工程光学习题参考答案第十一章光的干涉和干涉系统

第十一章 光的干涉和干涉系统
1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光
nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多
少？
解：由题知两种波长光的条纹间距分别为
9
6113
1589105891010D e m d λ---⨯⨯===⨯ 96
223
1589.610589.61010
D e m d λ---⨯⨯===⨯ ∴第十级亮纹间距()()6
5
211010589.6589100.610e e m -∆=-=⨯-⨯=⨯
2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。

解：设厚度为h ，则前后光程差为()1n h ∆=- ()1x d
n h D
∆⋅∴-=
23
0.510100.580.5
h --⨯⨯=
2
1.7210h mm -=⨯
3． 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到
稳定的干涉条纹系。

继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25
个条纹，已知照明光波波长nm 28.656=λ，空气折射率000276.10=n 。

试求注入气室内气体的折射率。

解：设气体折射率为n ，则光程差改变
()0n n h ∆=-
图11-47 习题2 图
()02525x d d
n n h e D D
λ∆⋅∴-=
=⋅= 9
025656.2810 1.000276 1.0008230.03
m n n h λ-⨯⨯=+=+= 4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。

玻
璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D
2
00'
4cos 2xd I I I D
πλ== ()'104xd m m D λ⎛⎫
∴∆=
=+≥ ⎪⎝⎭
又
()1n d ∆=-
114d m n λ⎛
⎫
∴=
+ ⎪-⎝⎭
5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ∆，相应的频率和频率宽度记为ν和ν∆，证明
λ
λ
ν
ν
∆=
∆，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8
102-⨯=∆λ，求频
率宽度和相干长度。

解：
c λν= λ
ν
λ
ν
∆∆∴
=
对于632.8c
nm λνλ
=⇒=
898
41821010310 1.49810632.8632.810
c Hz λ
λννλλλ---∆∆⨯⨯⨯⨯∴∆=⋅=⋅==⨯⨯⨯ C
图11-18
218
417632.810210210
L m λλ--⨯===⨯∆⨯
6． 直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双孔
必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为λ，则干涉孔径角bc
λβ=
又∵横向相干宽度为1d mm =
∴孔、灯相距
0.182d
d bc
l m
β
λ
⋅=
=
= 取550nm λ=
7． 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长nm 600=λ，平板的厚度mm h 2=，折射
率5.1=n ，其下表面涂上某种高折射率介质（5.1>H n ），问（1）在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm ）（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？ 解：（1）
0H n n n <<，∴光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为
22 1.50.0020.006nh m ∆==⨯⨯=
∴中心条纹的干涉级数为
6
4061010600
m λ∆
⨯===
为整数，所以中心为一亮纹
（2）由中心向外，第N 个亮纹的角半径为N θ=
100.067rad θ∴=
=
半径为10100.06720013.4r f mm mm θ=⋅=⨯= （3）第十个亮纹处的条纹角间距为 31010 3.358102n rad h
λ
θθ-∆=
=⨯ ∴间距为10100.67r f mm θ∆=⋅∆=
8． 用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环且中心是暗
斑。

然后移动反射镜1M ，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此刻视
场内只有10个暗环，试求（1）1M 移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板1G 不镀膜）；（2）1M 移动后第5个暗环的角半径。

解：（1）设移动前暗斑的干涉级次为0m ，则移动后中心级次为020m - 移动前边缘暗纹级次为020m -
，对应角半径为1θ=
移动后边缘暗纹级次为030m -
，对应角半径2θ=
()1221
1020
.............................1h h θθ∴=⇒
= 又∵()1210 (22)
N h h h λ
λ∆=-=
= （条纹收缩，h 变小） 1220,10h h λλ== ∴1022
h m λ
λλ+
=
040.5m =
（2）移动后 252cos '2
h m λ
θλ+
=
()210cos 20.552
λ
λθλ⨯+=-
3cos 4
θ=
∴角半径541.40.72rad θ=︒=
9． 在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm 和n=1.5,望远镜的视场角
为0
6，光的波长,450nm =λ问通过望远镜能够看到几个亮纹？ 解：设有N 个亮纹，中心级次
34022 1.53101222102
nh m λ
λ
λ
λ
-+⨯⨯⨯+
==
=⨯-
12
q ∴=
最大角半径0.0524θ=
≤
12.68N ≤
∴可看到12条亮纹
10． 用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm 的范围内共有15个亮纹，玻
璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长,600nm =λ求楔角。

