7_4多元复合函数的微分法

第四节、多元复合函数的微分法
类似地再推广， 设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y )、
w = w( x , y ) 都在点( x , y )具有对 x 和 y 的偏导数， 复合
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在， 且可用下列公式计算
∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂w , = + + ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂w ∂x ∂ z ∂ z ∂u ∂z ∂ v ∂ z ∂w . = + + ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y ∂ w ∂y
z
u v w
x
y
第四节、多元复合函数的微分法
2 2 ，而 u = x + y, v = x − y , z = u + v 例3 设
∂z ∂z du + dv. 这一性质称为 的函数， 都有 dz = ∂u ∂v
多元函数全微分形式不变性。
全微分形式不变性的实质： 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v
第四节、多元复合函数的微分法
例8
3 x+ y , 设 z= x− y
求全微分 dz.
1 ln z = [ ln( x + y ) − ln( x − y ) ] , 解 3 两边求全微分，利用全微分形式的不变性，可得 dz 1 ⎛ dx + dy dx − dy ⎞ , = ⎜ − ⎟ z 3⎝ x + y x− y ⎠
3 −t
s
t
= 2 x sin y ⋅ r sin t + ( x 2 cos y + 2 ye 2 z ) ⋅ 2 sr 2 cos t 2 2z 3 −t +2 y e ⋅ r e x = 0, y = 1, z = 1, 因 ( r , s, t ) = (1,1,0) 时，
∂u ∴ = 2 e 2 ⋅ 2 + 2 e 2 ⋅ 1 ⋅ e 0 = 6e 2 . ∂s (11,0)
第四节、多元复合函数的微分法
特殊地 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区别类似
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + , ∂ x ∂u ∂x ∂ x
(
v
)
cos t − 6t 2 + 3t 2 sin 2t 3 . dz 注：这里最终将 表示为 t 的函数。 dt
sin t − 2 t 3
(
)
第四节、多元复合函数的微分法
2 t 2 例2 设 z = u sin v + ln w , u = e , v = t , w = cos t ,
dz . 求 dt
∂ z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂ y ∂u ∂ y ∂y
两者的区别
把 复 合 函 数 z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
第四节、多元复合函数的微分法
解
z
u v w
t
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw Biblioteka Baidu + + dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
t
2
1 = 2u sin v ⋅ e + u cos v ⋅ 2t + ⋅ ( − sin t ) w = 2e 2 t sin t 2 + 2te 2 t cos t 2 − tan t .
y
∂u ∂f ∂f ∂z 4 4 2 2 x4 + y4 + z 2 2 3 x + y + z = + ⋅ y sec x = 4x e + 2 ze ∂x ∂x ∂z ∂x 3 4 2 x + y sec x
= 2(2 x + y tan x ⋅ sec x )e
4 4 2
∂u ∂f ∂f ∂z 4 4 2 3 x + y + z x4 + y4 + z 2 = + = 4y e + 2 ze ⋅ 2 y tan x ∂y ∂y ∂z ∂y
第四节、多元复合函数的微分法
x 2 2 z = f ( e sin y , x + y ), f 具有二阶 例5 设 ∂z ∂z , . 连续偏导数，求 u ∂x ∂y
x
解
z
令 u = e sin y, v = x + y ; 则 z = f ( u, v ),
x
2 2
v
y
∂f ∂f ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v x = e sin y + 2 x ; ⋅ + ⋅ = ∂u ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f x ⋅ + ⋅ = = e cos y + 2 y ; ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂v
∂u ∂u 例6 设 u = e ，而 z = y tan x , 求 , . ∂x ∂y 解 这里的变量 x , y x x f
x 4 + y4 + z 2
2
既是复合函数的自变量， u 又是中间变量。为了避 y 免出现记号的混淆， 先 4 4 2 z x + y +z ,则 引入记号 u = f ( x , y, z ) = e
第四节、多元复合函数的微分法
一、链式法则 二、全微分形式不变性 三、小结、思考题 四、作业
一、链式法则
定理 如果函数 u = ϕ ( t ) 及 v = ψ ( t ) 都在点 t 可 导，函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数，则复合函数 z = f (ϕ ( t ),ψ ( t ) ) 在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
(
)
第四节、多元复合函数的微分法
二、全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv; 当 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) ∂v ∂u ∂z ∂z 时， dx + dy . 由于 有 dz = ∂y ∂x ∂z ∂z dz = dx + dy ∂y ∂x ⎛ ∂z ∂u ∂z ∂v ⎞ ⎛ ∂z ∂u ∂z ∂v ⎞ =⎜ + ⎟ dx + ⎜ ∂u ∂y + ∂v ∂y ⎟ dy ⎝ ∂u ∂x ∂v ∂x ⎠ ⎝ ⎠
例1 设z = e 解
u− 2 v
dz . + sin v , u = sin t , v = t , 求 dt
2 3
dz ∂z du ∂z dv = + ∂u dt ∂v dt dt
z
u
t
=e
=e
u−2v
u− 2 v 2 e ( − 2) + 2sin v cos v ⋅ 3 t ⋅ cos t +
∂z ∂z 求 . 和 ∂x ∂y
解
u
v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x = 2 u ⋅ 1 + 2v ⋅ 1 = 2( x + y) + 2( x − y) = 4 x,
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y = 2 u ⋅ 1 + 2v ⋅ ( −1) = 2( x + y) − 2( x − y) = 4 y.
