微专题十六 圆系方程及其应用
高中数学课件-圆方程
由
x x
2 2
y30 y2 x 6
y
m
0
5x2
10x
4m
27
0
100 20(4m 27) 0 m 8
x1
x2
2, x1x2
x1)(3 4
x2 )
m
12 5
以PQ为直径的圆：(x x1)(x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0
(x2 y2 D2x E2 y F2 ) 0 ( 为参数， 1) 表示与圆 C1和圆C2都相切于点P的圆系方程(包括圆C1( 0 时)，
但不包括圆C2)
当 1时，方程变为 (D1 D2)x (E1 E2)y (F1 F2) 0表示
与圆C1与圆C2都切于点P的切线方程(公切线) (3)若圆C1与圆C2相离，则方程(D1 D2)x (E1 E2)y (F1 F2) 0 表示两圆连心线垂直的直线方程
例题选讲
例1.已知圆 x2 y2 x 6 y m 0与直线 x 2y 3 0
交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点，求m的值
解法1：设点P(x1,y1),Q(x2,y2)
由
x x
2 2
y y
30 2 x6
y
m
0
5x2
10x
4m
27
0
向 量
100 20(4m 27) 0 m 8
(2)圆心
(
1,
4
2
)
在直线上
1
4
1
0
2
此时圆的方程为 x2 y2 6x 2y 9 0
常见的圆系方程
3.与已知圆切于圆上一点的圆系方程：已知点P(a,b)为 圆C : x2 y2 Dx Ey F 0上一点，则与圆C切于点P的
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆系方程-高中数学知识点讲解
圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
1/ 1。
圆方程及其应用
圆的方程及应用教学目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径．3．理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的．4．努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法．重点难点1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题．2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．3．难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题．虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视．教学过程圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题．由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题．1．圆的方程的各种情况及其应用；2．圆的切线方程；3．有关圆的轨迹问题；4．直线与圆结合的应用问题．例题部分例1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程．分析由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立评述这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法．前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，例2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程．分析因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题．解因为所求圆与x轴相切．所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02．因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以消去y0，得(x0-4)2+a2=a(x02+1)即(1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0．③(2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0．得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，评述本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决．例3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程．分析先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程．解如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，因为OA⊥BE，所以KOA·KBE=-1，即例4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程．解因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部．4=k(x-2)．①把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，其判别式Δ=56k-192．的一条切线的方程．因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0．评述在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化．由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程．例5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的方程．解如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2．因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组解得a=3，b=1．因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以(4-3)2+(-1-1)2=R2=5．所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5．评述确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径．本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|．由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解．例6 已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)．(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．解(1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方评述讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．例7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹．解法一如图4所示，以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2．(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)．(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．)因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点．评述本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视．