解：9
560010 5.9100.05
22 1.5215
rad ne λ
α--⨯=
=⨯⨯⨯ 11． 土11-50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。

证明λ
N r R 2
=，N 和r 分别表
示第N 个暗纹和对应的暗纹半径。

λ为照明光波波长，R 为球面 曲率半径。

证明：在O 点空气层厚度为0，此处为一暗斑，设第N 暗斑半径为N r ，由图 ()
22222N r R R h Rh h =--=-
R
h 22N r Rh ∴≈
又∵第N 暗纹对应空气层
()22122h N λλ
+
=+ 2
N h λ
=
2
r R N λ
∴=
12． 试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心和边缘点，观察点的光程差∆δ
必
h
图11-50 习题12图
须小于4
λ
），证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度为p θ=
'1
n h
n λ，其中h 是观察点处楔板厚度，n 和'n 是板内外折射率。

证明：如图，扩展光源12s s 照明契板W ，张角为2θ，设中心点0s 发出的光线在两表面反射
交于P ，则P 点光程差为12nh ∆=（h 为对应厚度），若板极薄时，由1s 发出的光以角1θ入射也交于P 点附近，光程差222cos nh θ∆=（2θ为折射角）
222222cos 212sin 2122nh nh nh θθθ⎛⎫⎛⎫∴∆==-≈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
由干涉条纹许可清晰度条件，对于10,s s 在P 点光程差小于
4
λ
21224
nh λ
θ∴∆-∆=≤
1'4
n nh n θλ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
∴许可角度12θ≤
证毕。

13． 在图11-51中，长度为10cm 的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。

另一端与平面玻
璃相间隔0.1mm ，透镜的曲率半径为1m 。

问：（1）在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样？（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外计算，第N 个暗条纹到接触点的距离是多少？设照明广博波长nm 500=λ。

解：（1）沿轴方向为平行条纹，沿半径方向为间距增加的圆条纹，如图
（2）∵接触点光程差为
2
λ
∴为暗纹 沿轴方向，第N 个暗纹有2
h N λ
=⋅
高0.1mm
图11-51 习题14图
∴距离93
500100.252210h
N N
d Nmm λθθ--⨯==
==⨯
沿半径方向N r =
==
14． 假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为1λ和2λ的两个单色光波，
1λ=2λ+λ∆，且<<∆λ1λ，这样，当平面镜M 1移动时，干涉条纹呈周期性地消
失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M 1移动的距离∆h ；（3）对于钠灯，设
1λ=589.0nm 和2λ=589.6nm 均为单色光，求∆h 的值。

解：（1）当1λ的亮纹与2λ的 亮纹重合时，太欧文可见度最好，1λ与2λ的亮暗纹重合
时条纹消失，此时光程差相当于1λ的整数倍和2λ的半整数倍（反之亦然），即
1121
2'()2
h m m λλ∆=+∆==+
式中假设2cos 1θ=，'∆为附加光程差（未镀膜时为2
λ） ∴()212112
12'2'2'............12h h h m m λλλλλ+∆+∆+∆-+
=-=⋅∆ 当1M 移动时干涉差增加1，所以
()2112
12()'1............................22h h m m λλλ+∆+∆-+
+=⋅∆ （1）（2）式相减，得到
122h λλλ
∆=
∆ （2） 0.289h mm ∆=
15． 图11-52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D 1和D 2是两个长度为
10cm 的真空气室，端面分别与光束II I 和垂直。

在观察到单色光照明（λ=589.3nm ）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D 2充氧气，最后发现条纹移动了92个，（1）计算氧气的折射率；（2）若测量条纹精度为101条纹，求折射率的测量精度。

解：（1）条纹移动92个，相当于光程差变化92λ∆=
设氧气折射率为n 氧， ()
210.192n λ∴-⨯=氧 n 氧=1.000271
（2）若条纹测量误差为N ∆，周围折射率误差有
9
7
20.1589.310 2.9510220.1
l n N N n l λ
λ--∆=∆⋅∆⋅⨯⨯∆===⨯⨯ 16． 红宝石激光棒两端面平行差为10''，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中，光波的波
长为632.8nm,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间距多大的条纹？设
红宝石棒的折射率n=1.76.
解：契角为α，光经激光棒后偏转()21n α-
∴两光波产生的条纹间距为
()8.621e mm n λ
α
=
=-
17． 将一个波长稍小于nm 600的光波与一个波长为nm 600的光波在F-P 干涉上比较，
当F-P 干涉仪两镜面间距改变mm 5.1时，两光波的条纹就重合一次，试求未知光波的波长。

