第三章 静电场中的电介质习题及答案

第三章 静电场中的电介质 一、判断题
1、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的r ε1
倍。

×
2、对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。

√
3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。

（内有自由电荷时，有体分布） ×
4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。

×
5、在无限大电介质中一定有自由电荷存在。

√
6、如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。

√
7、在均匀电介质中，如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。

√
8、在均匀电介质中，只有P
为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。

P =恒矢量 0=∂∂+∂∂+∂∂z P y P x P z
y x
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z
P y P x P z y x p ρ
×
9、电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷。

√
10、电位移矢量D
仅决定于自由电荷。

×
11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。

√
12、在无自由电荷的两种介质交界面上，P f
E E 线连续，线不连续。

(其中，f E
为自由电
荷产生的电场，p E 为极化电荷产生的电场)
√
13、在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。

√
14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。

× 15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下，把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。

× 16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的
r ε分之一。

√
二、选择题
1. 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为r ε的均匀电
介质充满电容器。

则下列说法中不正确的是：
（A ） 介质中的场强为真空中场强的
r ε1
倍。

（B ） 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的r ε1倍。

（C ） 介质中的场强为原来场强的r ε1
倍。

（D ） 介质中的场强等于真空中的场强。

D
2. 如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与
没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比
(A)增多 （B ）减少 （C ）相同 （D ）不能比较 A
3. 在图中，A 是电量0q 的点电荷，B 是一小块均匀的电介质，321s s s 和、都是封闭曲面，
下列说法中不正确的是：
（A ）⎰⎰⋅=⋅31
s s s d D s d E
（B ）⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅1
2
3
s s s s
d D s d D s d D
（C ）s
d E s d E s d E s f s f s f ⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰
3
2
1
（D ）f
c f b f a E E E E E E 〈〈〉，，
D
4. 在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r ，高度为h 的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度P P
底面与垂直，当h »r 时，则空腔中心D E D E 和与介质中
和00的关系为： （A ）E E r ε=0
（B ）00ε=
D E （C ）000E D ε=
（D ）D D =0
C
5. 在均匀极化的，挖出一半径为r ，高度为h 的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度P P
底面与垂直，当h «r 时，则空腔中心00E D E D 和与介质中和的关系为：
（A ）E E r ）（10-ε= （B ）00
0ε=
D E （C ）000E D ε=
（D ）D D r ε=0
B
6. 一个介质球其内半径为R ，外半径为R+a ，在球心有一电量为0q 的点电荷，对于R <r <R+a
电场强度为：
A a
0q b
c
B
1
S 2
S 3
S P 2r
E
P
E
（A ）2004r q r επε (B)2004r q πε (C)20
4r q π (D)2041r q r r πε-ε）（
A
7. 一内半径为a ，外半径为b 的驻体半球壳，如图所示，被沿+Z 轴方向均匀极化，设极
化强度为k P P ˆ=
,球心O 处的场强是：
（A ）
K
P E ˆ600ε-= （B ）
K
P E ˆ600ε= （C ）K
P E ˆ
30ε-=
（D ）00=E
D
8. 内外半径为21
R R 和的驻极体球壳被均匀极化，极化强度为P P
；的方向平行于球壳直径，壳内空腔中任一点的电场强度是：
（A ）
03ε=P E
(B)0=E
(C)
03ε-=P E (D)032ε=
P E B
9. 半径为R 相对介电常数为r ε的均匀电介质球的中心放置一点电荷q ，则球内电势ϕ的
分布规律是：
（A ）
r q 04πε=ϕ (B)
r q
r επε=
ϕ04 (C)
R q
R r q r 004114πε+-επε=
ϕ）（ (D)）（R r q r 1
140-επε=
ϕ
C
10. 球形电容器由半径为1R 的导体球和与它同心的导体球壳所构成，球壳的内半径为2R ,
其间一半充满相对介电常数为r ε的均匀电介质，另一半为空气，如图所示，该电容器的电容为：
（A ）
122
104R R R R C r -επε=
（B ）
122
1012R R R R C -=
πε b a O z
1
R 2
R r
ε
（C ）
122
1022R R R R C r -=
επε （D ）1
22
1012R R R R C r -ε+πε=
）（
D
11. 把一相对介电常数为r ε的均匀电介质球壳套在一半径为a 的金属球外，金属球带有电
量q ，设介质球壳的内半径为a ，外半径为b ，则系统的静电能为：
（A ）2
02
8a q W πε= (B)）
（b a q W r r 11802-ε+επε= （C ）
）
（b a q W r 11802-επε= (D)
）
（b a q W r r 111802-εε-πε= B
三、填空题
1、如图，有一均匀极化的介质球，半径为R ，极
化强度为P ，则极化电荷在球心处产生的场强 是（ ）在球外Z 轴上任一点产生 的场强是（ ）
03ε-
P 30332Z P R ε
2、带电棒能吸引轻小物体的原因是（ ）。