解法二因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)．例8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程．分析如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程．如图所示，OP⊥AB，由kOP·kAB=-1，即可得出PO，AB交点M的轨迹方程．解在直线x=-2上任取一点P(-2，y′)，过P引圆的两条切线PA，PB，A，B为两切点．设A，B点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，ABy2y=1．因为P点在两条切线上，所以-2x1+y′y1=1，-2x2+y′y2=1．根据上式知点A，B的坐标满足方程-2x+y′y=1．即切点弦AB所在直线的方程为2x-y′y+1=0，点M在直线AB上，所以因为PM⊥AB，所以kPM·kAB=-1，因此即方程2x2+2y2+x=0[除去(0，0)]是两直线交点M的轨迹方程．评述切点弦AB所在直线的方程是由认真分析动点P所满足的两个方程得到的，不同于一般直接求直线方程的方法，这种方法值得重视．例9 一动圆过定点(c，0)且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a＞0，c＞0)相切，求动圆圆心的轨迹方程．解设F2(c，0)，F1(-c，0)，即F2是已知定点，F1是已知定圆的圆心，动圆圆心P(x，y)，由于F2与定圆F1有三种位置关系，所以分三种情况讨论．(1)F2在定圆F1的内部，即c＜a时动圆P只能与定圆F1内切，所(2)F2在定圆F1上，即c=a时动圆P与定圆相切于定点F2，轨迹方程为直线y=0除点F2，F1．(3)F2在定圆F1外，即c＞a时，若动圆P与定圆F1外切，则有|PF1|-|PF2|=2a；若动圆P与定圆F1内切，则有|PF2|-|PF1|=2a，所以应有评述本题关键是要搞清楚F2与定圆F1的三种位置关系，应用数形结合的思想建立其轨迹方程．例10 若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最小值．分析如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为(x-1)2+(y+2)2=5，可知方程式x-2y的值，就可看作是直线x-2y=t与x轴交点P(t，0)的横坐标．由于直线x-2y=t的斜率是定值，显然当直线x-2y=t与已知圆相切时，t有最大值或最小值，基于上述分析，采用以下解法一．解法一将已知方程整理为(x-1)2+(y+2)2=5，即知它表示圆心为O所以x-2y的最大值为10，最小值为0．解法二因为x2+y2-2x+4y=0，所以(x-1)2+(y+2)2=5．当sin( -α)=1时，x-2y的最大值为10；当sin( -α)=-1时，x-2y的最小值为0．评述本题的解法二是利用了圆的参数方程，将式子x-2y转化为角α的函数，然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2y的最大值和最小值．的截距．从数形结合的思想来研究，如图6所示，动点(x，y)既在圆上又在直线系上，因此这些平行线在y轴上截距的最大值与最小值恰好是这族平行线中与圆相切的切线的截距．利用圆心到切线距离等于半径，来确定b的值．所以x-2y的最大值为10，最小值为0．最小值．解问题即求圆(x-3)2+(y-3)2=6上的点与原点O连线的斜率的最大值和最小值，根据数形结合的思想，容易得到过原点的圆的两条切线的斜率即为所求．设切线为y=kx代入圆的方程中有(1+k2)x2-6(1+k)x+12=0．因为直线例12 已知圆M的方程(x-3)2+(y-4)2=4和两点A(-1，0)，B(1，0)．在圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．解如图7所示，根据三角形的中线公式有|AP|2+|BP|2=2|OP|2+2|OB|2=2|OP|2+2，所以当|OP|2取得最小值时，|AP|2+|BP|2也取得最小值．根据平面几何知识知，线段OM与圆的交点P评述本题解决的思路主要是根据平面几何中有关知识，代数计算问题比较简单．因此在解决有关圆的问题时，应重视平面几何中的有关性质和定理，要充分利用．能力训练1．A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的[ ] A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又非必要条件2．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是[ ] 3．两圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0，C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有[ ] A．2条 B．3条C．4条 D．以上都不是条直线的方程是[ ] C．x=-3D．x=-3或3x+4y+15=06．圆C1：x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为[ ] A．x2+y2+2x+6y+9=0 B．x2+y2-6x-2y+9=0C．x2+y2-8x+15=0 D．x2+y2-8x-15=08．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点，则a，b，c应满足的关系是[ ] A．a2+b2≤c2 B．a2+b2＜c2C．a2+b2≥c2 D．a2+b2＞c29．圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于[ ] C．1 D．510．和x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为[ ] A．x2=2y+1 B．x2=1-2yC．x2=2|y|+1 D．x2=2y-111．圆心在抛物线y2=8-4x的顶点，且与其准线相切的圆的方程为______．13．圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是______．14．若m∈R，圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点，它们的坐标是______．范围是______．16．一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是______．17．圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______．18．斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______．19．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，则这些弦的中点M的轨迹方程是______．20．动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为定值2，则动圆圆心的轨迹方程为______．答案提示1．B 2．D 3．B 4．D 5．D6．C 7．D 8．D 9．A 10．C11．(x-2)2+y2=113．315．(-∞，0)∪(0，+∞)16．x2+y2+4y-6=018．y=-x在圆内的部分20．x2-2xy-y2+2=0设计说明准备圆的复习课时，我考虑重点应突出两点．第一是数形结合思想方法的体现，如例9、例10、例11、例12．第二应重视平面几何中有关圆的定理的应用．如例1的另一解法，例4的另一解法，例9、例10的处理方法．在解决圆这一部分问题时，不急于先列代数方程，仔细审题，根据条件尽量画出满足或接近题设条件的图形加以分析，最终确定最简单的解法．。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
圆系方程公式
圆系方程公式
圆系方程是几何学中一类重要的概念，也是数学中最基本的概念之一。
它是由欧几里得发明的，在17世纪出现在西方数学史上。
圆系方程是一个定义了圆的数学表达式，它可以用来描述圆的形状。
它的形式是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a和b是圆心的坐标，r 是圆的半径。
