再求其导数。

11.
2
2
ln
y
x
z -=的定义域为( )
A.
1
2
2
≥-y
x
B.022≥-y x
C.12
2>-y x D.02
2>-y x
解：z 的定义域为{2
2
(,)0x y x y ->}个，选D 。

12.下列极限存在的是( ) A.y
x x y x +→→0
0lim
B.y
x y x +→→1lim
0 C.y
x x
y x +→→2
0lim
D.y
x x y x +→→1sin
lim
解：A.当P 沿0
=x
时，0
),0(lim
=→y f y ，当P 沿直线0
=y
时，1
)0,(lim
=→x f x ，故0
0lim →→y x
y
x x +不存在； B.
∞
=+→→y
x y x 1
lim 0
0，不存在； C. 如判断题中 1 题可知
y
x x
y x +→→2
lim 不存在； D. 因为
l i m 1si n
l i m 0
00
0=≤+→→→→x y
x x y x y x ，所以0
1sin
lim
0=+→→y
x x y x ，选D
13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内( ) A.0)(,0)(<''>'x f x f B.0)(,0)(>''>'x f x f C.0)(,0)(<''<'x f x f D.0)(,0)(>''<'x f x f
解：).(,)(,)(,)(C x f x f x f 故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因'''
14.设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为( ) A.)10(-f B.)1(-f C.)10(f D.)1(f 解：（B ）
因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而)()(x f x f -'='，设0<x ，则0>-x ，从而0)()(>-'='x f x f ，所以)(x f 在[-10，-1]上单调增加，故最大值为)1(-f
15.函数2
2)(4),,(y x y x z y x f ---= ( )
A.有极大值8
B.有极小值8
C.无极值
D.有无极值不确定
解：
42x f x
=-，
42y f y
=--，02
02
x y f x f y =⎧=⎧⎪−−→⎨
⎨==-⎪⎩⎩
2
002H -⎛⎫=
⎪-⎝⎭
0 20
H
>-<，
(2,2)8
f -=为极大值 （A ）
16.设的值则为周期的连续函数是以⎰
+=
T
a a
dx x f I T x f )(,)(( )
A.依赖于T a ,
B.依赖于x T a 和,
C.依赖于x T ,，不依赖于a
D.依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,).(,)()( 0
D dx x f dx x f T
T
l l
故应选⎰
⎰
=
+
17.曲线)0( sin
2
3
π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为( )
A.
3
4 B.π3
4 C.2
3
2π D.π3
2
解：所求旋转体的体积为
.3
4]3
cos [cos cos )cos
1(sin
03
2
3
2
πππ
π
ππ
π
π
π
=
-
-=--===
⎰
⎰
⎰
x
x x d x xdx dx y V
故应选(B)。

18.设⎰
-
+=
2
2
4
2
cos
1sin ππxdx x
x M ，⎰
-
+=
2
2
4
3
)cos
(sin
ππdx x x N ，
⎰
-
-=
2
2
4
32
)cos
sin (ππdx x x x P ，则有( )
A.M P N <<
B.N P M <<
C.P M N <<
D.N M P << 解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos
22
0 4
>=⎰π
xdx N ，0cos
22
4
<-=⎰
πxdx P ，
所以N M P <<，故选（D ）。

19.下列不定积分中，常用分部积分法的是( ) A.x x x d sin 2
⎰ B.x x x d )12sin(⎰+ C.x x
x d ln ⎰ D.x x
x d 1⎰
+
答案：B 。

20.设dxdy y x
I y x 31
2
4
2
)1(2
2
--
=
⎰⎰≤+，则必有( )
A.I>0
B.I<0
C.I=0
D.I ≠0的符号位不能确定
解： D ：0202
r θπ
≤≤⎧⎨
≤≤⎩ 2
1
4
22
2
2
3300
3d (1)d (1)
4
I
r r r r πθπ=-=-⋅->⎰⎰
21.设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x
f t
t
y x t )(
1
lim
2
2
2
2
2
3
⎰⎰
≤+→++
π）( )
A.等于0
B.等于)0('3
2f C.等于+∞ D.不存在且非∞
答案：为(C ）
解：由极坐标，原极限20
3
3
000
2()1
2()lim
()lim lim
3
t
t
t t t rf r d r
f t d rf r d r t
t
t
ππϕππ+
+
+
→→→=
==
=+∞
⎰⎰⎰
22.设函数项级数∑∞
=1
)(n n x u ，下列结论中正确的是( )
A.若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间
B.若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞
→x r n n
C.若I x ∈0使∑∞=1
0)(n n x u 收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞
=1
)(n n x u 收敛
D.若)(x S 为此级数的和函数，则∑∞
=1
0)(n n x u 必收敛于)(0x S
解：选（B ）。