轻小物体由于极化在靠近带电棒一端出现与带电棒异号的极化电荷 3、附图给出了A 、B 两种介质的分界面，设两种介质 A 、B 中的极化强度都是与界面垂直，且B A P P 〉，当 取n e ˆ由A 指向B 时，界面上极化电荷为（ ）号。

当n e ˆ
由B 指向A 时，界面上极化电荷为（ ）号。

正 负
4、如果电介质中各的（ ）相同，这种介质为均匀电介质。

如果电介质的总体或某区域内各点的（ ）相同，这个总体或某区域内是均匀极化的。

χ P
5、0C C r ε=成立的条件是（ ）。

介质为均匀介质
6、在两种不同的电介质交界面上，如果交界面上无自由电荷，则
n n E E 21-= ( )。

0εσP
P
z
R
A A
P B
B P
7、介质中电场能量密度表示为
2021
E r E εε=
ω 只适用于（ ）介质。

E
D E •=ω21适用于( )介质。

各向同性的均匀线性 线性
8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）
然后使电容器充电至电压U 。

在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。

2
02U L s r εε
9、平行板电容器的极板面积为s ，极板间距为d 中间有两层厚度各为21d d 和的均匀介质（d d d =+21）,它们的相对介电常数分别为21r r εε和。

(1)当金属板上自由电荷的面密度为
f
σ±时，两层介质分界面上极化电荷的面密度
p
σ= ( )。

（2）两极板间的
电势差=ϕ∆( )。

（3）电容C= （ ）。

f
r r r r σεεε-ε2121 f r r r r d d σεεεε+ε2
101221 1212210d d s
r r r r ε+εεεε
10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电 介质，相对介电常数分别为321r r r εεε和，。

极 板面积为A ，两极板的间距为2d,略去边缘效 应，此电容器的电容是（ )。

⎪⎪⎭⎫
⎝⎛ε+εεε+εε32321022r r r r r d A
11、无限长的圆柱形导体，半径为R ，沿轴线单位长度上带电量λ，将此圆柱形导体放在无限大的均匀电介质r ε中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（ ）。

R r r
πελ-ε-21）（
12\半径为a 的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b ，导线与圆筒间充满介电常数为r ε的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为-λ,略去边缘效应，则沿轴线单位长度的电场能量是（ ）。

a b
r ln 402επελ
13、一圆柱形的电介质截面积为S ，长为L ，被沿着轴线方向极化，已知极化强度P
沿X
方向，且P=KX （K 为比例常数）
坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示 则极化电荷的体密度（ ） 在X=L 的端面上极化电荷面密度为（ ） 极化电荷的总电量为（ ）。

K P -=ρ KL P =σ 0=P Q
A
1
r ε2
r ε3
r εd
d
x
y
z
P
o
14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（ ）。

四、问答题
1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？
答：从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。

结果在导体表面出感应电荷。

达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。

导体中自由电子的宏观移动停止。

在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。

电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。

结果出现束缚电荷。

束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场，达到稳定时，电介质内部的电场不为零。

2、为什么要引入电位移矢量D ？E 与D 哪个更基本些？
答：当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化电荷的场反过来改变原来场的分布。

空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：
p f E E E +=
因此，要求介质中的E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。

而极化电荷的分布取决
于介质的形状和极化强度P ，而E P χε=0,而E 正是要求的电场强度。

这样似乎形成计算上
的循环，为了克服这一困难，引入辅助量D 。

由0
q S d D S =⋅⎰
知，只要已知自由电荷，原则
上即可求D ，再由E D r εε=0求E 。

故D 更基本些。

3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连
接时会产生什么现象？为什么？
答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。

这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。

且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。

五、证明题
1、一个半径为R 的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为
f
ρ，设介质是线性、
各向同性和均匀的，相对介电常数为r ε，试证明球心和无穷远处的电势差是：
02
3212ερ⋅
ε+εR
f r
r 证明：当R r ≤时以球心为心，r 为半径作球面（高斯面）
如图虚线所示，由对称性和D
的高斯定理得
r
D r r D S d D f
f S 3
3
44132
11
ρπρπ=
⋅=⋅=⋅⎰
q 2q -q
2q
-d d
d d r
R
r
f
ρr ε
由E D r εε0=得
r f r r
D E εερεε001
13=
=
当R r >时取高斯面如图虚线所示，同理得
2
03
223
23
222333
44r R E r R D R r D S d D f f f S
ερρπρπ=
=
⋅=⋅=⋅⎰
取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。

