矩阵的初等变换与线性方程

习
矩阵的秩．
题
（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所
课
给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行
（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的
阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第 二种方法则较为简单实用．
线性代数
x4
1,
5 x1 5 x2 2 x3
2.
解 对方程组的增广矩阵 B进行初等行变换，使其成为行最简单形．
习 题 课
1 3 B 2 2 5
2 2 3 2 5
3 1 1 2 2
1 1 1 1 0
~ 1
1 1
1
3
r r 13
r 2r 3
5
2
r
r
4
3
4
2
0
5 5 3 5 0
4 2 1 3 0
增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，便可判断其 是否有解．若有解，
件 R(A) R(B) n
Ax b 有无穷多解.
化成行最简形矩阵，
便可写出其通解；
线性代数
四川农业大学
矩
习
阵 初
题
等
课
变 换
应
用
用初等变换求矩阵的秩 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数) 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零 行的行数就是矩阵的秩.
习
2.初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
题 课
3. A 初等变换
B A ~ B.
4.行阶梯形矩阵(行最简形矩阵)
5. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形 F Er O O O mn
线性代数
四川农业大学
矩阵秩的概念
不等于零的子式的最高阶数
矩阵秩的求法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);
用矩阵初等行变换求解线性方程组
线性代数
典型例题
一、求矩阵的秩
习
二、求解线性方程组
题
课
三、求逆矩阵的初等变换法
四、解矩阵方程的初等变换法
四川农业大学
线性代数
四川农业大学
一、求矩阵的秩
求矩阵的秩有下列基本方法
（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不
等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是
注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初 等行变换把矩阵化成阶梯形．
用初等变换求矩阵的逆矩阵
A E 初等行变换
E A1
A 初等列变换 E
E
A1
注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列 变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能 作任何行变换．
习
题
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一 般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．
课
线性代数
四川农业大学
x1 2 x2 3 x3 x4 1,
例２
求非齐次线性方程组的通解．
3 x1 2 x1
2 x2 3 x2
x3 x3
x4 x4
1, 1,
(1)
2
Leabharlann Baidux1
2
x2
2
x3
2 1 0 0
~ 0
r2r1
1 0 0
r
3
2
r
1
3
r
2
0 0 0 0
1 0 0
1 6 0
2 5 0
~ 0
1
r
2
(
1)
r3
6
0 0
0
r 6 3
0
1 0 0
0 1 0
76 5 6
0
1 6 1 6
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
线性代数
四川农业大学
解 对方程组的增广矩阵 B进行初等行变换，使其成为行最简单形．
线性代数
四川农业大学
第 三 章
矩阵的初等变换 与线性方程组
线性代数
习 题 课
四川农业大学
线性代数
四川农业大学
矩阵的初等变换
矩阵的初等行变换
（1）交换行次序； （2）以不等于０的数乘某个行； （3）一个行加上另一个行的k倍．
同理可定义矩阵的初
等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
说明: 1.由单位矩阵 E 经一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。
(2)初等变换法
习
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶
题
梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
课
A ~ B R(A) R(B)
线性代数
四川农业大学
线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L LLLLLLL
a2n xn b2 LLLLL
0 0 1 0 0
~ 2
2
1
2
0
r
r
1
2
r
r
4
2
r
r
5
2
2 5 2 1 0
0 5 3 0 0
2 2 1 1 0
0 0 1 0 0
0
2
1
0
0
1 0 1 0 0
1
0
1
0
0
r (1) 3
r1
6
1
0
0
5 6
1 6
~r12
r 2
2r3
1
2
r 4r1
0
0
1 3 0 0
0 1 0 0
0 2 3 7
0 4 6 14
1 10
15
35
1 2 0 0 1
~
0 0
3 0
1 0
2 0
5 0
B,
0 0 0 0 0
因此, R( A) R(B) 2.
注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用 初等行变换把矩阵化成阶梯形．
线性代数
二、求解线性方程组
四川农业大学
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方 程的解．
四川农业大学
例１ 求下列矩阵的秩 1 2 0 0 1
A
0 1
6 11
2 3
4 6
10 16
.
1 19 7 14 34
解 对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵
习 题 课
1
A
0 1
1
2 6 11 19
0 2 3 7
0 4 6 14
1 10 16 34
~
1 0 0
0
2 6 9 21
1 3 B 2 2 5
2 2 3 2 5
3 1 1 2 2
1 1
3
1 1 1 0
1 1
1 2
~r r 13
r2r3
5 2
r r 43
r5r2
4 0
5 5 3 5 0
4 2 1 3 0
0 0 1 0 0
2
2 0 2 0 0
2 1
2
~r
1
r
2
5 2
r
4
r
2
1
5 3 0
2 1 1
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
习
齐次线性方程组 Ax 0
系数矩阵化成行最
题 课
有 解 的
RA n
Ax 0只有零解;
RA n
Ax 0有非零解.
解法
简形矩阵，便可写 出其通解；
判 非齐次线性方程组 Ax b
定
条 R(A) R(B) n
Ax b有唯一解;
0 1 0
2 1
0
0
0 0 0 0 0
1
~ 习r
r 2 1 r 2 2
3
题 r4r1
课
1 2 0 0
0 1 3 0 0
1 0 1 0 0
0 2 1 0 0