23.设0>a 为常数，则级数)cos
1()1(1
n
a n n
--∑∞
=( )
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性与a 有关 解：因为2
22
22sin
2)cos
1()1(n
a
n
a n
a n
≤
=--，而∑
∞
=1
2
22n n
a
收敛，因此原级数绝对收敛。

故选（A ）。

24.若级数∑∞
=--1
)
()
1(n n
n
n
a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a ( )
A.1
B.-1
C.2
D.2
解：由于∑∞
=--1
)()
1(n n n
n
a 收敛，由此知1≤a .当11≤<-a 时，由于∑∞
=--1
)
()
1(n n
n
n
a x 的收敛半径为1，
因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时发散矛盾，因此1-=a .故选（B ）。

25.x e
y y y x
2cos 52-=+'+''的特解可设为( )
A.;2cos *
x A e
y x
-= B.;2cos *
x A xe y x
-=
C.();2sin 2cos *x B x A xe
y x
+=- D.().2sin 2cos
*x B x A e
y
x
+=-
解：C
26.微分方程的阶数是指( )
A.方程中未知函数的最高阶数
B.方程中未知函数导数或微分的最高阶数
C.方程中未知函数的最高次数
D.方程中函数的次数 解：B
27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解。

( )
A.;2
2c y x =+ B.;3221c x c x c y ++=
C.;cos sin 2
221x c x c y += D.()().cos ln ln 21x c x c y += 解：C
28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB =( )
A.**B A
B.1-1-B A AB ||
C.1-1-A B
D.**A B 解答：D
29.设A 、B 均为n 阶方阵，则必有( )
A.|A +B |=|A |+|B |
B.AB =BA
C.|AB |=|BA |
D.(A +B )–1=A –1+B –1
解：正确答案为(C )
30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是 ( )
A.()T T T B A AB =
B.()T T T B A B A +=+
C.()1
11---=B A AB D.()111---+=+B A B A 解答：B
31.在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为( ) A.A C B C B.A B C C.A B C A BC AB C D.A B C
解：由事件间的关系及运算知，可选（A ）
32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为( )
A.3
8 B.5
3188⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3
4831
C 88⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.485C 解：基本事件总数为48C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1
5C =5，故
P (A )=
4
8
5C ，故应选（D ）。

33.已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()()12P A |A B
()1A |P B =()2|P A B +,则下列选项成立的是( )
A.()()()()1212P A |A ||A B P B P A B =+ ;
B.()()()()1212P A |A A B P P A =+
C.()()()()()121122P A A |A |B A B P P B P A P B A =+
D.()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+
解：由题可知A 1、A 2互斥，又0<P (B )<1，0<P (A 1)<1，0<P (A 2)<1，所以 P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 故应选（C ）。

三、解答题： 1.设函数
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
>=<+=0
sin 001sin )(x x x x a
x b x x x f 问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？
（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？ 解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0
x f x f x x +
-
→→=成立。

因为b b x
x x f x x =+=-
-
→→)1sin
(lim )(lim 0
所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0
0x f x f x x +
-
→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，
又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是
1
sin lim )(lim 0
==+
+→→x
x x f x x
)()(lim )(lim 00
x f x f x f x x x x ==+
-
→→
于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