它可以用来表示一个圆的位置，大小和形状。
圆系方程在几何学中有很多应用，如计算面积、计算周长等。
圆系方程也可以用来描述几何图形，比如圆形，椭圆形，抛物线等，这些图形可以用圆系方程来描述。
此外，圆系方程还有许多工程应用，比如建筑设计、航空航天、城市规划等，它们都需要用圆系方程来表示几何图形，以便正确处理问题。
总之，圆系方程是一类重要的数学表达式，它在几何学和工程应用中都有着重要的作用，可以用来表示几何图形和计算面积、周长等。
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用答案
微专题161．答案：(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.解析：设M (x ，y )，则由2MA＝MB得2（x －1）2＋y 2＝ （x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝4，设直线l ：y＝k (x －1)－2，则|－k －2|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≥0，解得k ≤0或k ≥43.2．答案：[0，125]．解析：因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝ 2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．3．答案：{22，－22}． 解析：设P (x ，x ＋m )，则由P A PB ＝12可知（x －1）2＋（x ＋m ）2（x －4）2＋（x ＋m ）2＝14，化简得到2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，由题意可知Δ＝4m 2－4×2×(m 2－4)＝0，即m 2＝8，则实数m 的取值集合为{22，－22}．4．答案：52.解析：记12PB ＝PC ，那么PC PB ＝12，其中B (2，0)，下面研究点C 的位置．设C (a ，b )，P (cos θ，sin θ)，则由PC PB ＝12得 错误!＝12，化简得(4－8a )cos θ－8b sin θ＋4a 2＋4b 2－1＝0①，由于①式对任意θ都成立，则⎩⎨⎧4－8a ＝0，b ＝0，4a 2＋4b 2－1＝0，解得C (12，0)．因此，P A ＋12PB ＝P A ＋PC ≥AC ＝52.5．答案：⎝⎛⎭⎫53，73. 解析：如图，设AB ＝3，AC ＝1，AD ＝k ，以点C 为原点，线段AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系xCy ，则点A 的坐标为(1，0)，因为AB ＝3，所以点B 在以点A 为圆心，3为半径的圆上，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9(*)．设D (x ，y )，由CD ＝2DB 得B (32x ，32y )，代入(*)式得(32x －1)2＋(32y )2＝9，化简得(x －23)2＋y 2＝4，所以r －13<k <13＋r ，从而53<k <73.6．答案：l 22（1－k 2）.解析：如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy .设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以y 2＝－（1－k 2）x 2＋2lx －l 21－k 2＝错误!≤k 2l2（1－k 2）2，于是，y max ＝kl1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22（1－k 2），所以，(S △ABC )max＝1k(S △ABD )max ＝l 22（1－k 2）.7．答案：2＋ 3. 解析：易知点B 的轨迹是阿波罗尼斯圆，记圆与线段AC 的交点为F ，圆心为D ，则AB BC ＝AFFC＝m ，从而BF 为∠ABC 的平分线，即∠ABF ＝∠CBF ＝π6，此时∠BCD ＝∠BFC ＋∠CBF ＝5π12，∠CAB ＝π12，∠ACB ＝7π12.在△ABC 中，由正弦定理得m ＝AB BC ＝sin ∠ACB sin ∠CAB＝2＋ 3.8．答案：存在；λ＝12，理由略．解析：假设存在点P (x ，y )满足题意，则x 2＋y 2＋8x ＝0，所以P A 2＝(x ＋2)2＋y 2，PB 2＝(x －4)2＋y 2，由P A 2＝λ2·PB 2，可得x 2＋y 2＋4x ＋4＝λ2(x 2＋y 2－8x ＋16)，整理得(1－x )(1－4λ2)＝0，由点P (x ，y )为圆C 上任意一点，且λ>0，于是取λ2＝14，即有λ＝12.。
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++=1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4πθ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8k πθπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为22-。
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3π，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cosθ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π))，由重心坐标公式并化简，得：22cos()3332sin()33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， CxyOAB 图12224()39x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是描述平面上所有圆的方程。
圆是由与固定点之间的距离保持不变的所有点组成的集合。
圆系方程可以用来解决各种几何问题，如确定圆的位置、分析圆与其他几何图形的关系等。
一、圆的方程1.标准方程圆的标准方程是以中心坐标和半径为变量的方程，形式如下：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，圆心坐标为(h,k)，半径为r。
2.参数方程圆的参数方程是以圆周上的点的坐标为变量的方程，形式如下：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ其中，θ是圆周上的一个参数，范围为0到2π。
3.一般方程圆的一般方程形如：Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0其中，A、B、C、D是常数，圆心坐标可以通过一般方程中B、C的系数求出。
二、圆系方程的应用1.圆的位置通过圆系方程可以判断圆的位置。
当一般方程中的B和C的系数为零时，圆位于x轴或y轴上；当A和D的系数为零时，圆位于原点；当一般方程中B和C的系数不为零时，可以通过圆心坐标(-B/2A,-C/2A)来确定圆的位置。
2.圆与直线的关系通过圆系方程可以分析圆与直线的关系。
当圆的一般方程与直线的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与直线相切或相离。
3.圆与圆的关系通过圆系方程可以分析圆与圆的关系。
当两个圆的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与圆相切或相离。
4.圆的切线通过圆系方程可以确定圆的切线。
给定圆(y-k)^2=r^2和一直线Ax+By+C=0，可以通过求解联立方程确定圆上的一个点，然后通过推导求出该点处的切线方程。
以上是圆系方程及其应用的简要介绍。
圆系方程不仅可以帮助我们确定圆的位置和分析圆与其他几何图形的关系，还可以应用于解决实际问题，如地图上两个位置之间最短距离、圆形物体的表面积和体积等。
掌握圆系方程的应用技巧，对于解决几何问题与实际应用将大有裨益。
圆的方程及应用.ppt
分别交x 轴、y轴于 A、B 两点，O 为坐标原点，
| OA|? a ，| OB |? b (a ? 2，b ? 2) .
y
B
(1) 求证：(a ? 2)(b ? 2) ? 2 ；
2
(2) 求线段 AB中点的轨迹方程；
1
(3) 求 ? AOB面积的最小值 .
