人教版高中数学选修2-1教学课件：第三章第1课时
人教版高中数学选修2-1教学课件：第三章1-3
数学 (RA) –选修2-1 -GZ
④向量的模或长度:向量的大小叫作向量的模或向量的长 度. ⑤零向量:长度为 0 的向量. ⑥单位向量:长度为 1 的向量. 议一议:如何理解有向线段与向量的关系?两个向量能否比 较大小?(抢答)
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【解析】向量可用有向线段来表示,但有向线段不是向量,它 只是向量的一种表示方法.空间向量是具有大小与方向的量,两 个向量之间只有等与不等之分,而无大小之分.
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重点:空间向量的有关概念及线性运算法则;共线、共面向量 的判定及应用. 难点:共线、共面向量的判定定理、判定方法及应用. 学法指导:学习本课时内容可先复习必修 4 中关于平面向量 的相关知识,这样可通过类比平面向量来学习空间向量,但要注 意空间向量的独特之处,比如共面的判定等.向量共面的判定及 应用是本课时的一个重难点,要结合导学案中所提供的例题去熟 练掌握.
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预学 3:共线向量和共面向量的概念及定理 (1)共线向量:若表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量,读作 a 平行于 b,记作 a∥b. 共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要 条件是量,叫作共面向 量. 共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb.
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预学 2:空间向量的加、减、数乘运算的运算法则及满足 的运算律 加法运算的法则: 平行四边形法则
三角形法则
减法运算的法则:三角形法则
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高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
福建省邵武市第七中学高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》课件新人教A版选修2-1
相反向 量 __方__向____相反且__长__度____相等的向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？ 【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边 形法则，减法满足三角形法则．
2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？
【提示】 平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一 个向量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同， 当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
演示结束
课 1.理解空间向量的概念．(难点) 标 2.掌握空间向量的线性运算．(重点) 解 3.掌握共线向量定理、共面向量定理 读 及推论的应用．(重点、难点)
空间向量的概念
【问题导思】 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量
O→A，O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
如图 3－1－6，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分
图 3－1－6 别为 BB1 和 A1D1 的中点，证明：向量A→1B、B→1C、E→F共 面．
【证明】 E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B ＝12B→1C－A→1B， 由向量共面的充要条件知，A→1B、B→1C、E→F是共面向量.
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
人教版【高中数学】选修2-1第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 平面的法向量1.平面法向量的定义(1)定义:已知平面a 如果向量n 的基线与平面a 垂直,则向量n 叫做平面a 的法向量或说向量n 与平面a 正交.(2)平面法向量的性质:①平面a 的一个法向量垂直于与平面a 共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.2.平面的法向量的求法方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y,z 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在利用方法二求解平面的法向量时,方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n 有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.3.平面法向量的作用详解:设n 1,m 2分别是平面a,β的法向量,m 是直线l 的方向向量,则有:①l ∥a 或l ⊂a ⇔m ⊥n 1⇔m ·n 1=0；②l ⊥a ⇔m ∥n 1；③a ∥β或a 与β重合⇔n 1∥n 2；④a ⊥β⇔=n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0.知识点二 三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.①三垂线定理的符号描述如右图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥OA,则a ⊥PA.②三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥PA,则a ⊥OA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a ⊥b 的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b 便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a 垂直,从而得出a,b 垂直.典型例题分析题型1 求平面的法向量【例1】已知平面a 经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a 的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a 的法向量.