2.已知82lim
2
3
2
=-++→x b
ax
x
x ，试确定a 和b 的值
解：82
lim
2
3
2
=-++→x b
ax
x
x ,()048lim 2
3
2
=++=++∴→b a b ax
x
x ,即a b 48--=
()[
]
8124422lim 2
8
4lim
2
lim
2
2
2
3
2
2
3
2
=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x
x a ax x x b
ax x
x x x ,
,1-=∴a 故4-=b
3.设⎪⎩⎪⎨⎧
≤<-+>=-0
1),1ln(0 ,)(1
1
x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型
解：)(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+
11
1
lim x x e ,0lim 1
11
=-→-
x x e
, ()00=f , 因此, 1=x 是
)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1
1
1
--→→==++e
e
x f x x x
()()01ln lim lim 0
=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.
4.求方程中y 是x 的隐函数的导数 （1）1e e =+-y
x xy ,y '
解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即
1)e ()e ()('='+'-'y
x xy
0e e ='+-'+y y x y y
x
y y x x
y -='+e )e (
整理得 y
x
x y
y e
e
+-=
'
（2）设)sin(y x y +=，求
dx
dy ，22
dx
y d ；
解：)1()cos(y y x y '+⋅+=' )
cos(1)
cos(y x y x y +-+=
'
y y x y y x y ''⋅++'+⋅+-='')cos()1()sin(2
， 3
3
)]
cos(1[)]
cos(1[)sin(y x y
y x y x y +--=
+-+-
=''
5.设),(y x z z =由方程y
z x z -=+e 所确定, 求
x
y z ∂∂∂2
.
解：设x z z y x F y
z --=-e
),,(,
1-=x F , y
z y F --=e , 1e
-=-y
z z F , 1
e
1-=
∂∂-y
z x
z ,
z
y y
z y
z y z ----=
-=
∂∂e
11
1
e
e ,
3
)
(22
2)
e 1(e
)
e
1(e )e
11
(
z
y z y z
y z y z
y x
z x x
y z ------=
∂∂⋅
--=
-∂∂
=
∂∂∂∴
.
6.设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0<<x f ，对于（0 ,1）内所有x 有,1)('≠x f 证明在（0,1）内有且只有一个数x 使 x x f =)(。

()(), [0 ,1] () .
() [0 ,1] ,()()0,[,] [0 ,1] ,
121212(,) , ()0 ()10()1,
12 (0 ,1 F x f x x F x F x c c F c F c c c R o lle c c F f f ζζζζ=-==⊂'''∈=-=⇒= 设在上用零点定理，得至少有一个零点反设在上存在两个零点，即由定理可得至少有使即与题设矛盾，故在) , ().
x f x x =内有且只有一个使
7.求函数1
2)1(-+=x x y 的单调区间和极值。

解：函数1
2
)1(-+=x x y 的定义域是),1()1,(∞+---∞
2
21
)
1)(1()
1(2--+-++='x x x x y 2
2
)
1()1(2x x
x x +-+=
2
)
1()2(x x x ++=
令 0)
1()2(2
=++=
'x x x y ，得驻点21-=x ，02=x
)2,(--∞),0(∞+)1,2(--)0,1(-=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f 。

8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中, 求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。

解：设平面方程为1=++Cz By Ax , 其中C B A ,,均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为
ABC
V 1
61
=
, 且163=++C B A , 令
)163(),,,(-+++=C B A ABC C B A F λλ, 则由
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++
=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂16306030
C B A AB A F AC A F BC A F λλλ, 求得 ⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
===1819131C B A . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为
118
93=++z y x , 且8118936
1min =⨯⨯⨯=
V .
9.求下列积分 (1)x x d 1
1
3
1
⎰
+∞
解：)1(2
3lim
1
311lim
d 1
lim
d 1
32
1
3
2
1
3
1
1
3
1
-=+-==+∞
→+∞
→+∞→∞+⎰
⎰
b x x x
x x
b b
b b b
极限不存在，则积分发散. (2)
⎰⎰
≤+--2
2
2
2
2
2
a
y x d y x
a
σ
解：
(,)f x y =D
上的半球面，由D
I
σ
=的几何意义知I =V 半球=
3
23
a
π
(3)⎰⎰D
yd σ ，D 由 1,1,0x y x y x +=-== 的围成。

解：关于x 轴对称，且
(,)f x y y
=是关于y 的奇函数，
由I 几何意义知， d 0
D
y σ⇒
=⎰⎰。

10.判别级数∑∞
=--1
)cos
1()1(n n
n
a （常数0>a ）的敛散性。

如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：由n
a n
a n
cos
1)cos
1()1(-=--，而
02
1)
2(2lim
12sin
2lim
1cos 1lim
2
2
2
2
2
2
≠=
==-∞
→∞
→∞
→a
n
n a n
n
a n
n a n n n ，
由正项级数的比较判别法知，∑∞
=-1
)cos
1(n n
a 与∑
∞
=1
2
1n n
同时敛散.
而∑
∞
=1
2
1n n
收敛，故∑∞
=-1
)cos
1(n n
a 收敛，从而原级数绝对收敛.
11.判别级数n
n n
ln 1)
1(2
∑∞
=-的敛散性。