解：设附加相位变化ϕ，当两条纹重合时，光程差为1λ，2λ的整数倍，
图11-52 习题16图
2h m ϕλ
λπ∆=+
= 2h m ϕλπ
∴=+
在移动前21121212222h h m m m h λλ
ϕϕλπλπλλ⎛⎫⎛⎫-∆=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
移动后
211212122()2()'12()h h h h m m m h h λλ
ϕϕλπλπλλ⎛⎫⎛⎫-+∆+∆∆=-+=+-+=+∆ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
由上两式得2
12
0.1222nm h
h
λλλλ∆=
≈
=∆∆
∴未知波长为599.88nm
18． F -P 标准具的间隔为mm 5.2，问对于nm 500=λ的光，条纹系中心的干涉级是多
少？如果照明光波包含波长nm 500和稍少于nm 500的两种光波，它们的环条纹距离为100/1条纹间距，问未知光波的波长是多少？ 解：若不考虑附加相位ϕ，则有02h m λ= 40210h
m λ
=
=
()
2
942350010151021002 2.510
e nm e h λλ---⨯∆∆=
⋅=⋅=⨯⨯⨯ ∴未知波长为499.99995nm
19． F -P 标准具两镜面的间隔为mm 25.0，它产生的1λ谱线的干涉环系中的第2环和第
5环的半径分别是mm 2和mm 8.3，2λ谱系的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是mm 1.2和mm 85.3。

两谱线的平均波长为nm 500，求两谱线波长差。

解：设反射相位ϕ产生附加光程差'∆，则对于1λ有
()012'....................1h m λ+∆=
若011m m q =+，（1m 为整数），则第N 个亮纹的干涉级数为()11m N --⎡⎤⎣⎦ 其角半径为()()112cos '1.....................2N h m N θλ+∆=--⎡⎤⎣⎦ 由（1）（2）得()()1121cos 1N h N q θλ-=-+ ()2
1
11N N q h
λθ≈-+
又∵N N r f θ=⋅
∴第五环与第二环半径平方比为
251
1221
510.14921r q q r q -+=⇒=-+ 同理20.270q =
又()()1122122
222h h h m q m q ϕϕλλπλπλ⎛⎫⎛⎫∆+-+=+-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()2216102q q nm h
λ
λ-∆=
-=⨯
20． 如图11-53所示，F-P 标准具两镜面的间隔为cm 1，在其两侧各放一个焦距为cm
15的准直透镜1L 和会聚透镜2L 。

直径为cm 1的光源（中心在光轴上）置于1L 的焦平面上，光源为nm 3.589=λ的单色光；空气折射率为1。

（1）计算2L 焦点处的干涉级次，在2L 的焦面上能看到多少个亮条纹？其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少？（2）若将一片折射率为1.5，厚为mm 5.0的透明薄片插入其间至一半位
置，干涉环条纹应怎样变化？
解：（1）忽略金属反射时相位变化ϕ，则
2
9
221033938.57589.310h
m λ--⨯===⨯
∴干涉级次为33938
光源经成像在观察屏上直径为1cm ，相应的张角1
30
tg θ=
，中心亮纹干涉级为133938m =，设可看到N 个亮纹，则最亮纹干涉级次为()11m N --⎡⎤⎣⎦，其入射角N θ有()12cos 1N nh m N θλ=--⎡⎤⎣⎦
观察屏
图11-53 习题21图
()1133919.7m N --=
∴最外层亮纹级数为33920
∴可看到18个亮纹
（2）上下不同，所以有两套条纹，不同处即
上： 2nh m λ=
下： ()22''nh n n h m λ+-∆= （以上对应中心条纹）
21． 在玻璃基片上（52.1=G n ）涂镀硫化锌薄膜，入射光波长为nm 500=λ，求正入
射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。

解：正入射时，反射比为
()()2
22200222200cos sin 422,cos sin 22G G G G n n n n n n nh n n n n n n δδπρδλδδ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 当δπ=时，反射率最大()G n n > 2
0max 00.33G G n n n n n n n n ρ⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭ 对应52.524h nm n λ
==
当2δπ=时，反射率最小，min 0.04ρ=
对应105.042h nm n λ
==
22． 在玻璃基片上镀两层光学厚度为4/0λ的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，
问为达到在正入射下膜系对0λ全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片折射率6.1=G n ） 解：镀双层膜时，正入射2001''G G n n n n ρ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
其中22112
22''G G G n n n n n n == 令0ρ=
，则21 1.35 1.71n ===
23． 在玻璃基片（6.1=G n ）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（38.1=n ），控制
膜厚使得在正入射时对于波长nm 5000=λ的光给出最小反射比。

