高中数学-对数函数加指数函数知识点
指数对数函数基本知识点
指数对数函数基本知识点指数函数和对数函数是高中数学紧密相关的数学概念，对于理解和运用多种数学问题都是至关重要的。
下面将从定义、性质、图像和应用等几个方面进行详细介绍。
一、指数函数指数函数的定义是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且a≠1，x是实数。
指数函数的特点包括：1.a^0=1，a^1=a。
2.指数函数的定义域是整个实数集。
3.当a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
4.指数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在x轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在x轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
二、对数函数对数函数的定义是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，x是正实数。
对数函数的特点包括：1. log_a(1)=0，log_a(a)=12.对数函数的定义域是正实数集。
3.当a>1时，对数函数是严格递增的；当0<a<1时，对数函数是严格递减的。
4.对数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在y轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在y轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
三、指数函数和对数函数的性质1. 反函数性质：指数函数和对数函数互为反函数，即a^log_a(x)=x，log_a(a^x)=x。
2. 对数与指数的互化性质：log_a(x)=y等价于 a^y=x。
3.对于任意的正实数a，b和任意实数x，有如下几个基本性质：-a^x*a^y=a^(x+y)- (a^x)^y = a^(xy)- (ab)^x = a^x * b^x-a^(-x)=1/(a^x)-(a/b)^x=a^x/b^x- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)- log_a(x^y) = y * log_a(x)- log_a(1/x) = -log_a(x)- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)四、指数和对数函数的图像指数函数和对数函数的图像可以通过制作表格来得到，然后连接各个点形成曲线图。
高一数学指数函数对数函数知识点
高一数学指数函数对数函数知识点导语：在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。
它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。
本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、指数函数的基本概念与性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。
举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。
2. 指数函数的性质①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。
②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。
③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。
④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。
二、对数函数的基本概念与性质1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数。
以常数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。
2. 对数函数的性质①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。
②对数函数的值域为实数集。
③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。
④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。
三、指数函数与对数函数之间的关系注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。
1. 自然对数与指数函数的关系e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。
例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。
2. 对数函数的性质与指数函数的性质对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如：① loga(xy) = loga(x) + loga(y)② loga(x/y) = loga(x) - loga(y)③ loga(x^y) = y * loga(x)④ loga(b) = logc(b) / logc(a)3. 指数函数与对数函数的实际应用指数函数与对数函数在实际中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：①金融领域：在复利计算、投资分析等方面，指数函数与对数函数被广泛应用。
高一对数指数函数知识点
高一对数指数函数知识点在高中数学中，对数和指数函数是重要的数学概念。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将探讨高一阶段涉及的对数和指数函数的知识点。
一、指数函数指数函数是一种形如f(x) = a^x（a为常数）的函数。
其中，a称为底数。
1.指数函数的性质- 当a>1时，指数函数在整个定义域上是递增的；当0<a<1时，指数函数在整个定义域上是递减的。
- 指数函数在x轴上的图像必过点(0,1)。
2.指数函数的图像与性质- 当底数a<1时，指数函数的图像逐渐接近x轴，但永远不会触及。
- 当底数a=1时，指数函数的图像是一条水平线y=1。
- 当底数a>1时，指数函数的图像在x<0时位于y轴下方，经过点(0,1)，在x>0时逐渐远离x轴。
二、对数函数对数函数是指形如f(x) = loga(x)（a为正实数且a≠1）的函数。
1.对数函数与指数函数之间的关系对数函数与指数函数是互逆的。
即，如果y = f(x)是指数函数，那么x = f^(-1)(y) = loga(y)是对数函数。
2.对数函数的性质- 当0<a<1时，对数函数在整个定义域上是递减的；当a>1时，对数函数在整个定义域上是递增的。