第四节、多元复合函数的微分法
如果u = ϕ ( x , y) 及 v = ψ ( x , y) 都在点 ( x , y) 具有对 x 和 y 的偏导数， 且函数 z = f ( u, v )在对应
则复合函数 点( u, v )具有连续偏导数，
z = f (ϕ ( x, y),ψ ( x, y) ) 在对应点 ( x , y)的两个偏
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw 如 = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
dz 以上公式中的导数 dt 称为全导数. 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
u v w
t
第四节、多元复合函数的微分法
z
x
y
第四节、多元复合函数的微分法
2 2 2z 2 2 例4 设u = x sin y + y e , x = rs sin t , y = r s cos t ,
∂u z = r se , 求 在 ( r , s, t ) = (1,1,0) 的值。 ∂s x 解 y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z u = + + z ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s
x
y
2 f ( u , v ) ∂ f ( u , v ) ∂ ∂ f ( u , v ) ′ ′ ′′ , f2 = , f12 = f1 = , 于是 ∂v ∂u ∂u∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + = f1′ ⋅ 2 + f2′ ⋅ 2 xy 2 , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
则 z = f ( u, v ), 为了表达简单，引入以下记号：
第四节、多元复合函数的微分法
设函数z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
⎛ ∂z ∂u ∂z ∂v ⎞ ⎛ ∂z ∂u ∂z ∂v ⎞ + + dz = ⎜ dy ⎟ dx + ⎜ ⎟ ⎝ ∂u ∂x ∂v ∂x ⎠ ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y ⎠
∂v ⎞ ∂z ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂z ⎛ ∂v dz = ⎜ dx + dy ⎟ + ⎜ dx + dy ⎟ ∂y ⎠ ∂u ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂v ⎝ ∂x ∂z ∂z = du + dv. ∂u ∂v
第四节、多元复合函数的微分法
2 22 ∂z ∂ ∂2z ′ ⋅+ u= =2 x y, f v2′= xxy y 2 f 2 2 + ⋅ ′ ′ 1 = f1 ⋅ 2 + f2 ⋅ 2 xy ∂x ∂x∂y ∂y u x ′ f1 ′ f ∂ ∂f1′ 2 =2 + 4 xyf2′ + 2 xy 2 y v ′ ∂y ∂y f2 ∂f1′ ∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v = + = f11′′ ⋅ 1 + f12′′ ⋅ 2 x 2 y, ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂f2′ ∂f2′ ∂u ∂f2′ ∂v 2 ′′ ′′ f 1 f 2 x y, ⋅ + ⋅ = + = 21 22 ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 2 ∂ z = 2 f11′′ + 4 x 2 yf12′′ +4 xyf 2′ +2 xy 2 f 21′′ + 4 x 3 y 3 f 22′′ ∂x∂y = 2 f11′′ + 2 xy(2 x + y) f12′′ + 4 x 3 y3 f22′′ + 4 xyf2′.
,
= 4y e
3
x 4 + y 4 sec2 x
sec 2 x .
第四节、多元复合函数的微分法
例7 设 z = f (2 x + y, x y ), f 是 C (2) 类函数，
2 2
∂z ∂ 2 z . 求 , z ∂x ∂x∂y 2 2 u = 2 x + y , v = x y , 解 令
u v
导数存在， 且可用下列公式计算
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + , . = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则
第四节、多元复合函数的微分法
上述链式法则如图示
u
z
x
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
， 当 Δt → 0 时， Δ u → 0, Δv → 0 dv Δ u du Δv → , → , dt dt Δt Δt dz Δ z ∂z du ∂z dv = ⋅ + ⋅ . = lim dt Δt →0 Δ t ∂u dt ∂v dt
第四节、多元复合函数的微分法
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
dz ∂z du ∂z dv . = + dt ∂u dt ∂v dt 证 设 t 获得增量 Δ t , Δ u = ϕ ( t + Δ t ) − ϕ ( t ), Δv = ψ ( t + Δ t ) − ψ ( t );
第四节、多元复合函数的微分法
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数 ∂z ∂z Δ z = Δ u + Δ v + ε 1Δ u + ε 2 Δ v , ∂u ∂v 当 Δ u → 0, Δv → 0 时， ε 1 → 0 ，ε 2 → 0 Δ z ∂z Δ u ∂z Δ v Δu Δv , = ⋅ + ⋅ + ε1 + ε2 Δ t ∂u Δ t ∂v Δ t Δt Δt