误差定义

2
(x x)
x2 1 ( x)2 N
1
lxy
(x x)( y y)
xy ( x)( N
y)
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曲线拟合 一元非线性回归方程
步骤:
(1) 确定函数的类型
（如双曲线、指数曲线、对数曲线等…）
(2) 求解相关函数中的未知参数
• 曲线问题
直线问题（变量代换）
• 回归曲线
回归多项式
精确度： ( 正确度) 性质： 系统误差和随机误差综合影响程度 表述： 不确定度 ( uncertainty ) 工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数 A max 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级
xmax xmin
7
数据处理
§ 2.2.1 算术平均值法
xi x 3 说明：
(1) 测量误差为随机变量，且符合正态分布 (2) 真值必然处于一个有限的范围
xi x 2 概率 95.4% xi x 3 概率 99.73%，即±3σ以外的概率为0.27%
(3) 此法只适合于测量数据大于10个的情况
11
数据处理
§ 2.2.3 最小二乘法
• 直线拟合 • 曲线拟合 • 多项式回归 • •••••••
最小二乘法基础
8
数据处理
标准误差
用偶然误差表示: [ 2]
n
用剩余误差表示: [v2] Bessel公式
n 1
9
数据处理
算术平均值的 标准误差：
x
算分 术组 平重 均复 值多 作次 为测 处量 理， 数以 据每
组
10
数据处理
§ 2.2.2 异常数据剔除
原理： 当测量结果超出正常范围时，给与剔除 准则： 测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3倍
系统误差
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
偶然误差
y
n i 1
y xi
2
2 xi
注：x1, x2 ,..., xn 各量间相互独立
17
(3) 粗大误差( abnormal error ) ： 性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除
5
基本理论
§ 2.1.4 测量精度
精度： 测量结果与真值吻合程度 定性概念
测
量
精
不精密（随机误差大）
准确（系统误差小）
度
举
例
不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大）
基本理论
§ 2.1.2 测量误差的来源
(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关 方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误
(2) 装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声
精密（随机误差小）
不准确（系统误差大）
精密（随机误差小） 准确（系统误差小） 6
基本理论
精密度： ( precision ) 概念： 重复测量时，测量结果的分散性 表述： 随机误差的标准差 ( standard deviation )
准确度： 性质： 测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 表述： 平均值与真值的偏差 ( deviation )
第二章 误差理论与数据处理
▪ § 2.1 测量误差的基本理论
误差定义、来源、分类、测量精度
▪ § 2.2 数据处理的一般方法
算术平均法、最小二乘法、一元线性回归….
1
基本理论
§ 2.1.1 测量误差的定义
定义： 测量结果与其真值的差异
定性概念，定量表示
x x x0
真值： 被测量的客观真实值
Δx – 测量误差 x – 测量结果 x0 – 真值
(3) 环境误差：测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，
(4) 使用误差： 读数误差、违规操作、
3
基本理论
§ 2.1.3 测量误差的性质与分类
(1) 随机误差( random error )
性质：
正态分布
对称性 单峰性 有界性 抵偿性
原因：装置误差、环境误差、使用误差 处理：统计分析、计算处理→ 减小
一元线性回归方程 一元非线性回归方程 多元线性回归
12
数据处理 一元线性回归方程
拟合直线形式： yˆ b0 bxt
实际测量值 yt 与回归值 yˆt之差: yt yˆt yt b0 bxt
yt与 yˆt 偏差平方和：
N
N
Q(b0 ,b) ( yt yˆt )2 ( yt b0 bxt )2
绝对值相等的正负误差出现的次数相等
然当 误测 差量 算次 术数 平足 均够 值多 趋时 于， 0偶
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多 偶然误差绝对值不会超过一定程度
4
基本理论
§ 2.1.3 测量误差的性质与分类
(2) 系统误差( system error ) ： 性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证→ 修正
理论真值：理论上存在、计算推导出来 如：三角形内角和180° 约定真值：国际上公认的最高基准值
如：基准米 1m=1 650 763.73 λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值
标准仪器的测量标准差< 1/3 测量系统标准差 → 检定
2
举例: 指数曲线 y aebx
15
数据处理
§ 2.2.4 函数误差计算
(1) 基本公式
函数误差
y f (x1, x2 ,..., xn )
f
f
f
dy x1 dx1 x2 dx2 ... xn dxn
其中： dxi
f xi
各直接测量值的误差 各个误差的传递函数
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数据处理
(2)计算
t 1
t 1
因 Q(b0,b) min 正规方程
Q
b0
N
2
t 1
( yt
b0
bxt ) 0
Q
2
b
N
( yt b0 bxt )xt 0
t 1
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数据处理 一元线性回归方程
解正规方程得：
b
lxy
lxx
b0 y bx
其中：
x 1 x N
y 1 y N
lxx
原理： 多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值 为测量结果
表述：
wenku.baidu.com
x
x1
x2
n
xn
1 n
n i1
xi
xi x 剩余误差 vi
x1, x2, … xn --- 测量数据
偶然误差 i xi 真值
性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即 v 0 算术平均值法可以滤除或减小偶然误差 （2）剩余误差的平方和为最小 v2 min