根据电势与场强的关系得
()
r
r f r f f r f R f R
r f R R R R dr r
R
dr r l d E l d E εεερεερερεερερεερϕϕ2123 2113 36 33 020
2
02
02203
0210+=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+
=+=
⋅+⋅==∆⎰⎰
⎰⎰∞
六、计算题
1、将一个半径为a 的均匀介质球放在电场强度为E 0的均匀电场中；电场E 0由两块带等量
异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为εr ，
（1）求介质小球的总电偶极矩
（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E 0不变），求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。

解：（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为'σ，在球心产生的电场强度为'E
，则球心的场强为
E E E C '+=
0……①
如图1-1因
θσcos ˆP P n
=⋅='
……② 由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为
θ
θθπσπεθπεπ
d a a a q d E cos sin 241cos 40
22020⎰
⎰⋅'=
'='
⎰πθθθε=020cos sin 2d P
σE '
θ
a
r
ε
03ε=
P
……③ 图1-1
其方向与0E
方向相反
所以
003εP
E E c -
=……④ 根据P 与E 的关系 c r c E P P ）（10-==εε……⑤ 由④、⑤式得
213E P r r +-=
εεε）（
由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为
3
00034
213a E PV P r r πεεε⨯+-==）（
003
214E a r r +ε-εεπ=）（……⑥
（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设θσ=σ'cos 0 根据对称性则球内的场强为
⎰
⎰π
θ
θθπ⋅σ'πε=
θπε'='0
22
020cos sin 241
cos 4d a a a q d E c
⎰πθθθεσ=0
200cos sin 2d 003εσ=……⑦ 其方向与0E
方向相反
由静电平衡条件得
00
00
03c c
E E E E σε'+='== 图1-2
0003E σε=……⑧
在球面上取一电偶极子，电量为
θθπd a dq sin 22
=偶极子臂为a l 2=，根据对称性，元电偶极矩为
22sin 2cos dP a d a σπθθθ'=⋅⋅⋅
θθθπσ=d a 2
30cos sin 4……⑨ 由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为
θ
θθπε=⎰π
d E a P 20
203
0cos sin 12
03003043
1
12E a E a πε=⋅
πε=
-σ +-----
+++++
dq
'0
E θ
a
2、一圆柱形电介质长为L ，其横截面的半径为R ，被沿着轴线方向极化，极化强度i
kx P ˆ=
（k 为一常数），设坐标原点O 在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求：
（1）在介质圆柱中心一点的电场强度E 和电位移D ； （2）在坐标原点O 处的电场强度E 和电位移D 。

解：极化电荷的体密度为
K x P
P -=∂∂-
=ρ
即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在0=x 的端面上的极化电荷面密度为
001
1=-===x n P P P σ
在L x =的端面上的极化电荷密度为 KL
P P L x n P ====2
2
σ
（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L 处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得
i
L R L E P ˆ4
2122
20
2
）（+
-
εσ-=
i
L R L KL ˆ412220）（+-ε-
= 由电位移矢量定义式P E D +=0ε得中心处的D 为
i KL L R KL KL D ˆ2422222）（+++-= i
L R KL ˆ42222
+=
（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。

在距原点x 处，取一圆盘，厚度dx 如图所示，其上电量为 dx R K dq P 2π=
圆盘上电荷面密度为
kdx
R dx R K P -==22ππσ
该圆盘在原点O 处产生的电场为
i
x R x E d P e P ˆ)1(2220+-=εσ
i
x R x Kdx ˆ12220）（+-=ε
体极化电荷在原点O 处产生的电场强度为
⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=i x R x kdx E P ˆ12220ερ i x R K x K L L ˆ220
2
2000
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=εε
i KR L R K KL ˆ2220
2200）（ε++ε-ε=
面极化电荷在原点O 处产生的电场强度为
i L R L kL E P ˆ12222
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--=σ
o
x
L
x
dx
P
P E E E ρσ+= 2
i KR L R K KL L R KL KL ˆ
222220
220
022020）（ε+
+ε-
ε++ε+ε-=
200ˆ12ˆ12KR i
R KR i
εε=-=
（（
i L R R KR E P E D ˆ122
200）（+-=ε=+ε=
3、一块柱极体圆片，半径为R ，厚度为t ，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀
的，极化强为P ， 试计算在轴线上的场强E 和电位移D （包括圆片内外）。