- 对数函数在y轴上的图像必过点(1,0)。
3.对数函数的图像与性质- 当底数a>1时，对数函数的图像从负无穷趋近于y轴，经过点(1,0)，在x>1时逐渐远离y轴。
- 当底数0<a<1时，对数函数的图像在x>0时位于y轴上方，在x<1时逐渐向y轴靠近。
三、指数方程与对数方程指数方程和对数方程是数学问题中常见的类型。
在解决这些问题时，需要应用指数函数和对数函数的性质。
1.指数方程指数方程是指形如a^x = b（a、b为常数）的方程。
解这种方程时，可将两边同时取以底数为a的对数，然后运用对数函数的性质。
举个例子，解方程2^x = 8:取以底数为2的对数，得到x = log2(8) = 3。
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。
下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。
三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。
(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。
2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。
(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
指数对数函数基本知识点
指数对数函数基本知识点指数和对数函数是数学中常见的函数类型，应用广泛于科学、工程和金融等领域。
本文将介绍指数函数和对数函数的基本知识点，包括定义、性质和应用等方面。
一、指数函数（Exponential Function）指数函数是以常数e为底数的函数，它的定义如下：f(x)=a^x其中a是常数，称为底数；x是变量，称为指数；f(x)是函数的值。
1.常数e：e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…2.指数函数的性质：(1)当x为整数时，指数函数的取值和底数a的幂运算相同；(2)当x为分数时，指数函数的取值是底数a的分数次幂；(3)当x为0时，指数函数的值为1；(4)当x趋近于负无穷时，指数函数的值趋近于0；(5)当x趋近于正无穷时，指数函数的值趋近于正无穷。
3.应用：指数函数在自然科学和金融领域有广泛的应用。
在自然科学中，指数函数可以描述各种自然过程的增长或衰减。
在金融领域中，指数函数可以用来进行复利计算。
二、对数函数（Logarithmic Function）对数函数是指数函数的逆运算，它的定义如下：f(x) = log_a(x)其中a是底数；x是函数的值；f(x)是变量。
1.对数的定义：对数函数中的底数a必须大于0且不等于1，对数函数的定义可以有以下两种形式：(1) 若a>1，则f(x) = log_a(x) 表示x=a^f(x)；(2)若0a&0。
3.对数函数的性质：(1) f(x) = log_a(1) = 0；(2) f(x) = log_a(a) = 1；(3)若x1>x2，则f(x1)>f(x2)；(4) log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)；(5) log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)；(6) log_a(x^k) = k * log_a(x)；(7) 若x > 1，则log_a(x) > 0；若0 < x < 1，则log_a(x) < 0；(8)当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于无穷。
人教版高中数学知识点解析指数与对数函数的性质与运算法则
人教版高中数学知识点解析指数与对数函数的性质与运算法则指数与对数函数是高中数学中的重要概念，对于学生来说，掌握其性质与运算法则是非常关键的。
本文将对人教版高中数学教材中关于指数与对数函数的性质与运算法则进行解析。
希望通过本文的讲解，能够帮助学生更好地理解并掌握这部分内容，提高数学学习的效果。
一、指数函数的性质与运算法则指数函数是以一个固定的正常数作为底数，自变量为指数的函数。
在人教版高中数学教材中，指数函数的性质与运算法则如下：1. 指数函数的定义域与值域对于指数函数 y=a^x 而言，其定义域为全体实数，即 x∈R。
对于指数函数的值域与底数 a 相关，当 a>0 且a≠1 时，值域为 (0，+∞)；当0<a<1 时，值域为 (0，+∞)；当 a<0 时，值域为无解。
2. 指数函数的性质a) 当 a>1 时，指数函数 y=a^x 在 x 趋于正无穷和负无穷时，分别趋于正无穷和零。
b) 当 0<a<1 时，指数函数 y=a^x 在 x 趋于正无穷和负无穷时，分别趋于零和正无穷。
c) 无论 a 的值为何，指数函数 y=a^x 的图像必过点 (0，1)。
3. 指数函数的运算法则a) a^m * a^n = a^(m+n)b) (a^m)^n = a^(m*n)c) (a*b)^n = a^n * b^nd) a^-n = 1/(a^n)e) (a/b)^n = (a^n)/(b^n)二、对数函数的性质与运算法则对数函数是指数函数的逆运算，即 y=log(a, x)，其中底数 a 为正常数且a≠1，x 为正常数。
在人教版高中数学教材中，对数函数的性质与运算法则如下：1. 对数函数的定义域与值域对于对数函数 y=log(a, x) 而言，其定义域为 x>0 且x≠1；值域为全体实数。
2. 对数函数的性质a) log(a, 1) = 0b) log(a, a) = 1c) log(a^m, a^n) = (m/n)，其中 a>0 且a≠1，m、n 为任意实数。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中重要的内容，也是数学建模和应用数学中常常会用到的数学工具。
本文将对指数函数与对数函数的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
一、指数函数的概念与性质。
指数函数是以一个常数为底数的幂运算所得到的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
指数函数的图像特点是经过点(0,1)，并且随着x的增大（或减小），函数值呈指数增长（或指数衰减）的特点。
指数函数的性质包括：1. 当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
2. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0,+∞)。
3. 指数函数具有乘法性质，a^m a^n = a^(m+n)。
4. 指数函数的导数为其本身的常数倍。
二、对数函数的概念与性质。
对数函数是指数函数的逆运算，一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
对数函数的图像特点是经过点(1,0)，并且随着x的增大（或减小），函数值呈对数增长（或对数衰减）的特点。
