连续傅里叶级数和傅里叶变换

条件 2 ：周期信号 x(t ) 在其周期区间 T 内只允许有限个极大 值和极小值。 条件 3 ：周期信号 x(t ) 在其周期区间 T 内只允许有限个不连 续点，且在这些不连续点上，函数是有限值。
说明：书上给出了分别不满足 3 个条件的例子，不符合狄里赫利
条件的信号属于反常信号，实际中一般不存在。因此，狄 里赫利条件不影响 CFS 的广泛性，对于实际的周期信号， 可以放心地使用其傅里叶级数表示。
连续傅里叶级数（CFS）和连续 傅里叶变换（CFT）
LTI系统对复指数信号的响应

将信号表示成一类基本信号的线性组合， 满足

由这类基本信号能构成相当广泛的信号 LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上应 十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一 个很方便的表达式


例：δ(t)、δ[n]及其派生 例：复指数信号
s ( t )
d e
st



h( )es d
y(t ) H ( s)est
H ( s) 系统函数
LTI系统对复指数输入的响应

连续时间情况

st { e 如果s=jω，则得到复指数信号 , s C} 的子集 复正弦信号集 {e jt , R}
k


Fk e j0t
jt
e
H ( )e
LTI
Biblioteka Baidu
y (t )
k


Fk H (k0 )e jk0t
其中， H (k0 ) 是 LTI 系统频率响应 H ( ) 在谐波频率 k0 上的函 数值。 上述结果可以得出时域分析的相同结论： ● LTI 系统输出 y (t ) 是 CFS 表达式，基波频率也是 0，即它是 与输入具有相同周期的周期信号或序列。 ● 尽管输出与输入都是相同基波频率的 CFS 表达式，但各自 的 CFS 系数不一样： LTI Fk Fk H (k0 )

k
■ 周期信号的频谱
通过上面的典型例子，可以得出周期信号频谱的主要特点： ● 周期信号的频谱都是离散频谱，每条谱线之间的间隔等于 为周期信号的重复频率( 0 2π T )。 如果周期 T 愈小，谱线愈稀疏，反之则愈紧密； ● 连续时间周期信号频谱一般有无穷多条谱线； ● 实周期信号的 CFS 具有共轭对称性，即
x
F0 等于 x(t ) 一个周期的平均值，显然有 F0 T，它代表 x(t ) 的直流分量；其他的 Fk 为
1
Sa( x)
2π
π
0
π
2π
3π
x
由此，周期矩形脉冲的 CFS 系数 Fk 可以写成： k0 Fk Sa k 0, 1, 2, T 2 其中，0 2π T 。因此，周期矩形脉冲 x(t )的 CFS 表示为 k0 jk0t jk0t x(t ) Fk e Sa e T k 2 k
说明：
(1) 周期时间函数不可能成为稳定的 LTI 系统的单位 冲激响应，故只有周期信号的傅里叶级数表示，一般不存在系 统的傅里叶级数表示； (2) 尽管周期信号在信号与系统研究中十分重要，但毕竟不 能代表所有信号，更不能表示系统。因此，仅有傅里叶 级数 ，还不能说明复正弦函数或序列可以构成相当广泛 的连续时 间函数或离散时间序列。傅里叶把傅里叶级数推广到傅里叶积 分，解决了这个问题，这正是他的杰出贡献之一； (3) 如果在频域中也引入冲激函数，傅里叶级数可以统一到 傅里叶变换中 ，傅里叶级数的性质也就 包含在傅里叶变换的 性质中。
叫做连续傅里叶级数系数， T 表示长度为 T 的任意区间。 这就是连续时间周期信号的傅里叶级数表示法，左式称为合 成公式，右式称为分析公式。它表明：周期信号都可以表示为与 重复频率0 2π T 成谐波关系的复正弦信号 e jk0t 的线性组合， 加权系数 就是傅里叶级数系数 Fk 。
k
由于上面例子中所求的偶对称周期矩形脉冲的 Fk 为实数，故可 以画出如下的实数频谱图。
例题 的周期矩形脉冲的频谱
T
Fk
当 T 4 时
6
8 4π
8
6
4 2 0 1 2 3 4 2π 2π 0
T

k
Fk
当 T 8 时
12
16 4π
16
12
8 4 0 2 4 6 8 2π 2π 0
LTI系统对复指数输入的响应

特征函数

在某个线性函数变换中，若有一种函数经历线 性变换后保持原函数不变，仅是原函数乘以一 个常数，那么这个函数成为该线性函数变换的 特征函数

特征值

特征函数线性变换后所乘的复常数
LTI系统对复指数输入的响应


对LTI系统，复指数信号est是特征信号，幅 度因子H(s)是相应的特征值 复正弦信号ejωt是特征信号，幅度因子H(jω) 是相应的特征值
LTI 系统对周期输入的响应
对稳定的 LTI 系统，它们对任何周期输入的响应，仍然是相 同周期的周期信号；但除数乘器和时移系统外，其输出在周期 区间上的波形有变化，这是由于与非冲激信号卷积的“时域扩 散”效应所致。
根据周期信号的傅里叶级数表示
x(t )
jt
和LTI 系统对复正弦信号之响应的知识 则连续时间或离散时间 LTI 系统对 x(t ) 的响应为
F k Fk , k k
它们有半数是独立的，另一半可以有此性质得到。因 此，实周期信号的频谱通常只画出正频域上的 Fk 和 k ，
●
周期信号的频谱包络和频谱宽度
谱线顶点连起来的光滑曲线称为频谱包络；通常把周期脉冲 信号频谱包络的第一个零点看作其频谱宽度的一种度量。例如， 周期矩形脉冲的频谱宽度为 B 2π 或 Bf 1 (Hz)。这表明： 周期脉冲信号或序列的频谱宽度与脉冲时域宽度成反比，脉冲宽 度愈窄，频谱宽度则愈宽。
2 2 2 π a 其中， b k x(t )sin k t dt 和 k T T T T
2π x(t ) c0 ck cos k t k T k 1

bk 1 2 2 a0 c0 x(t )dt 且有 ck ak bk 和 k arc tan T T ak
周期信号的频谱
【例 】 试求下图所示的周期矩形脉冲 x(t ) 的 CFS 表示。
x(t )