-1 O -1
解：(1) 由已知可设直线 l :
? ?
1 1
（Ⅱ）
解（Ⅰ）b ? ? 1，a ? ? 1，r ? 2 b ? 2
解（Ⅱ）b ? 1，a ? 1，r ? 2 b ? 2
综上所述：所求圆的方 程为 （x ? 1）2 ?（y ? 1）2 ? 2
或（x ? 1）2 ?（y ? 1）2 ? 2
（二）、求最值问题
例4、在圆 x2+y2=4上，与直线 4x+3y-12=0 的距离最小
已知与曲线 C：x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交x 轴、y轴于 A、B 两点，O 为坐标原点，
y
| OA|? a ，| OB |? b (a ? 2，b ? 2) .
B
(1) 求证：(a ? 2)(b ? 2) ? 2；
2
(2) 求线段 AB中点的轨迹方程；
1
(2) 设线段 AB的中点 M（x ，y) ，则
-1 O 1 2 A x -1
由中点坐标公式得：x
?
a
? 2
0 ，y
?
0? b 2
即 a ? 2x ，b ? 2y
Hale Waihona Puke 将它代入 (a ? 2)(b ? 2) ? 2
得（2x ? 2)(2 y ? 2) ? 2 ? （x ? 1)( y ? 1) ? 1 (x ? 1，y ? 1) 2
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用
3 2 8 x 2 （x－1） ＋（1－ t ） ， 化简得(3＋t2)x －(8＋ t )x
2
＋8≥0 对任意 x 恒成立， 82 3 2 则(8＋ t ) －4×8×(3＋t2)≤0， 化简得 t －4t＋1≥0， 解得 t≥2＋ 3 或 0<t≤2－ 3， 因此最小正整数 t 的值为 4.
解法 2 设 D(x，y)，当 AD＝2BD 时，有 x ＋(y－1) ＝4[(x－1) ＋y ]，化 42 12 8 1 简得(x－3) ＋(y＋3) ＝9.直线 AC 的方程为 y＝－ t x＋1，即 x＋ty －t＝0.因为 AD≤2BD， 4 1 | 3 － 3 t－ t| 42 12 8 所以直线 AC 与圆 (x － 3 ) ＋ (y ＋ 3 ) ＝ 9 相切或相离 ， 故 t 2＋ 1 ≥ 8 2 ， 即 t － 4 t ＋ 1 ≥ 0 ， 9 解得 t≤2－ 3或 t≥2＋ 3，所以最小正整数 t 的值为 4.
变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2 ＋y2＝4，动点 P 在直线 x＋ 3y－b＝0 上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B，若满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有两 20 个，则实数 b 的取值范围为 － ，4 ． 3
2 2 2 2
4 8 点 P 在以(－3，0)为圆心，3为半径的圆上，又因为点 P 在直线 x＋ 3y 4 |－3－b| 8 －b＝0 上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以 <3， 1＋ 3 20 解得－ 3 <b<4.
变式 2 已知点 A(－2，0)，B(4，0)，圆 C：(x＋4) ＋(y＋b) ＝16，点 P PA 是圆 C 上任意一点，若PB为定值，则 b 的值为 0 ．
圆系方程在解析几何中的应用(
圆系方程在解析几何中的应用通常已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0。
若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：D1−D2x+E1−E2y+(F1−F2)= 0而有些问题，已知圆的方程和公共弦的方程，求另一个圆的方程。
若已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0，公共弦所在的直线方程为：Ax+By+C=0则可设圆C2的方程为：: x2+y2+Am+D1x+Bm+E1y+Cm+F1=0 ,然后根据题目的其他条件求出其中的参数m即可。
例1、已知圆C:x2+y2+x−6y+m=0 和直线l：x + 2y – 3 = 0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径。
解：由OP⊥OQ ,知：直线l是圆C和以PQ为直径的圆A的公共弦。
设所求圆A的方程是：x2+y2+1+k x+2k−6y+m−3k=0，圆心是A（−k+12 ,3−k），得：(−k+12)+2(3−k)-3=0又由圆A过原点，得：m=3k 解之得：k=1，m=3故所求圆C的圆心为（-12，3），半径为52例2、已知圆，是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。
解：设直线l的方程为：x-y+m=0，依题意，以AB为直径的圆Q的方程可设为：x2+y2+k−2x+4−k y+km−4=0，则圆心Q(2−K2 ,K−42)满足l的方程，得：k ·2−k2–k·k−42+km =0 （1）由圆Q过原点，得：km – 4 =0 （2）解之得：k=4，m=1 或k=-1 m=-4故所求的直线l的方程为：x – y + 1 = 0 或x – y – 4 = 0练习：已知圆O：x2+y2=4，过P(0,4)做直线l交圆O与A、B两点，若以AB为直径的圆M过Q(2,0)，求l的方程及圆M的方程。
解：设直线l的方程为：x=0 或kx-y+4=0（1）当直线l的方程为：x=0 时，经检验，符合要求。
圆系方程的应用及要点
1. 引子 题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得 得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x 4y=0. (4)观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么2. 曲线系方程由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).此结论即由联立方程⎩⎨⎧==)6(0),()5(0),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。
有了这个结论，有些题目可快速求解。
过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
例 2 (课本题) 求经过两圆x 2+y 2+6x 4=0和x 2+y 2+6y 28=0的交点,并且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x 4+λ(x 2+y 2+6y 28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy (4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x y4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2x+7y 32=0例3：（题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。
圆系方程的应用的例题解析
圆系方程的应用的例题解析哎，说起圆系方程，可能有些朋友会觉得那是书本上的高冷玩意儿，但其实它就像咱们生活里的调味包，加点这个，加点那个，就能让问题变得有滋有味，好懂又好玩儿。
今天，咱们就通过几道例题，用大白话聊聊圆系方程的那些事儿。
首先，咱们得明白啥是圆系方程。
简单来说，就是一堆圆它们之间有着某种特殊的联系，而这种联系可以用一个统一的方程来表示。
就像你家里有几个碗，虽然大小不一样，但都是圆的，都能用来装饭，这就是它们之间的共同点，也是我们可以抓住的“圆系”所在。