试求这个单层膜
在下列条件下的反射比：（1）波长nm 6000=λ，入射角000=ϕ；（2）波长
nm 5000=λ，入射角0030=ϕ。

解：（1）600nm λ=时，044546
nh
λππδπλλ==⋅= 代入式（11-67）有 0.01ρ=
（2）斜入射时，对,s p 分量有
0000
000
cos cos cos cos ,cos cos cos cos s p n n n n r r n n n n θθθθθθθθ--=-=++ 可见对s 分量若令000cos ,cos ,cos G G G n n n n n n θθθ===
p 分量令000,,cos cos cos G G G
n n n n n n θθθ=== 则其形式与正入射时类似，因此可用于计算斜入射情形
当030θ=︒时，可求得10sin sin 2115'n θθ-⎛⎫==︒ ⎪⎝⎭
1sin sin 1812'G G n n θθ-⎛⎫==︒ ⎪⎝⎭
∴对s 分量 000cos 0.866, 1.286, 1.52G n n n n θ====
在30︒角入射下，0044cos cos 2115'0.932nh nh π
πδθπλλ==︒=
将上述值代入（11-67）式有0.014s r =，
同理 0.004p r = 因入射为自然光，所以反射率为10.0092s p r r ρ⎡⎤=+=⎣
⎦ 24. 图示为检测平板平行性的装置。

已知光源有：白炽灯，钠灯
（ nm nm 6.0,3.589=∆=λλ，氦灯（ nm nm 0045.0,590=∆=λλ ），
透镜L1、L2的焦距均为100mm ，待测平板Q 的最大厚度为4mm ， 折射率为1.5，平板到透镜L2的距离为300mm.
问：1）该检测装置应选择何种光源？
2）S 到L1的距离？
3）光阑S 的许可宽度？
（注：此问写出算式即可。

）
1） λ∆小，相干性好，故选氦灯。

2） 检测平板平行性的装置应为等厚干涉系统，故S 到L1的距离为100mm ，以使出射光成平行光，产生等厚干涉条纹。

3）光源角半径：
另一方面，由光源中心点与边缘点发出的光在P 点产生的程差之差：
由此得：
所以光阑S 的许可宽度为：
25. 法布里—珀罗（F-P ）干涉仪两工作板的振幅反射系数，假设不考虑光在干涉仪两板内表面反射时的相位变化，问：
（1） 该干涉仪的最小分辨本领是多大？
（2）要能分辨开氢红线的双线，即 ，则F-P 干涉仪的间隔h 最小应为多大？
解（1） F-P 干涉仪的分辨本领为
当r=0.9时，最小分辨本领（对应m=1)为
（2）要能分辨开氢红线的双线 ，即要求分辨本领为
由于A 正比于m ，所以相应的级次为
12l b =α4
)cos 1(2'0λ
α≤-=∆-∆nh h n n λα'21≤mm h
n n l l b 49.121
22'11≈⋅≤=λαm μλ4101360.0-⨯=∆2197.0197.097.0r r m m mS mN A -=-===πρρπ43.149.019.0197.02min =-⨯⨯⨯=πA )6563.0(m H μα35.4825710136.06563.04
=⨯=∆=-λλA
F-P 干涉仪的间距应为：
26. 一个用于检验平板厚度均匀性的装置如图所示，光
阑D 用于限制平板上的受光面积，通过望远镜可以观察
平板不同部位产生的干涉条纹（平板可相对光阑平移）。

试讨论：
（1）平板从B 处移到A 处时，可看到有10个暗纹从中
心冒出，问A 、B 两处对应的平板厚度差是多少？并决定
哪端厚或薄？
（2）所用光源的光谱宽度为0.06nm ，平均波长为600nm ，
问能检验多厚的平板（n=1.52）？
（1）由所给装置知这是一等倾干涉系统，因此条纹外冒，表明厚度h 增加，故 ，厚度差：
2）当光程差 （相干长度）时，不能检测。

而
即 从而 334443.1435.48257min
===A A m m m h μλ097.12
6563.033442=⨯==B A h h >m
mm N n h μδλδ97.11097.11052.1210600236=⨯=⨯⨯⨯==--L M 2=∆>∆mm M 61006.0)10600(62
62=⨯⨯=∆=∆--λλmm
nh 62<=∆mm n h 97.126=<。