解： 在垂直x 轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为
ˆˆp n
p p n
p σσ-+=⋅=-=⋅= 对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为
i P i P P E ˆˆ22000εεε-=+-=）（内
电位移矢量为
i
P i P P E D ˆˆ0
00+-=+=εεε 内
对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。

在距原点⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
≥2t x x 处，正负带电圆盘产生的场强分别为 i
t x R t x E ˆ22122
20））
（（+++-εσ-=--
i t x R t
x P ˆ22122
20））
（（+++
-ε-=
0ˆ12t x P E i ε+-
=
-（
该处的总电场强度为
ˆt t x x E E E i
+-+
-=+=-
（
因为t 很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项
σx
P
t
R p
=σp -=x
取
2
22
222
2
2
）
（）
（）（t x R t x t x R t x t f -+-
-
+++
=
则有
00=）（f
23
222
0）（）（x R R f +='
所以
[]i t f f P
E ˆ0020
）（）（'+=ε
i
x R t
PR i x R t R P ˆ2ˆ022
3
2202232220
）
（））（（+ε=
++ε=
电位移矢量为
i
x R t R P P E D ˆ212
3
2220））（（++
=+ε=
4、半导体器件的p-n 结中，n 型内有不受晶格束缚的自由电子、p 型区内则有相当于正电荷的空穴。

由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p 区扩散，空穴向n 区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。

现设半导体材料的相对介电常数为ε，结外电荷体密度()0=ρx ，结内电荷的体分布为()()
线性缓慢变结,- a x a ekx x ≤≤-=ρ式中e 为电子电量，k 为常数，试求p-n 结内电场强度和电势的分布，并画出()x ρ、()x E 和()x ϕ随x 变化的曲线。

解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点'x 处取宽度为'dx 的无限大平面，该平面电荷密度为
()x dx σρ=、、
该带电平面在结内P 点产生的场强为
()0022r r x dx dE ρσεεεε==、、
OB 区电荷在P 点产生的场强为
01
2a
BO r
E dE ekx dx εε==⎰⎰
、、
图4-1
20
01|22a
r ek
x εε=
⋅、
x
204r eka εε=
所以
i
eka E r BO ˆ402εε=
OP 区电荷在P 点产生的场强为 图4-2
r x
r OP
ekx dx ekx E εεεε02
00421
==⎰、
、
所以
i
ekx E r OP ˆ402εε-=
PA 区电荷在P 点产生的场强为 图4-3
)
(4212200x a ek dx ekx E r a
x
r PA -=
=
⎰
εεεε、
、
所以
i
x a ek E r
PA ˆ)(4220-=
εε
图4-4
由叠加原理得P 点的总场强为
PA OP BO P E E E E +-=内r r r r ekx eka ekx eka εεεεεεεε020*********-
+-=
)(ˆ)(2220a x a i x a ek r
≥≤--=εε
场强随x 变化曲线如图4-3所示
由高斯定理知，结外的场强为
0,0 x , 0==≤≤->=ϕx a x a a
E P 取当外
在结内任意点P 的电势为
()
()
22003200
22
0036|312 2x a ekx
x x a ek dx
x a
ek dx E r
x
r x
r
x
P P --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
-==⎰
⎰εεεεεεϕ内内
()()0
2
2103
23000022023000,21 |23321 |233P a
r
a r r
P a r a
r r x a ek a
x dx
ek eka a x x x a ek
a x dx ek ek
a x x ϕεεεεεεϕεεεεεε-->=-⎛⎫=-=-
⎪⎝⎭<=-⎛⎫=
-= ⎪⎝⎭⎰
⎰外外2当时电势为
当时电势为
电势随x 变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随x 变化曲线如图4-2所示。

5、半导体器件的p-n 结中，n 型内有不受晶格束缚的自由电子、p 型区内则有相当于正电荷的空穴。

由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p 区扩散，空穴向n 区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。

现设半导体材料的相对介电常数为ε，如果电荷的体分布为
n 区：()e N x D =ρ
（突变结）
p 区：
()e N x A -=ρ
式中A D N N ,是常数，e 为电子数且
N
D p A x N x N =，其中
n
p x x 和各为p 区和n 区的厚度，
试求结内电场强度和电势的分布并画出()x ρ、()x E 和()x ϕ随x 变化的曲线。

解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P 区内距原点x 处找一个考察点P ，P 点的场强由三部分即BO 段、OP 段和PA 段体分布电荷产生的。