对数函数的性质包括：1. 对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集R。
2. 对数函数的底数a需满足a>0且a≠1。
3. 对数函数具有加法性质，loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
4. 对数函数的导数为1/xlna。
三、指数方程与对数方程。
指数方程是指含有未知数的指数的方程，如a^x = b。
解指数方程的关键是利用对数的性质将其转化为对数方程进行求解。
对数方程是指含有未知数的对数的方程，如loga(x) = b。
解对数方程的关键是利用对数的定义和性质进行变形和化简，最终得到未知数的解。
四、指数函数与对数函数在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在人口增长模型、物质衰变模型、经济增长模型等方面都能够用到指数函数与对数函数的知识。
(完整版)指数函数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
3．实数指数幂的运算性质
（1） · ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
（2） =__________
4、设 ，求 的值__________。
5、若 ，则 等于。
6、已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是。
7、设函数 ，若 ，则
8、函数 且 恒过定点。
9、已知函数 在 上的最大值比最小值多 ，求实数 的值。
幂函数（第15份）
1、下列函数中，是幂函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3） =__________
（4） =__________
（5） =__________
（6） =__________
（7） =__________
（8） =__________
2、已知 ，试用 表示下列各对数。
（1） =__________（2） =__________
3、（1）求 的值__________；
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到0.01）为
（1） （2） （3）
5、函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点知识点大全(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点知识点大全单选题1、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y= f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2、若2x−2y<3−x−3−y，则（）A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0答案：A分析：将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据f(t)=2t−3−t的单调性知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，f(−6)=（）A．−2B．2C．−4D．4答案：A分析：因f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，从而可求t，再由奇函数的定义即可求出f(−6)的值. 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，又当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，∴f(0)=log2(0+2)+t=0，∴t=−1，∴当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，∴f(−6)=−f(6)=−[log2(6+2)−1]=−(log223−1)=−2，故选：A.4、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.5、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8答案：B分析：根据题意求出k 的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 即可求得t 的值.由题可知：50=20+(100−20)e −12k ⇒(e −k )12=38⇒e −k =(38)112， 冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e −kt ⇒(e −k )t =34⇒t ⋅ln e −k =ln 34⇒t =ln34ln (38)112=12(ln 3−2ln 2)ln 3−3ln 2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.6、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ）A ．a+3ba 3B ．a+2b 3a C ．a+2ba 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a . 故选：B7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（ ）A ．160B ．60C ．2003D ．320 答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112， ∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160，∴log z m =60．故选：B ．8、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ）A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13) 答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.多选题9、已知函数f(x)=log a (x +1),g(x)=log a (1−x)(a >0,a ≠1)，则（ ）A ．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B ．函数f(x)+g(x)的图象关于y 轴对称C ．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D ．