答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a 的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=--=--,0342,042z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.0,2z y x 令y=1,则x=2,所以平面a 的一个法向量为n=(2,1,0 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC 的一个单位法向量 答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC 的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=+-=+-,053,043z x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,53,43x z x y ,即平面A 的法向量为n(x ，43x,53x),所以平面ABC 的单位向量为n 0=n n =(76920,76915,76912)或n 0=-n n =(-76920,-76915,-76912). 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求平面ACD 1的法向量n 和单位法向量n 0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得AC =(-1,1,0),AD =(-1,0,1).又n ⊥面ACD,得n ⊥,n ⊥,所以有⎩⎨⎧=-∙=-∙,0)1,0,1()1,,(,0)0,1,1()1,,(y x y x 得⎩⎨⎧==,1,1y x ∴n=(1,1,1), n 0=n n =111)1,1,1(++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,33,33. 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB 1⊥AD 1,DB 1⊥CD 1,从而DB 1⊥平面ACD 1,所以1DB 就是平面ACD 1的一个法向量.【变式训练2】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在BC,DD 1上是否存在点E,F,使B 1是平面ABF 的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F 满足的条件;若不存在,请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B 1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),B 1=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).∵·E B 1=0,∴AB ⊥B 1E. 若F B 1是平面ABF 的法向量,则F B 1·=m-1+1-h=m-h=0,∴h=m 即E,F 满足D 1F=CE 时,F B 1是平面ABF 的法向量.所以存在,且E,F 满足D 1F=CE.题型2 三垂线定理及其逆定理的应用【例3】 如下图,下列5个正方体图形中,线段l 是正方体的条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)① ② ③④ ⑤ 解析 本题以正方体为依托,主要考查直线与平面垂直的判定,比较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固定,截面MNP 变动,l 与面MNP 是否垂直,可以从正、反两方面进行判断,MN 、NP 、MP 三条线中,若有一条不垂直l ,则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条相交直线与l 都垂直,则可断定l ⊥ 面MNP.答案 解法一:如果记正方体对角线l 所在的对角线截面为a,各图可讨论如下:在图①中,MN 、NP 在平面a 上的射影为同一直线,且与l 垂直故l ⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是MP 的垂线,故l ⊥MP ；在左侧的射影是MN 的垂线,故l ⊥MN,从而l ⊥面MNP.在图②中,由MP ⊥面a,可证明MN 在平面a 上的射影不是l 的垂线,故l 不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.在图③中,点M在a上的射影是l的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a 上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面MNP.在图④中,平面a平分线段MN,故l⊥MN,又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥平面MNP.在图⑤中,点N在平面a上的射影是对角线l的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且l与这一直线垂直从而l⊥面MNP.至此,得①④⑤为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角线l的方向向量可取为l=(2,2,-2).对图①,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),=(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由l·MP=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图②,有MN=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1),由l·≠0知l与面MNP不垂直.对图③,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由l·MP≠0知与面MNP不垂直.对图④,有MP=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1),=(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图⑤,有MP=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),MN=(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP综合得本题答案为①④⑤.方法指导从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可.【变式训练3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1⊥平面EFG.答案如下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以EF ⊥BD.因为BD 为BD 1在平面AB 上的射影,所以BD 1⊥EF(三垂线定理).同理BD 1⊥EG,故BD 1⊥平面EFG.【例4】 如右图,P 是△ABC 所在平M 面外一点,且PA ⊥平面ABC,若O,Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心,求证:OQ ⊥平面PBC.解析 欲证线面垂直,只须证明OQ 垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA ⊥面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解答案PAE BC PE BC PBC Q AE BC ABC O 平面的垂心是的垂心是⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒∆⊥⇒∆. 因为OQ ⊂平面PAE,所以OQ ⊥BC,因为PA ⊥平面ABC,BFC 平面ABC 所以BF ⊥PA,又因为O 是△ABC 的垂心,所以BF ⊥AC,所以BF ⊥平面PAC,则FM 是BM 在平面PAC 上的射影. 