2T
1 T

2T
t
T
2 0 2
解： 用分析公式计算 CFS 系数 Fk ：
1 T2 1 2 jk0t sin(k0 2) jk0t Fk x(t )e dt e dt k 0 T 2 2 T T T k0 2 其中， 0 2π 。这里引入在信号分析中常用的抽样函数，即 T Sa( x) sin( x) x 它是一个偶函数，其图形见下图，且有如下性质： lim Sa( x ) 1 limSa( x) 0 ， x kπ k 1, 2, Sa( x) 0 x 0
0.5
0
t 0.5 x0 (t ) x1(t ) x2 (t ) x3 (t )
0.5
0
0.5
t
■ 连续傅里叶级数(CFS)
数学中的傅里叶级数理论指出：任何周期为 T 的复值连续函 数 x(t ) ，只要满足狄里赫利条件 (见下节) ，都可以展开为如下复 正弦 (或称复指数) 形式的连续傅里叶级数 (CFS) ： π t π t jk 2 1 jk 2 T T x(t ) Fk e x(t )e dt 其中， Fk
e jt H ( j )e jt 其中H ( j ) h( )e j d，频率响应

LTI系统对复指数输入的响应


LTI这一特性正是正弦电路稳态分析方法-相量分析法的基本依据 在由电阻，电容和电感构成的电路中，只 要激励是单一频率的正弦电压或电流，该 电路中所有支路的电流或元件两端的电压 都是与激励有相同频率的正弦电压或电流， 只是各自的幅值和相位有所不同
1.5
x0 (t ) x1(t )
0.5 0 x0 (t ) x1(t ) x2 (t )
0.5
t
x(t ) 1 0.5cos(2πt )
cos(4πt )
(2 3)cos(6πt )
它的周期为 1 。右图分别画出 了由上式中的前 2 项、前 3 项 和全部 4 项的图形。显然，如 果增加更高次的谐波项，或改 变各项的系数，就可以任意改 变其周期区间内的波形。
LTI系统对复指数输入的响应

复指数信号集或复正弦信号集是否满足性 质二？

LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上应 十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一 个很方便的表达式
LTI系统对复指数输入的响应

假设连续时间LTI系统的某个任意输入是由 不同的复指数信号eskt的一个线性组合
x(t ) ak e sk t
LTI系统对复指数信号的响应

LTI系统对复指数输入的响应
{est , s C} {z n , z C}

仍是一个相同的复指数信号，只是复数幅度有 所改变
LTI系统对复指数输入的响应

连续时间情况


输入 x(t ) est 单位冲击响应h(t) 输出
y (t ) h( ) x(t )d h( )e
这就导致在周期区间上的波形有所变化。 更有意义的是，由此获得对 LTI 系统功能和特性的新认识。 赋予 LTI 系统输入输出波形改变以新的解释：这是因为 LTI 系统对输入信号的各个谐波分量有不同复数增益，即不同的幅度 增益 H (k0 ) 和不同的相位移动 H (k0 )。 这一认识正是 “信号滤波”和“滤波器”的概念和方法的来由。

对每个复指数的响应分别为
yk (t ) ak H (sk )e sk t
k
LTI系统对复指数输入的响应

根据LTI系统的线性叠加性质
y(t ) yk (t ) ak H ( sk )e sk t
k k

复正弦信号同理
连续周期信号的频域表示法：CFS 连续傅里叶级数
先用一个实例来增强傅里 叶级数的感性认识，例如，一 个连续周期函数是如下有谐波 关系之三角函数的线性组合：
■ 周期信号的频谱
根据周期信号的 CFS 合成公式，系数 Fk 表示组成周期信号 的各个成谐波关系的复正弦分量 ( e jk0t ) 的复数幅度。在整数 域 k 上， Fk 可以看成复值序列， k0 是连续时间或离散时间 频域 上的谐波频率点，因此，通常用频域 上的 Fk 的序列 图形，来表示组成周期信号的所有谐波分量的复数幅度分布情 况。这就是周期信号频谱的概念，这种图形称为周期信号的频 谱图。
k 1, 2,
傅里叶级数的收敛问题
讨论傅里叶级数级数表示法的广泛性和有效性。
■ CFS 的狄里赫利条件
CFS 能否表示任意的连续周期函数，历史上曾有激烈争论， 直到狄里赫利给出了严密的条件 (后来称为狄里赫利条件) ，在这 些条件下，连续时间周期信号才有它的 CFS 表示。其条件为： 条件 1 ：周期信号 x(t )在其周期区间 T 内必须模可积，即 T x(t ) dt 这个条件确保了 Fk 。
2π x ( t )cos k t dt T T
或
c0 a0 F0
ak 2Re{Fk } Fk F k bk 2Im{Fk } j( Fk F k )
Fk (ak jbk ) 2 ck e jk 2 j k F F ( a j b ) 2 c e 2 k k k k k

T

T
● 三角形式的连续傅里叶级数
x ( t ) x ( t ) F F k， 若 x(t )是实周期信号，由于 ，可证明有 k
利用欧拉公式，可得到连续时间实周期信号的三角形式CFS表示 ： 2π 2π x(t ) a0 ak cos k t bk sin k t T T k 1 或