每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为'dx ρσ=
图5-1 图5-2 图5-3
由
0'2dx dE ρε=
得
000'22n
x D n D BO N ex N e E dx εε==
⎰ 00022x A A OP
N e N e E dx x
εε'=-=
-⎰ )(220
0x x e
N x d e N E P x x A A PA P -ε='ε=
⎰
x n
p p x p n x p x
所以，P 点的总场强为
00022D n A A P P N ex N e N e
E x x εεε=
+-
)(0
x x e
N P A -ε=
图5-5
取原点电势为零，由电势定义得
)2(20
x x ex
N dx E P A x
P P --
=⎰εϕ
在n 区内取一点P ，如图5-2所示 同理得各段在P 点的场强为
0000222P x D n A A P OA
N ex N e N ex E dx εεε===⎰ 0
2()2D OP
D PB n N e
E x
N e
E x x εε=-=
-
所以，P 点的总场强为
()
D P n N e
E x x ε=
-
同理可得P 点的电势为
(2)2D n N ex
x x ϕε=
-
画出()x ρ、()x ϕ和()x E 随x 变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示
6、平行板电容器的极板面积为S ，间距为d ，其间充满线性的、各向同性的电介质。

介质的相对介电常数εr 在一极板处为εrl ，线性地增加到另一极板处为εr2。

略去边缘效应。

（1）求这电容器的电容C ；
（2）当两极板上的电荷分别为Q 和-Q 时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。

解：（1）建立坐标轴，如图所示 设1r r kx εε+= ， d x ≤≤0 则 12r r kd ε+=ε 由此得
d k r r 1
2ε-ε=
因此板间任一点的介电常数为
1
1
2r r r r x d
εεεε+-=
将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为x ，厚
度为dx 一个电容元，该电容元的电容为
dx
dx
s
x d dx
s
dC r r r r )(
11
200εεεεεε+-=
=
其倒数为
1
1211
21201120)
(
)()(1r r r r r r r r r r r x d x d d s d x d s dx dC ε+ε-εε+ε-ε⋅
ε-εε=ε+ε-εε=
积分得
d
r r r r r x d s d C 0112120)ln()(1ε+ε-εε-εε=
s d r r r r )(ln 1201
2
ε-εεεε=
所以
12
120ln )(r r r r d s C εεε-εε=
(2)作一圆柱形高斯面S ，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理Q
S d D S
=⋅⎰ ，得电位移矢
量为
S Q D =
由E 与D 的关系和
00r
r P
Q
E S εεεε=
=
根据电位移矢量定义式P E D
+=0ε得，极化强度
为
S Q S Q S Q E D P r r r ε-ε=ε-=
ε-=110
极化电荷体密度为
211
1'r r
r r
r P Q Q Q x x S S x S x εερεεε⎛⎫⎛⎫-∂∂∂∂=-
=-==- ⎪ ⎪
∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
()()()21212122
22121111 r r r r r r r r r r r r r Qd Q Q
S d S S x d d x d εεεεεεεεεεεεε---=-
=-=---+⎛⎫⎡⎤⎣⎦+ ⎪
⎝⎭
正极板处的极化强度为
11011111r r r Q Q Q
P D E S S S εεεε-=-=
-=
板表面上的极化电荷面密度为
1
'
11111ˆr P r Q
P n P S εσε-=⋅=-=-
负极板处的极化强度为
()220221r r Q
P D E S
εεε-=-=
板表面上的极化电荷面密度为
()2
2'22
1
r P r Q P S εσε-==
7、一半径为a 的导体球被内半径为b 的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r 处介质的相对介电常数()r r A r +=ε（A 为常数）。

如果内球带电荷Q ，外球壳接地，试求：
（1）在电介质中离球心为r 处的电势；
（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度； （3）介质中极化电荷的总量。