因为BM ⊥PC,根据三垂线定理的逆定理,可得FM ⊥PC,从而PC ⊥平面BFM,又OQ ⊂平面BFM,所以OQ ⊥PC,又PC ∩BC=C,所以OQ ⊥平面PBC.方法指导 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具. 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,求证:A 1C ⊥BC 1.答案 如上右图,取BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1,由正三棱柱的性质知AD ⊥面BCC 1B 1,A 1D 1⊥面BCC 1B 1,所以B 1D 、CD 1分别为AB 1、A 1C 在面BCC 1B 1上的射影.因为AB 1⊥BC 1,所以B 1D ⊥BC 1(三垂线定理的逆定理)又D 、D 1分别为BC 、B 1C 1的中点,所以B 1D ∥CD 1,所以CD 1⊥BC 1,所以BC 1⊥A 1C(三垂线定理).题型3 利用法向量证明平行与垂直【例5】已知正方体OABC-O 1A 1B 1C 1的棱长为1,E 是C 1O 1上的点,且C 1E=21EO 1,F 是CC 1上的点,且C 1F=21FC. (1)求平面A 1BC 1的一个法向量；(2)证明EF ∥平面A1BC1.解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A 1BC 1的一个法向量n,然后证明EF ⊥n.答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).(1)设n=(x,y,z)是平面A 1BC 1的一个法向量,则n ⊥1,n ⊥1BC ,从而n ·1=0,n ·1BC =0 ∵1=(0,-1,1),1BC =(-1,0,1),∴⎩⎨⎧=+-=+-,0,0z x z y x=z=y.取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面A 1BC 1的一个法向量.(2) 要证明EF ∥平面A 1BC 1只要证明⊥n.∵E(0,32,1)F(0,1,32),=(0,31,-31).∵n ·EF =31-31=0,∴n ⊥EF ,∴E ∥平面A 1BC 1. 又EF 不在平面A 1BC 1内,∴EF ∥平面A 1BC 1.方法指导 由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由EF =F C 1-E C 1=31(C C 1-11O C )=31(B B 1-11A B )=31B A 1,得∥B A 1,∴∥平面A 1BC 1,又EF ⊄平面A 1BC 1,故EF ∥平面A 1BC 1.或由=(0,31,-31),B A 1=(0,1,-1)=3EF 来证明.【变式训练5】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点,求证:(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.答案 如下图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C 1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以1FC =(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量,则n 1⊥,n 1⊥AE ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙==∙,02,0211z y n x n∴⎩⎨⎧-==,2,0y z x 取y=1.则n 1=(0,1,-2).同理可求n 2=(0,1,-2).(1) ∵n1·1FC =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥1FC ,又FC 1￠平面ADE,FC 1∥平面ADE.(2) n 1∥n 2,∴平面ADE ∥平面B 1C 1F.【例6】 在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BC 的中点,试在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.解析 若要在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P 的坐标,求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量,建立方程求出点P 的坐标,确定点P 的位置.答案 如右图,以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)E(21,1,0), C 1(0,1,1)∴11B A =(0,1,0,A 1=(-1,1,a-1) ,DE =(21,1,0)1DC =(0,1,1). 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=(x,y,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011111A n B A n ⇒⎩⎨⎧=-++-=.0)1(,0z a y x y 令z=1,则得x=a-1,所以平面A1BD 的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE 的一个法向量为n2=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0122DC n n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.0,021z y y x 令y=1,则得x=-2,z=-1,所以平面CB 1D 1的一个法向量为n 2=(-2,1,-1).因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,所以n 1·n 2=0,⇒-2(a-1)-1=0,解得a=21,所以当P 为CC 1的中点时,平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.规律总结 此题是确定点P 的位置,但考查的是两个平面垂直的充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否则将得到错误答案.【变式训练6】 如下图,△ABC 是一个正三角形,EC ⊥平面ABC,BD ∥CE,且CE=CA=2BD,M 是EA 的中点.求证:平面DEA ⊥平面ECA.答案 不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),EA =(3,1,-2),CE =(0,0,2),ED =(0,2,-1),设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1=(x 1,y 1,z 1)、n 2=(x 2,y 2,z 3),所以得⎩⎨⎧==-+,02,0231111z z y x ⇒⎩⎨⎧=-=,0,3111z x y ⎩⎨⎧=-=-+,02,02322222z y z y x ⇒⎩⎨⎧==,2,32222y z y x 不妨取n 1=(1,-3,0),n 2=(3,1,2)从而计算得n 1·n 2=0,所以两个法向量相互垂直,两个平面就相互垂直.规律 方法 总结(1)求平面法向量的方法:求一个平面的法向量的坐标的方法步骤:①建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=(x,y,z)②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2).