30道数论题

【解析】先计算投放了多少次，由题可知依次投石子数为 1,3,5,7,...35，这是一个等差数列， 根据项数公式可得（35-1）÷2+1=18 次，一共放了 18 次石子，那么也走了 18 段路程，路 程也是公差为 3 的等差数列，最后一段路程为 1+（18-1）×3=52 米，那么总路程为（1+52） ×18÷2=477 米。本题答案 477.
【解析】 2010 （5 4 3 1 ） 154余8 ，因此是黄色。
8. 有 四 个 两 位 质 数 a， b， c， d， 互 不 相 同 ， 并 且 满 足 等 式 a+b=c+d， 那 么 a+b 的最小值可能是 。
【解析】因为 11+19=13+17，因此最小值是 30.
9.
甲、乙两数的积是 700，甲、乙两数的最大约数是 5，最小公倍数是
。
【解析】根据性质，两个数乘积等于最小公倍数和最大公因数的乘积，因此最小公倍数是 700÷5=140.
10. 一个九位数，最高位上的数既是奇数又是合数，百万位上是最小的质数，万位上是最小 的合数，其余各位上的数都是零，这个数是（ 位的数是（ ） 。 ） 。把这个数改写成用“万”作单
24. 三个数 P-1，P，P+2 都是质数，它们的倒数和是
。
【解析】 P-1 和 P 是两个连续的数， 都是质数， 那就只能是 2 和 3 了， 这三个数分别是 2,3,5， 容易算得他们的倒数和是
31 。 30
25. 如图 1，将自然数 1、2、3......按图 2 排列：从 1 开始，下面写 2，右转写 3，4，然 后向上转写 5， 6 ，7，依次写下去，这样第一次转弯是 2，第二次转弯是 4，第三次 转弯是 7，第四次转弯是 11，......那么第 50 次转弯的数是 的数是 。 ，第 2013 次转弯
17. 王青年在 1997 年的年龄等于其出生年份各数字的和，那么，2012 年他（
）岁。
【解析】题上说青年，那么可以判断他是 19 几几年生的，不妨设该青年是 19xy 年生的， 那 么根据题意可以列出方程 1997-19xy=1+9+x+y，整理得 97-10x-y=10+x+y，得 11x+2y=87， 又因为 x 和 y 均不能超过 9，因此只有一种情况，就是 x=7，y=5，那么可得他是 1975 年生 的，2012 年他就是 2012-1975=37 岁。 18. 三边均为整数，且最长边为 9 的三角形有（ ）个。
1 1
【解析】
5 1 7 1 8 9 3 6 2 4
5.
一个五位数最高位上的数字是 2，如果把这个数字移到个位数字的后边，那么所得数比 原来的数的 3 倍多 489，则原数为 。
【解析】 6. 一个整数 a 与 7920 的积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 。
23. 一套书分上下两册，都是从 1 开始编页码，共用 777 个数字，如第 23 页就是用了两个 数字。并且上册比下册多 7 页，那么上册共有 页。
【解析】下册书比上册书少 7 页，为了好算上册，我们给下册书补上 7 页，那么一共就需要 补上 7×3=21 个页码。总数字个数就变成了 777+21=798 个，上册书就用了 798÷2=399 个 数码，又因为 1~9 页，每页用 1 个数码，共 9 个；10~99 页每页用 2 个数码，共 180 个； 100 到 999 页，每页用 3 个数码，共 2700 个，用 399-180-9=210，210÷3=70 页。可得上 册书一共有 99+70=169 页。本题答案 169.