### 一、基础篇：圆与圆的位置关系#### 1.1 相亲相爱型——两圆相交想象一下，你有两个大小差不多的圆盘子，你试着把它们叠放在一起，结果它们只在边缘上轻轻触碰了一下，这就是两圆相交。
在圆系方程里，怎么表示这种关系呢？咱们可以通过比较两个圆的圆心和半径，来找出它们交点的坐标。
这就像是你知道了两个人的大致位置和他们能走到的最远距离，就能猜猜他们可能会在哪里碰头一样。
#### 1.2 擦肩而过型——两圆相切再换个场景，这回你小心翼翼地让一个圆盘子刚好贴着另一个圆盘子滑过去，没碰到里面也没留下痕迹，这就是两圆相切。
这时候，咱们可以用圆系方程来求那个切点的坐标，感觉就像是捕捉到了两个世界轻轻触碰的瞬间，挺有诗意的吧？### 二、进阶篇：圆与直线的爱恨情仇#### 2.1 直线穿心过——直线与圆相交现在，咱们不再局限于圆与圆之间了，把视线放宽点，看看圆和直线能整出啥花样。
比如，你手里拿着一根笔直的棍子（直线），然后对准一个圆盘子（圆）捅过去，结果棍子穿过了圆盘，留下了两个洞。
这时候，咱们就可以用圆系方程来找出这两个交点的位置，就像是侦探破案，一步步揭开真相。
#### 2.2 平行不相交——直线与圆相切但如果你的棍子放得更巧一些，它刚好贴着圆盘的边缘滑过，没有穿进去也没有离开太远，那就是直线与圆相切了。
这时候的交点其实就是一个点，咱们同样可以用圆系方程来找到它，就像是在茫茫人海中找到了那个与你心灵相通的唯一。
人教版高考数学(理)二轮复习微专题：微专题16 解析几何中的“隐形圆”问题
微专题16 解析几何中的“隐形圆”问题真 题 感 悟(2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC ＝OA,求直线l 的方程； (3)设点T(t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围. 解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,所以0＜y 0＜7, 于是圆N 的半径为y 0,从而7－y 0＝5＋y 0,解得y 0＝1. 因此,圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l∥OA ,所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m,即2x －y ＋m ＝0, 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25,而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22,所以25＝（m ＋5）25＋5,解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)法一 TA →＋TP →＝TQ →,即TA →＝TQ →－TP →＝PQ →, 故|TA →|＝|PQ →|,因为|TA →|＝（t －2）2＋42,又0＜|PQ →|≤10, 所以0＜（t －2）2＋42≤10, 解得t∈[2－221,2＋221],对于任意t∈[2－221,2＋221],欲使TA →＝PQ →,此时0＜|TA →|≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线的距离为25－|TA →|24,必然与圆交于P,Q 两点,此时|TA →|＝|PQ →|,即TA →＝PQ →,因此对于任意t∈[2－221,2＋221],均满足题意, 综上,t∈[2－221,2＋221]. 法二 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA →＋TP →＝TQ →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②,得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上, 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点, 所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5,解得2－221≤t≤2＋221. 因此,实数t 的取值范围是[2－221,2＋221].考 点 整 合高考中圆的方程是C 级考点,其重要性不言而喻.但在一些题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识求解,我们称此类问题为“隐形圆”问题,课本习题给出的“阿波罗尼斯圆”是“隐形圆”典型的例子. 1.问题背景苏教版《数学必修2》P112第12题：已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为12,那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线. 2.阿波罗尼斯圆公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图,点A,B 为两定点,动点P 满足PA ＝λPB.则λ＝1时,动点P 的轨迹为直线；当λ≠1时,动点P 的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.证 设AB ＝2m(m ＞0),PA ＝λPB ,以AB 中点为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则A(－m,0),B(m,0).又设P(x,y),则由PA ＝λPB 得（x ＋m ）2＋y 2＝ λ（x －m ）2＋y 2,两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m(λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2). 当λ＝1时,x ＝0,轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ＞1时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2,轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心,⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.热点一 轨迹问题【例1】 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2＝4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM,PN(M,N 分别为切点),使得PM ＝2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程.解 以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,则O 1(－2,0),O 2(2,0),由已知PM ＝2PN,得PM 2＝2PN 2. 因为两圆的半径均为1, 所以PO 21－1＝2(PO 22－1).设P(x,y),则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]. 即(x －6)2＋y 2＝33,所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.探究提高 动点的轨迹问题是高考的热点之一,解决轨迹问题的关键是通过建立直角坐标系,寻找动点满足的条件,列式化简得所求轨迹方程.【训练1】 设A(－c,0),B(c,0)(c ＞0)为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a(a ＞0),求P 点的轨迹.解 设动点P 的坐标为(x,y), 由PA PB ＝a(a ＞0),得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y2＝a.