③根据法向量的定义建立关于x 、y 、x 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙.0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.(2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决.(3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时巩固检测基础训练1. 下列说法中不正确的是（）A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2. 给定下列命题:①若n1,n2分别是平面a，β的法向量,则n1∥n2⇔a∥β；②若n1,n2分别是平面a,β的法向量,则a∥β⇔n1·n2=0；③若n是平面a的法向量,且向量a与平面a 共面,则a·n=0；④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 C(点拔:①③④正确,②中a∥p=mn∥m,)3. 给定下列命题:①若a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;②若a是平面a的斜线,平面β内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;③若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面β内的射影,则a⊥b；④若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b.其中,正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.3【答案】 B(点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有④正确.)4. Rt△ABC的斜边BCC平面a,顶点A∉a,则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 ( )A.一条线段或一个直角三角形B一条线段或一个锐角三角形C.一条线段或一个锐角三角形D.一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】 C(点拨:当平面ABC ⊥平面a 时,Rt △ABC 在平面内的射影是一条线段.当平面ABC 与平面a 斜交时,如右图所示,过A 作AO ⊥a,连接BO,CO,在△BOC 中,AB 2一AO 2=BO 2,在Rt △AOC 中,AC 2-AO 2=CO 2,②在Rt △ABC 中,AB2+AC2=BC2,③在Rt △ABC 中,cos ∠BOC=COBO BC CO BQ ∙∙-+2222,④ 将①②③代入④,得cos ∠BOC=COBO AO ∙∙-22<0,所以∠BOC 是钝角,所以△BOC 是钝角三角形.)5. 设A 是空间任意一点,n 为空间任一非零向量,则适合条件·n=0的点M 的轨迹是 .【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面(点拨:AM ·n=0称为一个平面的向量表示式,这里考察的是基本概念.)能力提升6. 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的单位向量是 .【答案】 ±（31，-32，32）(点拨:设单位法向量n=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0354,022,1222z y x z y x z y x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==32,32,31z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=.32,32,31z y x ） 7. 如下图,PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影,给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.其中真命题的序号是 .【答案】①②③(点拨:利用三垂线定理及其逆定理判断即可.)8. 如右图所示,在四棱锥P一ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】 DM⊥PC(点拨:由三垂线定理可知BD⊥PC,当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面BMD.所以平面MBD⊥平面PCD.)9. 如右图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. (1)求证:BD⊥平面ADC; (2)若H为△ABC的垂心,求证:H是D在平面ABC内的射影【答案】 (1)因为AD=BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,所以△ADB≌△ADC,AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,所以AB=BC,所以△ABD≌△CBD,所以△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,所以BD⊥平面ADC.（2）如右图所示,设D在△ABC内的射影为H′,连接CH′并延长交AB于E,因为CD⊥AD,且CD⊥DB,所以CD⊥面ADB,所以CD⊥AB,由三垂线定理的逆定理得CE⊥AB.同理,连接BH′并延长交AC于F,可得BF⊥AC,所以H′为△ABC的垂心,即D在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,所以H′与H重合,即H是D在平面ABC内的射影.。
人教版2017高中数学(选修2-1)3.2 第1课时 空间向量与平行关系 精讲优练课型PPT课件
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l，m的方向向量分别为a=(a1，a2，a3)，
b=(b1，b2，b3)，两个平面α ，β 的法向量分别为
u=(u1，u2，u3)，v=(v1，v2，v3)，则有如下结论：
位置关系
l∥m
向量关系
_____ a∥ b _____ a⊥ u _____ u∥ v
1.直线的方向向量一定是单位向量吗？
提示：不一定.直线的方向向量是与直线平行的一个非 零向量，长度不一定是1.
2.空间两个不共线向量一定共面吗？ 提示：一定共面.
【归纳总结】 1.点、直线、平面位置确定的关键
(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是
确定一个基点. (2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个 点和一个方向向量.
A.α ∥β
C.α ⊥β
B.α 与β 相交但不垂直
D.以上均不正确
【解析】选A.由已知得u∥v，所以α ∥β .
3.给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的； ②一个平面的所有法向量都是同向的；③平面的法向
量与该平面内的任一向量都是垂直的；④与一个平面
的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其 中正确的说法是________.
l∩m=A，则α ∥β ；②若l⊥α ，l⊥β ，则α ∥β .
(2)向量法：若平面α ，β 的法向量共线，则α ∥β .