【解析】
27. 1 到 10000 的自然数中，能被 5 或 7 整除的数共有 的数共有 个。
个；不能被 5 也不能被 7 整除
【解析】这个数是 902040000，改写成万作单位的数是 90204 万。
11. 两个自然数的和是 286，其中一个数的末位数是 0，如果把这个零去掉，所得的数与另
一个数相同，那么原来两位数的积是（
） 。
【解析】 把 0 去掉， 两数就相同， 说明一个数是另一个数的 10 倍， 因此较小数就是 286÷ （1+10） =26，那么另一个数就是 260，乘积就是 26×260=6760. 12. 6÷7 商的小数点后面 50 个数字的和是（ ） 。
【解析】6÷7=0.85714285714285......，小数点后面每 6 个一循环，50÷6=8 余 2，因此后面 50 个数字的和是（8+5+7+1+4+2）×8+8+5=229.因此答案是 229. 13. 一个两位数，其十位与个位上的数字交换后，所得的两位数比原来大 36，则满足条件 的两位数有（ ） 。
【解析】大概试一下可算出 44*44=1936,43*43=1839,45*45=2025，只有 1936 符合题意，所 以可推测出 1936 年时巴拿赫 44 岁，则他出生的年份是 1936-44=1892 年，他去世时的年龄 是 1945-1892=53 岁。因此本题答案为 1892,53.
பைடு நூலகம்
3.
30 道数论题答案 1. 按规律排列的一串数 3、8、15、24、......，这串数中第 19 个数是（ B、396 C、399
2
） 。
A、393
D、402
【解析】仔细观察会发现规律是 n 1 1 ,因此第 19 个数是 20*20-1=399，因此答案是 C。
2.
著名数学家斯蒂芬巴拿赫于 1945 年 8 月 31 日去世， 他在世的某年的年龄恰好是该年份 的算术平方根（该年的年份是他该年年龄的平方数） ，则他出生的年份是 世时的年龄是 。 ，他去
16. 老师在黑板写了 13 个自然数，让小芳求平均值，保留一位小数是 26.9，保留两位小数 是（ ） 。
【解析】保留一位小数后是 26.9，说明原来两位的时候最大是 26.94，最下是 26.85，那么 13 个自然数的和最大是 26.94×13=350.22，最小是 26.85×13=349.05，取两个中间的整除， 因此原来 13 个数的和是 350，再用 350÷13=26.92307...，那么可得如果保留两位小数的话 结果就是 26.92，因此本题答案 26.92.
【解析】
7. 流 水 线 上 生 产 小 木 珠 的 涂 色 顺 序 是 ：先 5 个 红 球 ，再 4 个 黄 球 ，再 3 个 绿 球 ， 再 一 个 白 球 ，然 后 依 次 是 5 红 ，4 黄 ，3 绿 ，1 白 ，… … ,这 样 不 断 进 行 下 去 ， 则 第 2010 个 小 木 珠 的 颜 色 是 。
22. 黑板上写有从 1 开始的一列连续自然数， 老师擦去其中一个数后， 计算剩下的数的平均 数，结果 62
8 ，请问这列数共有 41
个，擦去的数是
。
【解析】首先考虑，从 1 到多少，平均数大约是 63，可以预测是 126 左右，另外，这个数 列的个数减去 1 必须能被 41 整除，所以是 3x41=123，也就是说，这个数列要有 124 个数 字，即，从 1 到 124 。从 1 到 124 的和 =124x(124+1)/2=62x125=7750 ，而 123 个数字， 平均数是 62 又 8/41， 123x62 又 8/41=7550，所以去掉的那个数是 7650-7550=100。
【解析】根据图上显示的规律，可知最开始数字是 1，第一次转弯加 1，第二次转弯再加 2， 第三次转弯再加 3，......，第 50 次转弯的数是 1+1+2+3+4+...+50=1276。第 2013 次转弯的数 是 1+1+2+3+4+5+...+2013=2007092.