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a (x +1)，g(x)=log a (1−x)(a >0,a ≠1)，∴f(x)+g(x)=log a (x +1)+log a (1−x)，由x +1>0且1−x >0得−1<x <1，故A 对；由f(−x)+g(−x)=log a (−x +1) +log a (1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵−1<x <1，∴f(x)+g(x)=log a (1−x 2)，∵y =1−x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a (1−0)=0；当a >1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C 错；∵f(x)−g(x)=log a (x +1)−log a (1−x)，当0<a <1时，f(x)=log a (x +1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a (1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a >1时，f(x)=log a (x +1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a (1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D 错；故选：AB ．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．10、若10a =4，10b =25，则（ ）A ．a +b =2B ．b −a =1C ．ab >8lg 22D ．b −a >lg6答案：ACD分析：利用指对数的运算性质及其关系求出a +b 、b −a 、ab ，结合对数函数的单调性判断各选项的正误. 由题设，10a+b =100，即a +b =2，A 正确；10b−a =254，即b −a =lg 254>lg 244=lg6，B 错误，D 正确；由a =2lg2,b =2lg5，则ab =4lg2lg5>4lg2lg4=8lg 22，C 正确；故选：ACD11、已知函数f (x )=lnx +ln (2−x )，则（ ）A ．f (x )在(0,1)上单调递增B ．f (x )在(1,2)上单调递增C．y=f(x)的图象关于直线x=1对称D．y=f(x)的值域为(−∞,0]答案：ACD分析：利用复合函数的单调性可判断AB选项的正误；利用函数对称性的定义可判断C选项的正误；利用对数函数的单调性可判断D选项的正误.对于函数f(x)=lnx+ln(2−x)，有{x>02−x>0，可得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)，且f(x)=ln[x(2−x)](x∈(0,2))，令t=x(2−x)=−(x−1)2+1∈(0,1]，则f(x)=lnt∈(−∞,0]，D对；函数t=x(2−x)在(0,1]上单调递增，在[1,2)上单调递减，而外层函数y=lnt为增函数，所以，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递增，A对，B错；因为f(2−x)=ln(2−x)+ln[2−(2−x)]=ln(2−x)+lnx=f(x)，即y=f(x)的图象关于直线x=1对称，C对.故选：ACD.填空题12、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论.由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.13、已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且y=f(x−1)的图象关于x=1对称，若实数a满足f(log12a)<f(−2)，则a的取值范围是___________．答案：(14,4)分析：由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.根据题意y=f(x−1)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于y轴对称，即函数f(x)为偶函数，由f(log12a)<f(−2)得f(log2a)<f(2)，又由函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则f(log2a)<f(2)⇒f(|log2a|)<f(2)⇒|log2a|<2，解可得：14<a<4.所以答案是：(14,4).14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-1解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=kx a(x>0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式分别为y=0.25x，y=√x(x>0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y=mx(m>0)，因为当x=1时，y=0.25，所以m=0.25，所以y=0.25x，即生产A芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式为y=0.25x，对于生产B芯片的，因为函数y=kx a(x>0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等科学中都有广泛的应用。
下面是关于指数函数和对数函数的知识点总结。
一、指数函数：1.含义：指数函数是以一个常数为底数的数的乘方的函数。
2.表达形式：指数函数可以表示为f(x)=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠13.特点：-当x为正时，指数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当x为负时，指数函数是递减的，在x轴左侧下降。
-当x=0时，指数函数的值恒为1，即f(0)=1-当底数a>1时，指数函数是增长趋势的，图像像“开口向上”的U 形。
-当0<a<1时，指数函数是衰减趋势的，图像像“开口向下”的倒U 形。
-当a=1时，指数函数退化为常函数，即f(x)=14.常见指数函数：-自然指数函数：f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.718-正常数指数函数：f(x)=a^x，a>0且a≠1-指数递减函数：f(x)=a^(-x)，a>0且a≠1- 指数增长函数：f(x) = e^(kx)，其中k为常数。
- 指数衰减函数：f(x) = e^(-kx)，其中k为常数。
二、对数函数：1.含义：对数函数是指数函数的逆运算。
2. 表达形式：对数函数可以表示为f(x) = log<sub>a</sub>(x)，其中a是底数，x是正实数，a>0且a≠13.特点：-对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
-对数函数的图像是递增的，在x轴右侧上升。
-当x=a^y时，有f(a^y)=y。
-当底数a>1时，对数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当0<a<1时，对数函数是递减的，在x轴右侧下降。