如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：记)
1ln(1
)
1(1
+-=-n u n n ，则n n v n u ∆
=+≥
1
1.
显见∑
∞
=11n n
去掉首项后所得级数∑∞
=1
n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞
=1
n n u 发散，从而∑∞
=2
n n u 发散。

又显
见)
1ln(1)
1(1
1
+-∑∞
=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛. 即n
n n
ln 1)
1(2
∑∞
=-收敛，从而原级数条件收敛.
12.求幂级数∑
∞
=+1
)1(n n
n n x
在收敛区间上的和函数)(x S ：
解：1)
2)(1()1(lim
lim
1=+++==∞
→+∞
→n n n n a a n n
n n ρ，所以1=R 。

又当1±=x 时，级数成为∑
∞
=+±1
)
1()
1(n n
n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-.
设级数的和函数为)(x S ，即∑
∞
=+=
1
)
1()(n n
n n x
x S .
再令∑
∞
=++=
=11
)1()()(n n n n x
x xS x f ，
逐项微分得，∑
∞
==
'1
)(n n
n
x
x f ，x
x
x f n n -=
=
''∑
∞
=-11)(1
1
，
)1ln(11)( 0
x dx x
dx x f x
x
--=-=
''⎰
⎰
，
0)0( ),1ln()()0()(='--='='-'f x x f f x f ，
⎰
⎰
⎰
--
--=--=
'x
x x
x
dx x
x x x dx x dx x f 0
1)1ln()1ln()(
x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln(，
故)1ln()1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ，故
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧==≠--+=.1 ,1,0 ,0,1,0 ),1ln(11)(x x x x x x x S
13.求解微分方程。

(1)0122
=+-ydy dx y x 的所有解。

解：原方程可化为
xdx y
ydy 212
-=-，（当12
≠y
），两边积分得c x
y
+-=--2
2
1，即
c y
x
=--
2
2
1为通解。

当12
=y
时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部解为
c y x =--2
2
1及1±=y 。

(2);2
2
y x
y y x -=-'
解：当0>x 时，原方程可化为2
1⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=
-
'x y x
y y ，令
u x
y =，得xu y =，原方程化为
2
1u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；
当0<x 时，原方程可化为2
1⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=-'x y x y
y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。

综合
上述，有⎩⎨⎧<+->+=.0ln ;
0ln arcsin
x c x x c x x y。

(3);2sin 2
1cos x x y y =
+'
解：由公式得 x
xdx
xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 21--+-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰。

三、求解下列各题：
1.计算下列行列式： (1)
（2）
9
8
7
654
321，
解：
012
6
6303219
8
7
654
321=----=
（3）15
00
3100
00430021-
解：160
)16(101
5
31.43
214-=-⨯=-=
D
2.设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=01
21A ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=20
03
B ，求X 解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为
[]⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=10
1
0121I A
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡→11
2
0121
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-→21211
01001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-212110
1
A
且 B A X 1
-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=20
032121
10⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=1 2
320 解法二： 因为 []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=20
1
0321
B A
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡→23
2
0321
1002301
12
-⎡⎤→⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦
所以 0
23
12
X -⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3.设矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=45100
1
413
101
B A
试计算A -1
B ． 解：因为 ⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=10
0100010
1413
101
][I A
⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→1011
013110
001101
→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥1
000010
104110
1
1
1
所以 ⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=-10
1
1141001
A
且 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-513445110
1
114
100
1
B A 4.设()()11,3
2
P A P B =
=。

(1)若A B =Φ，求()P B A ； (2)若B A ⊂，求()P B A ； (3)若()18
P A B =
，求()P B A 。

解：(1) P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=
2
1
∴ P (B A )=P (B )=
2
1
(2) ∵ P (A )=3
1，由A ⊂B 知：P (AB )=P (A )=
3
1
∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=
2
1–3
1=6
1
(3) P (AB )=8
1 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=2
1–8
1=8
3
5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。

现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。

解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表示第一、二次
选出的为一等品，依题意，有
P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3)
=
15
740243130123150
20
31=⋅+⋅+
⋅=0.467 P (21A A )=39
2340
243
129
1130
123
149
1950
203
1)|()(3
1
21⨯
⨯
+
⨯
⨯
+
⨯
⨯
=
∑=i i i B A A P B P =0.220。