解：（1）根据对称性，以球心为心，r 为半径在介质内作球面（高斯面）S ，由D
的高斯定理得
Q r D S d D S
=π⋅=⋅⎰24
所以
()22000444r r Q
D r D Q
Q
E r A r r πεε
πεεπε=
===
+
因球壳的电势为零，故有
()()()0000411 4 ln ln 4 ln
4b
b
r r
r
b
r Q
E dr dr
A r r
Q
dr A r A r Q b b A A r r A b r A Q
A
b A r
ϕπεπεπεπε=⋅=+⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭
+⎛⎫
=- ⎪
+⎝⎭+=
+⎰⎰
⎰
(2)半径为a 球面上的极化强度为
()()()a A a QA a A a a Q
a a A Q a Q E D P a a a +π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-π=
+πε-π=
ε-=22
02041444
该表面上极化电荷面密度为 ()2
4Pa QA
P a A a σπ=-=-
+
半径为b 的球面上的极化强度为
()()022214444b b b Q Q Q b QA
P D E b A b b b A b b A b εππππ⎛⎫=-=
-=-= ⎪
+++⎝⎭
该表面上极化电荷面密度为
()
24Pb QA P b A b σπ==
+
半径为r 球面上的极化强度为
()()0221
444r r r Q Q QA P D E r A r r A r r επππ=-=-=
++
介质内极化电荷体密度为
P r
⋅-∇='ρ
r
εa
b
Q
()()()()
'22
2222
211111
sin sin sin 4 4r r QA r P P P r r r r r r r A r r QA r A r θϕρθθθθϕππ⎛
⎫
⎡⎤
∂∂∂∂=-++=- ⎪⎢⎥ ⎪∂∂∂∂+⎣⎦⎝⎭
=
+
(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即
⎰π⋅ρ+π⋅σ+π⋅σ=b
a
r Pb Pa P dr
r b a Q 2'2
2444
()()()⎰π⋅⋅+π+π⋅+π+π⋅+π-
=b a dr r r A r QA b b A a QA a a A a QA 2
222222444444
()()0
=+++-+++-=a A QA b A QA b A QA a A QA
8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一
层石蜡。

设球的半径为1cm ，空气的击穿场强为m V /105.26
⨯，石蜡的击穿场强为
m V /100.17⨯，其相对介电常数为2.0，问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少？
其中球的电势之值是多少？
解：设金属球带电量为Q ，由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为
()1122
04r Q
E r r r πεεr =
≤≤……①
()222
04Q
E r r πεr =
≥……②
取1r r =，2r r =代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为
12014r Q
E πεεr =
……③ 22024Q
E πεr =
……④
由③式和④式联立得
22201111
2
02244r r πεεr E εr E r πεE E ==
……⑤
211Δr r r r r =-=……⑥
将已知数值代入⑥式得 ()
cm r 122-=∆
由电势与场强积分关系得
⎰⎰∞
+⋅=2
2
1
21r r r dr
E dr E ϕ
2
1
2
max 2
2
00012021114444r r r r r Q Q Q
Q dr dr r r r r r ϕπεεπεπεεπε∞
⎛⎫=+=
-+ ⎪
⎝⎭⎰
⎰
……⑦ 1
r 2
r
将
12
104E r Q r επε=代入⑦式得 22
11111
221
11r r E r E r r r ϕε⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭ 2211111221
21111r r r E r E r r r r r εε⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭……⑧ 将已知数据代入⑧式得
14172
1110110110ϕ---⎛
=⨯⨯⨯
⨯⎝
51104V ⎛=+⨯ ⎝⎭
9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R 1，与它同轴的外圆筒的内半径为R 2，长为L 、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R ，它们的相对介电常数分别为21r r εε和，设两导体圆筒之间的电势差U =ϕ-ϕ21略去边缘效应，求：介质内的电场强度。

解：设充电后，单位长度的电量为λ，由对称性和介质中的高斯定理得
L
rL D S d D S
λπ=⋅=⋅⎰2
2D r λ
π=
由D 与E
的关系得两介质内的场强分别为 1012r E r λ
πεε=……①
2022r E r λ
πεε=
……②
圆筒之间的电势差为
2
2
1
1
120102
11
22R
R R R R R
R R
r r U E dl E dl dr dr r r λλπεεπεε=⋅+⋅=
+
⎰⎰⎰⎰
22101102012
ln ln ln ln 222r r r r R R R R R R
R R λλλπεεπεεπεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭……③
由③式得导体圆筒电荷的线密度为
021
1
22ln ln r r U R R R R
πελεε=
+……④
将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为
2
1212112111
222
2112111ln ln ln ln 111ln ln r r r r r r r r r U
U
E R R R r R R R R R r U E R R r R R εεεεεεεεε=
=
⎛⎫+ ⎪ ⎪+
⎪ ⎪⎝⎭=
+
10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。