-当a=1时，对数函数是常函数，即f(x)=0。
4.常见对数函数：- 自然对数函数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数。
高中数学中的指数函数与对数函数
高中数学中的指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的概念。
指数函数是基于指数的函数关系，而对数函数则是指数函数的逆运算。
本文将从定义、性质和应用等方面综述高中数学中的指数函数与对数函数。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以自然常数e为底的幂函数，其一般形式为 f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。
指数函数的定义中，底数a决定了函数的增长速度。
当0＜a＜1时，指数函数呈现递减趋势；当a＞1时，指数函数呈现递增趋势。
指数函数的性质包括：1. 任何指数函数f(x) = a^x都有f(0) = 1的性质，即对数轴上的横坐标为0处的函数值为1。
2. 指数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线x = 0。
3. 当x1 < x2时，若指数函数f(x)的底数a ＞ 1，则f(x1)＜f(x2)；若指数函数f(x)的底数0 ＜ a ＜ 1，则f(x1)＞f(x2)。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设b是一个正实数且b ≠ 1，对数函数的一般形式为 f(x) = logb(x)，其中x是正实数。
对数函数的定义中，底数b决定了函数的特性。
当0 ＜ b ＜ 1时，对数函数具有递增趋势；当b ＞ 1时，对数函数具有递减趋势。
对数函数的性质包括：1. 任何对数函数f(x) = logb(x)都有f(1) = 0的性质，即对数轴上的横坐标为1处的函数值为0。
2. 对数函数的图像具有一定的对称性质，其对称轴为直线y = x。
3. 当x1 < x2时，若对数函数f(x)的底数b ＞ 1，则f(x1) ＞ f(x2)；若对数函数f(x)的底数0 ＜ b ＜ 1，则f(x1) ＜ f(x2)。
三、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 经济增长模型：许多经济增长模型是基于指数函数的增长模式，例如Solow模型和经济增长中的人口增长模型。
高中数学知识点总结指数函数与对数函数的性质
高中数学知识点总结指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中的重要知识点。
它们在数学和实际问题中广泛应用，并具有独特的性质。
本文将总结指数函数与对数函数的性质，帮助读者更好地理解和应用这两个函数。
一、指数函数的性质指数函数是以底数为常数的指数幂构成的函数。
常见的指数函数形式为f(x) = a^x，其中a为底数。
1. 底数为正数且不等于1时，指数函数的特点如下：a) 当0<a<1时，函数图像在x轴正半轴上递减，并在x轴负半轴上趋近于0。
b) 当a>1时，函数图像在整个定义域上递增，并在x轴负半轴上趋近于0。
c) 当a=1时，函数图像恒为1。
2. 底数a的性质分析：a) 当a>1时，指数函数随着自变量x的增大而增大。
b) 当0<a<1时，指数函数随着自变量x的增大而减小。
c) 当a=1时，指数函数为常数函数f(x) = 1，不随x变化。
二、对数函数的性质对数函数是指以某一常数为底数，对应的指数是自变量的函数。
常见的对数函数形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数的取值范围。
1. 底数为正数且不等于1时，对数函数的特点如下：a) 当0<a<1时，函数图像在定义域内递减。
b) 当a>1时，函数图像在定义域内递增。
2. 底数a的性质分析：a) 当a>1时，对数函数随着自变量x的增大而增大。
b) 当0<a<1时，对数函数随着自变量x的增大而减小。
c) 当a=1时，对数函数为常数函数f(x) = 0，不随x变化。
d) 底数a必须大于0且不等于1，否则对数函数无定义。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
对于同一个底数a和同一个特定正实数x，指数函数和对数函数的关系如下：a) 指数函数f(x) = a^x与对数函数g(x) = loga(x)互为反函数，即f(g(x)) = x，g(f(x)) = x。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数1.定义：指数函数是以正数为底数、自变量为指数的函数。
一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠12.特点：(1)当a>1时，指数函数呈递增趋势；(2)当0<a<1时，指数函数呈递减趋势；(3)a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升，称为“增长指数函数”；(4)0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降，称为“衰减指数函数”；(5)当x=0时，指数函数的值恒为1；(6)指数函数与直线y=0平行（若a>1）或经过点(0,1)（若0<a<1）。
3.基本性质：(1)a^m*a^n=a^(m+n)；(2) (a^m)^n = a^(mn)；(3) (ab)^m = a^m * b^m；(4)(a/b)^m=a^m/b^m。
二、对数函数1. 定义：对数函数是指以正数a(a>0且a≠1)为底数的对数。
一般形式为y=loga(x)，其中x>0。
2.特点：(1)对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集；(2) 指数函数y=a^x和对数函数y=loga(x)是互逆运算，即y=loga(a^x) = x，x=loga(a^x) = y；(3)当x>1时，对数函数的值大于0；(4)当0<x<1时，对数函数的值小于0；(5)a>1时，对数函数呈递增趋势；(6)0<a<1时，对数函数呈递减趋势；(7)当x=1时，对数函数的值恒为0；(8)对数函数的图像与直线y=x交于点(1,1)。
三、常用公式与性质1.e与自然对数：(1) e的定义：e=lim(1+1/n)^n，其中n为正整数；(2) 自然对数：ln(x)表示以e为底数的对数函数；(3) 自然对数的性质：ln(e^x)=x，e^(lnx)=x；2.指数方程与对数方程：(1)指数方程：a^x=b，其中a>0且a≠1；(2) 对数方程：loga(x)=b，其中a>0且a≠1；(3)指数方程求解的一般步骤：将方程两边取对数，利用对数的性质求解；(4)对数方程求解的一般步骤：将方程两边以a为底取指数，利用指数函数的性质求解。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数的定义和性质1.定义：指数函数是以一些正数a为底数的函数，形式为f(x)=a^x，其中a>0且a≠1、指数函数的定义域为实数集R，值域为正数集(0,+∞)。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