26. 571-396=175.得数 175 与被减数 571 的数字顺序相反。那么，减去 396 后，使得数与被 减数的数字顺序相反的三位被减数共有 个。
【解析】设原来两位数的十位数字是 x，个位数字是 y。则该两位数可表示为 10x+y，个位 十位交换后表示为 10y+x，根据题意列出方程 10y+x=10x+y+36，整理得 9（ y-x）=36，则 y-x=4，因此符合条件的有 15,26,37,48,59 这五个数。 14. 有 a、b、c 三个数， a b 12, a c 24, b c 18, 则 a b c （ 【解析】本题易算出 a=4，b=3，c=6，因此 a+b+c=4+6+3=13，本题答案 13. ） 。
15. 黑板上写有 1、2、3、4,......1999、2000 共 2000 个自然数,其中数字“1”共出现了 （ ）次。
【解析】个位上每十个数出现 1 个 1，所以个位 1 一共出现了 2000÷10=200 次。 十位上每 100 个数出现了 10 次， 如 10~19， 因此十位一共 2000÷100×10=200 次。 百位上每 1000 个数字出现 100 次， 如 100~199， 因此一共有 2000÷1000×100=200 次。 千位上从 1000 到 1999 一共出现了 1000 次。 1000+200+200+200=1600 次，本题答案 1600。
）
【解析】可以假设全班有 4 份人，75%及格，那么及格的人数有 3 份。全班平均分 82 分， 那么全班总分 82×4=328 分，及格的人平均分 91 分，总分 91×3=273 分，那么不及格的 1 份人的总分是 328-273=55 分，因此本题答案 55.
21. 某小孩玩投放石子游戏，从 A 出发走 1 米放 1 枚石子，第二次走 4 米又放 3 枚石子， 第 三次走 7 米再放 5 枚石子，再走 10 米放 7 枚石子......，照此规律最后走到 B 处放下 35 枚石子，问从 A 到 B 的路程是 米。
【解析】当两边长是 9，1 时，8<第三边<10，因此最长边只能取 9，只有 1 个； 当两边长是 9，2 时，7<第三边<11，又因为最长边是 9，故可取 8，9 共 2 个； 当两边长是 9，3 时，6<第三边<12，又因为最长边是 9，故可取 7，8，9 共 3 个； 当两边长是 9，4 时，5<第三边<13，又因为最长边是 9，故可取 6，7，8，9 共 4 个； 当两边长是 9，5 时，4<第三边<14，又因为最长边是 9，故可取 5，6，7，8，9 共 5 个； 当两边长是 9，6 时，3<第三边<15，又因为最长边是 9，加上去掉之前重复的，故可取 6， 7，8，9 共 4 个； 当两边长是 9，7 时，4<第三边<16，又因为最长边是 9，加上去掉之前重复的，故可取 7， 8，9 共 3 个； 当两边长是 9，8 时，1<第三边<17，又因为最长边是 9，加上去掉之前重复的，故可取 8， 9 共 2 个； 当两边长是 9，9 时，0<第三边<18，又因为最长边是 9，加上去掉之前重复的，故只能取 9 共 1 个； 全部加起来，本题答案是 25 个。 19. 由数字 0、2、8（可全用，也可不全用）组成的非零自然数，按从小到大排列，2008 排在第（ ） 。
2000×2001×2002×2002×2002×121×123×125×127×129 的乘积的末尾共有 （ 个连续的 0。
）
【解析】2000 的后面有 3 个 0，另外 125=5*5*5，这三个 5 与三个 2002 可组成 3 个 0， 因此尾数一共有 6 个连续的 0。
4.
将 1~9 这 9 个数字填入等式中的 9 个方框，每个数字用 1 次，使得等式成立，现已将 1 填入，请将其他数字也填入
【解析】一位数只有 2 和 8，共 2 个。 两位数有 2×3=6 个。 三位数有 2×3×3=18 个。 四位比 2008 小的有 2000、2002，然后 2008.因此 2008 排在 2+6+18+3=29 位。
20. 某班一次测试， 平均 82 分， 75%人及格， 他们的平均分 91 分， 不及格的人平均 （ 分。