图中所示是这种电缆的剖面图。

若相对介电常数321r r r ε>ε>ε的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为λ。

试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？
解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为
r D L
rL D S d D S
πλλπ22=
=⋅=⋅⎰
根据E D r
εε0=知，介质中离轴心分别为r 处的电场强度为
()()()d r c r E c r b r E b r a r
E r r r ≤≤=
≤≤=
≤≤=
3032021012 2 2επελ
επελ
επελ
（2）当r 分别等于a 、、b、时，各层电场强度为极大值，其值为
a E r 10max 12 επελ
=
b E r 20max 22 επελ
=
c E r 30max 32επελ
=
（3）当321E E E ==时，有
332211111r r r r r r εεε=
=
所以====r r r r r r r r εεεε332211常数时，=E 常数
11、平行板电容器的两极板相距为a ，极板面积为S ，两极板之间填满电介质，绝对介电常
数按下列规律变化()a
a x /0+ε=ε，x 轴的方向与平板垂直，x 轴的原点在一块极板内表面
上，若已知两极板间电势差为U ，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。

解：在距原点为x 处取一厚度为dx 的平行板电容器，其元电容为
ε1
r ε2
r ε3r a
b
c
d
()adx S a x dC +ε=
其倒数为
()S a x adx dC +=
01ε
积分得
()2ln 2ln |ln 10000S
a
a a S a a x S a C a
εεε=
=+=
所以
0ln 2S
C a ε=
极板上的自由电荷 为
0ln 2f U
q CU a ε==
由如图虚线所示作高斯面，由高斯定理得板内的电位移矢量为
0ln 2f f q U
D S
a εσ==
=
板内的场强为
()()000
ln 2
ln 2
ln 2
U U
D
U E x a a x a a a
εεε
εε=
=
=
=
++⋅
板内的极化强度为
()()000001
1ln 2
ln 2
ln 2ln 2U
U
U U x P D E a x a a x a a x a εεεεε⎛⎫=-=
-
=
-= ⎪
+++⎝⎭
在0=x 介质表面上，束缚电荷面密度为
00P P σ=-=
在a x =介质表面上束缚电荷面密度为
2ln 2Pa U
P a εσ==
介质中束缚电荷体密度为
()()()0022
2ln 2ln 2
P a x a ax U U P
x a x a x a εερ+-∂=-=-=-∂++
12、一空心的电介质球，其内半径为R 1，外半径为R 2，所带的总电荷量为Q ，这些电荷均匀分布于R 1和R 2之间的电介质球壳内。

求空间各处的电场强度。

介质的相对介电常数为r ε. 解：由对称性和高斯定理得
当r>R 1时E=0 当21R R R ≤≤时
⎰
⋅=⋅24r D S d D π
1
R 2
R Q
r
εU
a
x
o
S
()a
a x +ε=
ε0
()()()
()3313
3213313
32
2134
433
4Q
r R R R Q r R D R R r πππ=
⋅---=
-
所以
()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==23131320231320313044r R r R R Q
r R R R r Q D
E r r r επεεπεεε
当2R r >时
24r Q
D π=
所以
204r Q
E πε=
13、今有A 、B 、C 三导体板互相平行地放置，AB 、BC 之间的距离均为d.BC 之间充满相对介电常数为r ε的介质，AB 之间为真空，今使B 板带+Q ，试求各导体板上的电荷分布。

忽略边缘效应。

解：A 、B 板和B 、C 板各组成电容器，其电容分别为
d S
C 01ε=
d
S
C r εε02=
取垂直B 板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理
⎰
=⋅S
Q
S d D 得
Q S D S D =+21
由D 的法线连续性 D 1=D 2=D 得
S Q D 2=
再根据 E D r
εε0=得 S Q E S
Q E r εεε020122=
=
由此可得AB 之间和BC 之间的电势差为
S Qd d E U 0112ε=
= S Qd
d E U r εε0222=
=
A 、
B 极板所带电量为
2200111Q
S Qd d S C U Q =
=
=εε B 、C 极板所带电量为
2200222Q S
Qd d
S
C U Q r r ==
=εεεε
由电荷守恒定律知
A 、C 板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。

B 板两侧各带Q/2电荷。

14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E 的大小为220V/cm ，其方向
是指向瓷板且与它的表面法线成
45角。

设瓷板的相对介电常数0.6=εr ，求：（1）瓷板中
的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。