(2)指数函数的图像在直线y=0上方，且与y轴渐近。
(3) 指数函数的反函数是对数函数，即 f(x) = a^x 的反函数是 g(x) = logₐ(x)。
(4)指数函数的图像在(0,+∞)上是光滑的连续曲线。
3.常见的指数函数：(2)以10为底的指数函数：记作f(x)=10^x。
在计算科学领域中经常使用。
(3)以2为底的指数函数：记作f(x)=2^x。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
二、对数函数的定义和性质1. 定义：对数函数是指数函数的反函数，形式为 f(x) = logₐ(x)，其中 a>0 且a ≠ 1、对数函数的定义域为正数集(0,+∞)，值域为实数集 R。
2.对数函数的性质：(1)对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
(2)当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
(3)对数函数的图像在x轴正半轴上方，且与x轴渐近。
(4) 对数函数的反函数是指数函数，即 f(x) = logₐ(x) 的反函数是g(x) = a^x。
(5) 对数函数的特殊性质：logₐ(1) = 0，logₐ(a) = 1，logₐ(a^x) = x。
3.常见的对数函数：(2) 以 10 为底的对数函数：记作 f(x) = log₁₀(x)。
在计算科学领域中经常使用。
(3) 以 2 为底的对数函数：记作 f(x) = log₂(x)。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
三、指数函数和对数函数的应用1.指数函数的应用：(1)复利计算：复利计算公式中的指数函数可以用来计算存款利息、投资收益等。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数（一）指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。
（二）指数函数的图象与性质1、当\（a ＞ 1\）时，指数函数的图象是上升的，函数在\（R\）上单调递增。
图象过定点\（（0, 1)＼），即当\（x ＝ 0\）时，＼（y ＝ 1\）。
当\（x ＞ 0\）时，＼（y ＞ 1\）；当\（x ＜ 0\）时，＼（0 ＜ y ＜1\）。
2、当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数的图象是下降的，函数在\（R\）上单调递减。
图象过定点\（（0, 1)＼）。
当\（x ＞ 0\）时，＼（0 ＜ y ＜ 1\）；当\（x ＜ 0\）时，＼（y ＞1\）。
（三）指数运算的基本法则1、＼（a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）2、＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ＼neq 0\））3、＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）4、＼（a^0 ＝ 1\）（＼（a ＼neq 0\））5、＼（a^｛n} ＝＼frac{1}｛a^n}＼）（＼（a ＼neq 0\））（四）指数函数的应用1、指数函数在经济领域中的应用，比如计算利息、复利等。
2、在生物学中，指数函数可以用来描述细胞的分裂、细菌的繁殖等增长过程。
3、在物理学中，指数衰减的现象可以用指数函数来描述，比如放射性物质的衰变。
二、对数函数（一）对数函数的定义一般地，如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝＼log_aN\），其中\（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。
函数\（y ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\））叫做对数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（（0, ＋＼infty)＼）。
高中数学指数函数与对数函数总结
指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]：1. 指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝a log x 的比较：的比较：定义定义 图象图象 定义域 值域值域 性质性质奇偶性 单调性 过定点值的分布值的分布最值最值y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数a>1 （－∞，＋∞）∞）（0，＋∞） 非奇 非偶 增函数（0，1）即a 0＝1 x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝a log （a>0且a ≠1） 叫对数函数a>1Oy x（0，＋∞） （－∞，＋∞）∞） 非奇非偶 增函数 （1，0） 即log a 1＝0 x>1时y>0；0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0；0<x<1时 y>0 对称性函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称对称 函数y ＝log a x 与y ＝1log a x （a>0且a ≠1）关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时，可以首在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。
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课题:指数函数对数函数指数与指数函数自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(1)________值域(2)________性质(3)过定点________(4)当x>0时，______；当x<0时，______(5)当x>0时，________；当x<0时，______ (6)在(－∞，＋∞) 上是______(7)在(－∞，＋∞) 上是______自我检测1．下列结论正确的个数是()①当a <0时，232)(a ＝a 3；②na n ＝|a |；③函数y ＝21)2(-x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有 ( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠13．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c4．