化简得(1－a 2)x 2＋2c(1＋a 2)x ＋c 2(1－a 2) ＋(1－a 2)y 2＝0.当a≠1时,得x 2＋2c （1＋a 2）1－a2x ＋c 2＋y 2＝0, 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.当a ＝1时,化简得x ＝0.所以当a≠1时,P 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心,⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆； 当a ＝1时,P 点的轨迹为y 轴.热点二 含“隐形圆”的范围与最值问题【例2】 (2013·江苏卷)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l ：y ＝2x －4,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M,使MA ＝2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C(3,2).切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋3. 则d ＝|3k ＋3－2|1＋k 2＝r ＝1, 得k ＝0或k ＝－34.故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M(x,y),由MA ＝2MO,知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2, 化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.即点M 的轨迹为以(0,－1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D. 又因为点M 在圆C 上,故圆C 与圆D 的关系为相交或相切. 故1≤CD≤3,又C(a,2a －4),D(0,－1), 故1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 解得0≤a≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.探究提高 (1)如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键,常见的有以下五个策略：策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；策略二：动点P 对两定点A,B 的张角是90°(k PA ·k PB ＝－1或PA →·PB →＝0)确定隐形圆； 策略三：两定点A,B,动点P 满足PA →·PB →＝λ确定隐形圆； 策略四：两定点A,B,动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆；策略五：两定点A,B,动点P 满足AP ＝λBP(λ＞0,λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆).(2)“隐形圆”发掘出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相关知识点,一般解决思路可从“代数角度”或“几何角度”入手.【训练2】 在△ABC 中,边BC 的中点为D,若AB ＝2,BC ＝2AD,则△ABC 的面积的最大值是________. 解析 以AB 中点为原点,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系.则A(－1,0),B(1,0),由BD ＝CD,BC ＝2AD 知,AD ＝2BD,D 的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为(x －3)2＋y 2＝8.设C(x,y),得D ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2,所以点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝8,即(x －5)2＋y 2＝32.所以S △ABC ＝12×2|y|＝|y|≤32＝42,故S △ABC的最大值是4 2. 答案 4 2热点三 含“隐形圆”的定点与定值问题【例3】 已知圆C ：x 2＋y 2＝9,点A(－5,0),在直线OA 上(O 为坐标原点)存在定点B(不同于点A)满足：对圆C 上任一点P,都有PBPA 为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.解 法一 假设存在满足条件的点B(t,0),当P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时,PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时,PB PA ＝|t －3|8,依题意|t ＋3|2＝|t －3|8,解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P,都有PB PA 为常数.设P(x,y),则y 2＝9－x 2,所以PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925,从而PB PA ＝35为常数. 故满足条件的点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0.法二 假设存在满足条件的点B(t,0), 使得PB PA为常数λ(λ＞0),则PB 2＝λ2PA 2,所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2],将y 2＝9－x 2代入得, x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2), 即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x∈[－3,3]恒成立, 所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去),故满足条件的点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0. 探究提高 本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题,体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的经典地位. 【训练3】 已知⊙O：x 2＋y 2＝1和点M(4,2). (1)过点M 向⊙O 引切线l,求直线l 的方程；(2)求以点M 为圆心,且被直线y ＝2x －1截得的弦长为4的⊙M 的方程；(3)设P 为(2)中⊙M 上任一点,过点P 向⊙O 引切线,切点为Q,试探究：平面内是否存在一定点R,使得PQPR 为定值？若存在,请举出一例,并指出相应的定值；若不存在,请说明理由. 解 (1)直线l 的斜率存在,设切线l 的方程为y －2＝k(x －4), 易得|4k －2|k 2＋1＝1,解得k ＝8±1915. ∴切线l 的方程为y －2＝8±1915(x －4).(2)圆心到直线y ＝2x －1的距离为5,设圆的半径为r, 则r 2＝22＋(5)2＝9,∴⊙M 的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝9.(3)假设存在满足条件的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ＞0). 根据题意可得PQ ＝x 2＋y 2－1,∴x 2＋y 2－1（x －a ）2＋（y －b ）2＝λ,即x 2＋y 2－1＝λ2(x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2).