2020最新高考数学平面向量练习

平面向量

向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.有关向量的命题，具有很强的时代气息，深受命题者的喜爱.综观近几届高考，向量由只考关于向量概念或运算小题，到考察以向量为背景的解析几何大题.尤其与圆锥曲线的综合有一定难度.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，运用空间向量的坐标和数量积解决角度、长度的问题，比传统立体几何方法更简便快捷.向量与三角函数有着密切的联系，一个以向量和三角函数为载体的数学问题能考察中学数学多方面的内容，更能考察学生的创新意识和创造性解决问题的能力，所以向量内容在高考中的分值会逐渐增加.平面向量大题在以前高考卷很少单独出现，估计以后将会成为高考的一个命题点.但在高考中,平面向量与其他章节的综合题已经出现，因此，在复习中一方面要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习.做到概念清、运算准，对于定比分点、图形平移等要掌握公式及寻求规律；另一方面，也要注意综合能力的训练，平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考重点，复习中要注意培养准确运算能力和灵活运用知识的能力.

【疑难点拨】

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.

⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.

①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）

+++CD BC AB 0=DA .(□ABCD 中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量a ，b ，使a =λb （λ∈R ），那么a ∥b ； 反之，如a ∥b ，且b ≠0，那么a =λb .

这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与λb 的方向规定为平行.

⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则

)1|.(cos ||==⋅=⋅e a Θθ

③⇔⊥b a 0=⋅b a （∵θ=90°，)0cos =θ

④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中b a ⋅=0a ⇔=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ⋅=0的充分而不必要条件.

⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1);

当a 与b 反向时，b a ⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是

|||||b a ⋅=⋅.

特殊情况有2=⋅=2

||a .

或||a =

22y x +.

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则

|a =221221)()(y y x x -+-

⑥||||||b a b a ⋅≤⋅。（因1cos ≤θ） ⑦数量积不适合乘法结合律.

如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与c 共线，而)(c b a ⋅⋅与a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.

若a 、b 、c 是非零向量且c b c a ⋅=⋅并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即

是无意义的.

6．与平面向量基本定理及平移有关的问题

⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向

量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.

⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。 ⑶点的平移公式：

点),(y x P 按给定平移向量),,(k h a =平移后得新点),(y x p '''的坐标公式为

⎩⎨⎧+='+=';,

k y y h x x

反之，由新点求旧点公式变为

⎩⎨

⎧-'=-'=;,

k y y h x x 由新旧两点求平移向量公式为

⎩⎨

⎧-'=-'=.

,

y y k x x h ⑷图象（图形）平移：

给定平移向量a =(),k h ，由旧解析式求新解析式，用公式

⎩

⎨

⎧-'=-'=k y y h x x , 代入旧解析式中，整理得到； 由新解析式求旧解析式，用公式

⎩

⎨⎧+='+='k y y h x x ,

代入新式，整理得到。

应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(y x 、平移后的坐标),(y x ''、平移向量坐标),(k h 都在同一坐标系中。

确定平移向量一般可采用如下两种方法：

其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)6

3sin(2+-=π

x y 化简，即可配凑为：