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
【典例】(2014²新课标全国卷Ⅱ改编)如图， 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD，E为PD的中点.AB=AP=1，AD= ，试建立恰当
3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
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A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
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那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
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数学(RA) 选修1-1
第 1 课时
变化率问题与导数的概念
知识 目标 能力 目标 素养 目标
1.通过物理中的变化率问题及实际问题引入导数的概念 2.通过分析实际问题,掌握由平均变化率取极限推到瞬时变化率, 及求导数的基本步骤 通过构建导数概念,使学生体会极限思想,以及由特殊结论得到普 遍结论 通过导数概念的构建过程,使学生掌握由特殊到一般,再由一般指 导特殊数学问题推理数学结论的数学素养
数学(RA) 选修1-1
议一议:根据 《问题情境》 ,设运动员相对于水面的高度 h(单位:m) 与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求当 t=2 s 时运动员的瞬时速度. (指定小组回答,其他组补充)
数学(RA) 选修1-1
【解析】在 t∈[2,2+Δt]这段时间里,运动员的平均速度为
导数在研 究函数中 的应用 导数在实 际生活中 的应用
数 2.了解基本初等函数的导数公式 3.了解导数的四则运算法则 4.能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求次数不超 过三次的多项式函数的单调区间 2.了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系 3.会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上次数不超过三 次的多项式函数的最大(小)值 1.能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等的最优化问题 2.体会导数在解决实际问题中的作用
数学(RA) 选修1-1
数学(RA) 选修1-1
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、曲线切线 的斜率等),掌握函数在某点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导 函数的概念. 2.熟记基本导数公式(c,xn(n 为有理数),sin x,cos x,ex,ax,ln x,logax 的导数),掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,会求某些简 单函数的导数. 本章中导数的概念,求导运算,函数的单调性、极值和最值是重点知 识,其基础是求导运算,而熟记基本导数公式和函数的求导法则又是正 确进行导数运算的基础,复习中要引起重视.
数学(RA) 选修1-1
数学(RA) 选修1-1
知识点 导数的概 念 导数的运 算
新课程标准的要求 层次要求 1.了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义,了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 1 1.理解导数的定义,能根据导数的定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x的导
数学(RA) 选修1-1
数学(RA) 选修1-1
借助多媒体播放 2016 年 2 月跳水世界杯暨里约热内卢奥运跳水测 试赛中国队运动员邱波夺得男子单人十米跳台冠军的视频.本届赛事, 中国队在总共 8 个项目中获得了 6 金 4 银,以绝对优势领跑奖牌榜. 我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一定能够反映他们在 某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们 需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么如何才能求出运动员在某一 时刻的瞬时速度呢?
数学(RA) 选修1-1
重点:通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求,抽象概括出函 数导数的概念. 难点:使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义,由 此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并 由此得出导数的概念. 学法指导:借助多媒体播放跳水运动员的跳水视频,理解函数的平 均变化率的概念,合作探究变化快慢的关系在时间范围无限压缩中平均 变化率接近瞬时变化率的极限思想,通过瞬时变化率的求法得到导数的 概念,初步理解导数定义中的Δx,Δy 和 lim 的意义.
������ ������ (������ 2 )-f (������ 1 ) ������
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������ 2 -������ 1
.
我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
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பைடு நூலகம்
预学 2:函数的瞬时变化率 对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设Δ x=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
x
领域目标要求 通过导数及其应用的 教学,使学生经历由平均 变化率到瞬时变化率刻画 现实问题的过程,理解导 数的概念,体会导数的思 想及其内涵;掌握导数在 研究函数的单调性、极值 等性质中的作用;使学生 感受导数在解决数学问题 和实际问题中的作用,提 高学生运用导数的知识和 函数的思想分析、解决数 学问题与实际问题的能力
数学(RA) 选修1-1
预学 1:函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1) 变为 f(x2),它的平均变化率为
������ (������ 2 )-f (������ 1 ) ������ 2 -������ 1
.
自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量,记作Δy,这样函数的平均变化率就可 以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即
������ ������ (������ 1 )-f (������ 0 ) ������ (������ 0 +������ )-������ (������ 0 ) ������
=
������ 1 -������ 0
=
������
.
而当Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在点 x0 的瞬时变化率,瞬 时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
ℎ(2+Δ������ )-ℎ(2)
������
=-13.1-4.9Δt m/s,当Δt 无限趋近于 0 =-13.1-4.9Δt 趋近于-13.1.
时,v=
ℎ(2+Δ������ )-ℎ(2)
������
故当 t=2 s 时,运动员的瞬时速度为-13.1 m/s.
数学(RA) 选修1-1
预学 3:平均变化率与瞬时变化率的区别与联系 (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时 变化率刻画函数值在点 x0 处的变化的快慢. (2)联系:当Δx 趋于 0 时,平均变化率