(*) 又点P 在圆M 上,∴(x－4)2＋(y －2)2＝9, 即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11,代入(*)式得8x ＋4y －12＝λ2[(8－2a)x ＋(4－2b)y ＋(a 2＋b 2－11)]. 若系数对应相等,则等式恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2（8－2a ）＝8，λ2（4－2b ）＝4，λ2（a 2＋b 2－11）＝－12，解得a ＝2,b ＝1,λ＝2或a ＝25,b ＝15,λ＝103,∴存在定点R,使得PQ PR 为定值,点R 的坐标为(2,1)时,定值为2；点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15时,定值为103.【新题感悟】 (2019·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(－1,0),B(5,0).若圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一点P,使得直线PA,PB 在y 轴上的截距之积为5,则实数m 的值为________.解析 根据题意,设P 的坐标为(a,b),则直线PA 的方程为y ＝b a ＋1(x ＋1),其在y 轴上的截距为ba ＋1,直线PB 的方程为y ＝b a －5(x －5),其在y 轴上的截距为－5ba －5.若点P 满足使得直线PA,PB 在y 轴上的截距之积为5,则有b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5b a －5＝5,变形可得b 2＋(a －2)2＝9,则点P 在圆(x －2)2＋y 2＝9上.若圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一点P,则圆M 与(x －2)2＋y 2＝9有且只有一个公共点,即两圆内切或外切,又由圆心距为（4－2）2＋m 2≥2,则两圆只能外切,则有4＋m 2＝25,解可得：m ＝±21. 答案 ±21一、填空题1.在平面直角坐标系xOy 中,已知B,C 为圆x 2＋y 2＝4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC ,则线段BC 的长的取值范围为________.解析 如图,设BC 的中点为M(x,y). 连接OB,OM,AM,则BC ＝2BM ＝2AM, 所以OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2, 即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2,化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32,所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心,62为半径的圆, 所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22,所以BC 的取值范围是[6－2,6＋2]. 答案 [6－2,6＋2]2.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1,点A(0,2),若圆C 上存在点M,满足MA 2＋MO 2＝10,则实数a 的取值范围是________. 解析 设点M(x,y),由MA 2＋MO 2＝10,即x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10,整理得x 2＋(y －1)2＝4, 即点M 在圆E ：x 2＋(y －1)2＝4上.圆C 上存在点M 满足MA 2＋MO 2＝10等价于圆E 与圆C 有公共点, 所以|2－1|≤CE≤2＋1,即1≤a 2＋（a －3）2≤3,整理得1≤2a 2－6a ＋9≤9, 解得0≤a≤3,即实数a 的取值范围是[0,3]. 答案 [0,3]3.已知圆O ：x 2＋y 2＝1,圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A,B,使得∠APB＝60°,则实数a 的取值范围为________.解析 由题意得圆心M(a,a －4)在直线x －y －4＝0上运动,所以动圆M 是圆心在直线x －y －4＝0上,半径为1的圆.又因为圆M 上存在点P,使经过点P 作圆O 的两条切线,切点为A,B,使∠APB＝60°,所以OP ＝2,即点P 也在x 2＋y 2＝4上,于是2－1≤a 2＋（a －4）2≤2＋1,即1≤a 2＋（a －4）2≤3,解得实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 4.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k(x ＋1)上存在一点P,使过P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k 的取值范围是________.解析 由题意知原命题等价于直线上存在点P 使得PC ＝22,从而(PC)min ≤22,即圆心C(2,0)到直线y ＝k(x ＋1)的距离d ＝|3k|1＋k2≤22,解得－22≤k≤2 2.答案 [－22,22]5.在平面直角坐标系xOy 中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a ＋2),若存在点P,使得PA ＝2PB,PC ＝PD,则实数a 的取值范围是________.解析 设P(x,y),则（x －1）2＋y 2＝2·（x －3）2＋y 2,整理得(x －5)2＋y 2＝8,即动点P 在以(5,0)为圆心,22为半径的圆上运动.另一方面,由PC ＝PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y ＝a ＋1上运动,因而问题就转化为直线y ＝a ＋1与圆(x －5)2＋y 2＝8有交点.所以|a ＋1|≤22,故实数a 的取值范围是[－22－1,22－1].答案 [－22－1,22－1]6.如图,在等腰△ABC 中,已知AB ＝AC,B(－1,0),AC 边的中点为D(2,0),则点C 的轨迹所包围的图形的面积等于________.解析 因为AB ＝2AD,所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为(x －3)2＋y 2＝4(y≠0).设C(x,y),由AC 边的中点为D(2,0),知A(4－x,－y),所以C 的轨迹方程为(4－x －3)2＋(－y)2＝4,即(x －1)2＋y 2＝4(y≠0),所求的面积为4π. 答案 4π7.(2019·宿迁模拟)已知A,B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点,AB ＝3,P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点,则|PA →＋PB →|的取值范围为________.解析 设AB 的中点为C,由垂径定理可得CC 1⊥AB ,则CC 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12,即点C 的轨迹方程是x 2＋y 2＝14,C 1C 2＝32＋42＝5,则PC max ＝5＋1＋12＝132,PC min ＝5－1－12＝72,所以|PA →＋PB →|＝|2PC →|∈[7,13]. 答案 [7,13]8.(2019·苏、锡、常、镇调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2,点A(2,0),若圆C 上存在点M,满足MA 2＋MO 2≤10,则点M 的纵坐标的取值范围是________.