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于 ( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．25．(2011·六安模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ， 求：(1)a －1＋b －1(ab )－1；3327-a a ÷3a －8·3a 15.探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 (2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 (2011·龙岩月考)已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域 ； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想的应用例 (12分)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一． 【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x －a －x 有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑a a 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝x2的值域是 ( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．[2，＋∞)2．函数y ＝xax |x |(0<a <1)的图象的大致形状是 ( )3．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝x的图象是( )5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，12)题号1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________． 三、解答题(共38分)9．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．对数与对数函数自主梳理1．对数的定义如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)①N a a log ＝____； ②1log a ＝____；③N a a log ＝____； ④a a log ＝____.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝ab log 1，推广d c b c b a log log log ∙∙＝________.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝___________________________；②log a MN＝______________________；③log a M n＝__________(n ∈R )；④na M m log ＝n mlog a M .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：______ (2)值域：______(3)过点______，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______ 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的______函数 (7)是(0，＋∞)上的______函数自我检测 1．2log 510＋log 50.25的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．1003．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为( ) A.124 B.112 C.18 D.384．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足)(log 81x f >0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)5．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log 32--；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求yx )223(log -.探究点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小．①log 323与log 565；②log 1.10.7与log 1.20.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则 ( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝a 21log ，(12)b ＝b 21log ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <a0C ．c <a <bD ．b <a <c探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)分类讨论思想的应用 例 (12分)已知函数f (x )＝log a (1－a x)(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小， 其中a >0且a ≠1.①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b . 3．常见对数方程式或对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩⎪⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0)∪(0,1)2．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则 ( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)4．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)5．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )A.12B.14C ．2D ．4 题号1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.7．已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2x在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。