解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为±P σ，如图13-1所示。

在板内，极化电荷产生的电场强度为
0ˆP
P E n
σε=-
……①
式中n
ˆ为表面外法线方向上的单位矢量 根据场强叠加原理，板内的电场强度为
0P E E E =
+
以上三者关系如图13-2所示，由图可知
E =……②
极化电荷电密度为
n E E E n P P r r P ˆ))(1()1(ˆ000⋅+-εε=-εε=⋅=σ 图13-1
000
0(1)(cos (1)(1)cos p r r p r E σ
εεθ
εεσεεθ
=---=----
整理上式得
θε-εε-
=σcos )
1(00E r
r P ……③
将已知数据代入③式得
21245cos 102002006)
16(1085.8⨯⨯⨯-⨯-=-m V P σ 图13-2
2
71004.1m C -⨯= 222001085.81004.12)10200()1085.81004.1(12
72
22127⨯
⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=----E m V
E 46661083.1103.33210200101.138⨯=⨯+⨯+⨯=
15、在相对介电常数为r ε的煤油中，离煤油表面深度h 处，有一带正电的点电荷q ，如将
煤油看作为无限大均匀介质，：求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A 点处的极化电
荷面密度A σ'；（2）在煤油表面与点电荷相距r 处的B 点的极化电荷面密度B σ'；（3）煤
油表面极化电荷的总量Q '。

解：（1）在点电荷q 的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。

（如图）在煤油表面A 点，极化电荷面密度最大，随着离A 的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A 点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得
在空气中
02024εσ'+
επε=
A r n h q
E 空
在煤油中02024εσ'-
επε=A r n
h q
E 油
由边界条件
n n D D =空油，即n r n E E 油空εε=ε00，得
n σθ
E ˆr
εP P
σA
B
h r
q
+0
E P
E E
）（02
002
02424εσεπεεεσεπεA
r r A r h q h q '-='+
整理上式得
2211h q r r r A πεεεσ+-=
'
2）同理，B 点附近的液面两边场强法向分量为
在空气中
02024εσεπεB r n r h r q
E '+
=
空
在煤油中
02024εσεπεB
r n
r h r q E '-
=油
由边界条件n n D D =空油，得
）（020*******εσεπεεεσεπεB
r r B r r h r q r h r q '-='+⋅
整理上式得
3211r qh r r r B
πεεεσ⋅
+-='
3）以A 点为圆心，在液面上距A 为x 处选一小圆环，设小圆环边缘离q 的间距为r 。

显
然2
122
）（h x r +=
，小圆环面积xdx ds π2=，小圆环上极化电荷为 xdx r qh
ds Q d r r r ππεεεσ22113
⋅+-=
'='
2
32211）（h x qhxdx r r r +ε⋅+ε-ε= 所以
⎰⎰
∞
++ε-ε=σ='s
r r h x qhxdx
ds Q 0
23
2211）（
q
r r r ）（11
+εε-ε=
16、两个相同的空气电容器，电容都是900uF ，分别充电到900V 电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数r ε=2.0），再将两电容并联。

（1）求一电容器浸入煤油过程中能量的损失； （2）求两电容器并联后的电压； （3）求并联过程中能量的损失。

（4）问上述损失的能量到那里去了？ 解：（1）电容器极板上的电量为
62
0900109008110Q C U C --==⨯⨯=⨯ 电容器在空气中的储蓄的能量为
J C Q W 3.182109002108121216
42020=⨯⨯⨯==--
能量损失为
0182.2W W W J '
∆=-=- （2）并联后总电容为
0001C C C C r r ）（ε+=ε+=
并联后总电量为
Q Q 2=总
所以并联后电压为
V C Q C Q U r 600109001210812126
20=⨯⨯+⨯⨯=+ε==--）（）（总
（3）并联前的能量：
J
C Q C Q W r 8.5463.1825.36421210
2
02=+=ε+=前
并联后的能量：
20212121U C CU W r ）（后ε+==
J 48660010900212126=⨯⨯⨯+=-）（
并联过程中的能量损矢为
J W W W 8.608.546486-=-=-=∆前后
4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。

17、一平行板电容器的极板面积为S ，间距为d （d 2<<S ），两极间充满电导率为γ、相对介电常数为r ε的均匀导电介质。

设在t=0时，给两极板各充上电量+ Q 和-Q ，然后撤去电
源。

试求：（1）t=0时刻介质内的电场强度；（2）t=t 时刻介质内的传导电流；（3）t=0→t=
∞过程中，从介质内释放的总焦耳热。

解：（1）0=t 时刻，极板上的电量仍然为Q ，由高斯定理知，此时板内电位移矢量为
S Q
D =
σ= 电场强度为
S Q
D
E r r
εεεε00=
=
（2）由欧姆定理的微分形式知，t 时刻有
E j γ=
其中
S I
j =
，而dt dq I = 所以
S q
S I r εε⋅γ=0
q dt dq r εεγ
0=-
由初始条件0=t ，Q q =，解微分方程得
t r
Qe
q εεγ0-
=
所以t 时刻介质内的传导电流为
d
S
Q
+Q
-γ
εr。