解析 设M(x,y),因为MA 2＋MO 2≤10,所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10,化简得x 2＋y 2－2x －3≤0,则圆C ：x 2＋y 2＋2x －1＝0与圆C′：x 2＋y 2－2x －3＝0有公共点,将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为x ＝－12,代入x 2＋y 2－2x －3≤0可得－72≤y≤72,所以点M 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72 二、解答题9.在x 轴正半轴上是否存在两个定点A,B,使得圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 到A,B 两点的距离之比为常数12？如果存在,求出点A,B 坐标；如果不存在,请说明理由.解 假设在x 轴正半轴上存在两个定点A,B,使得圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 到A,B 两点的距离之比为常数12.设P(x,y),A(x 1,0),B(x 2,0),其中x 2＞x 1＞0, 则（x －x 1）2＋y2（x －x 2）2＋y 2＝12对满足x 2＋y 2＝4的任何实数对(x,y)恒成立, 整理得,2x(4x 1－x 2)＋x 22－4x 21＝3(x 2＋y 2),将x 2＋y 2＝4代入得, 2x(4x 1－x 2)＋x 22－4x 21＝12,这个式子对任意x∈[－2,2]恒成立,所以一定有⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－x 2＝0，x 22－4x 21＝12，因为x 2＞x 1＞0, 所以解得x 1＝1,x 2＝4.所以在x 轴正半轴上存在两个定点A(1,0),B(4,0),使得圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 到A,B 两点的距离之比为常数12.10.如图,已知平面α⊥平面β,A,B 是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA ⊂β,CB ⊂β,且DA⊥α,CB⊥α,AD ＝4,BC ＝8,AB ＝6,在平面α上有一个动点P,使得∠APD＝∠BPC ,求△PAB 的面积的最大值.解 由题意知DA⊥α,又PA ⊂α,∴DA ⊥PA, ∴在Rt△PAD 中,tan∠APD＝AD AP ＝4AP ,同理tan∠BPC＝BC BP ＝8BP .∵∠APD＝∠BPC ,∴BP＝2AP.在平面α上以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,则A(－3,0),B(3,0), 设P(x,y),则有（x －3）2＋y 2＝2（x ＋3）2＋y 2(y≠0). 化简得(x ＋5)2＋y 2＝16,∴y 2＝16－(x ＋5)2≤16.∴|y|≤4.∴△PAB 的面积为S △PAB ＝12|y|·AB＝3|y|≤12,当且仅当x ＝－5,y ＝±4时取得等号,故△PAB 的面积的最大值是12.11.已知点A(－3,0),B(3,0),动点P 满足PA ＝2PB. (1)若点P 的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M,求QM 的最小值,并求此时直线l 2的方程.解 (1)设点P 的坐标为(x,y), 则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2,化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求.(2)由(1)知曲线C 是以点(5,0)为圆心、4为半径的圆,如图,则直线l 2是此圆的切线,连接CQ,CM,则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16,当CQ⊥l 1时,CQ 取最小值,CQ min ＝|5＋3|2＝42, 此时QM 的最小值为32－16＝4,这样的直线l 2有两条,设满足条件的两个公共点为M 1,M 2, 易证四边形M 1CM 2Q 是正方形,所以l 2的方程是x ＝1或y ＝－4.。
圆的方程及其应用
80. 圆的四种方程
1圆的标准方程.
2圆的一般方程(＞0).
3圆的参数方程.
4圆的直径式方程(圆的直径的端点是、
).
81. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交
点的圆系方程是,λ是待定的系数．
特别地，当时，就是
表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程
82.点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种
若，则点在圆外;点在圆
上;点在圆内.
83.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种
():
;;.
84.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
;
;
;
;
.
85.圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
(3) 过圆外一点的切线长为。
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微专题十六圆系方程及其应用
主备人：施华 审核人：倪红林
【温故·习新】
一、常见的圆系方程有如下几种：
1、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：
2、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：
（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）
特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=
【释疑·拓展】
例1． 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
变式：求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2
233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．
例2．求过两圆2225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
变式：求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：2
2y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
例3．已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值。
例4 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？
【反馈·提炼】
1．求经过圆x 2+y 2
+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
2．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。
3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程。
4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与y 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。