第三章波动方程培训课件
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在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为：
2 U ( )gr a F d 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
V P 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2t2 VP22
2t2 VS2
5
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
12
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中，即
x rsic nos y rs in s in(0 r ,0 ,0 2 ) z rcos
前面是平行的。
▪ k1,k2,k3 是平面的法线方向数。有 k12k2 2k3 21
▪ 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
8
二、沿X轴方向传播的平面波（即
kx
）
U Aex 2 p ik1xk2yk3zV td AieA co sisin
k1 1 ,k 2
U A exp
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v
A 2 exp
2i
x
Vt
w
A 3 exp
2i
u rer u rr r
拉普拉斯算子：
U Aex2 p ik1xk2yk3zVtd AieAco sisin
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k 1 x k 2 y k 3 z V c t为传播项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
x
Vt
将上式代入波的Navier方程 2 U (
)gr a F d 2 tU 2
整理简化，并令体力F=0，可得
2A1V2A1 0
A2 V2A2 0
A3V2A3 0
9
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当 VV p(2)/时，
UA1expiV ((xVpt))
7
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪
若 以
k k 1 k x 1 ,kk 22 ,k y 3 k 为3 z法 V 向 量c t的为平常面数，，波t固在定每，个该这方样程的代平表面一上个
必然有相同的相位，即平面波是垂直于 k1xk2yk3z
平面传播的。不同的t，有不同的波前面。平面波的波
视频率f
地震波的动力学特点
能量密度
能量和球面扩散
能流密度
球面扩散
地震波的谱分析（傅立叶变换 ）
应用 识别不同的地震波
识别岩性
3
3 波动方程的解及地震波的特点
▪ ▪ ▪ 地震波的运动特点
惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分
▪
费马原理和波的射线
▪
时间场和视速度定理
4
3 波动方程的解及地震波的特点
量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，
称为SH波。
10
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
显然 rx ， 2y2z2
为矢量r和z轴之间的夹角， 为矢量r在 xoy平面
上的投影与x轴之间的夹角
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gra d reru rersin e 对于球面 u 只纵 存 r方 波 在 向 ， u 只 上 (位 r是 ,， t)的 移 即 函 u 数 u， 0
在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 6
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪ 一、沿任意方向传播的平面波
▪ 直接用位移向量所表示的波动方程式求解
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs / 时，
u0
i
v
A2
exp[ V
( xVst )]
i
w
A3
exp[ V
( xVst )]
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪
切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分
第三章波动方程
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 源 性 旋转力 质
旋转点震源——球面横波
位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
2
3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点
视波长λ
Hale Waihona Puke 波剖面视波数k 关
振动图（实际记录） 视周期T 系
当t<0时，整个空间位函数有：
(x ,y ,z,t)
x ,y ,z,t 0 ,
0
t
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δt；
t>△t时，点震源作用完毕。 边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不
存在任何弹性分界面，故无边界条件。
球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t )
0
t0 0 t t t t
（初始条件）
（t） 是震源力
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2 U ( )gr a F d 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
V P 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2t2 VP22
2t2 VS2
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3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
12
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中，即
x rsic nos y rs in s in(0 r ,0 ,0 2 ) z rcos
前面是平行的。
▪ k1,k2,k3 是平面的法线方向数。有 k12k2 2k3 21
▪ 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
8
二、沿X轴方向传播的平面波（即
kx
）
U Aex 2 p ik1xk2yk3zV td AieA co sisin
k1 1 ,k 2
U A exp
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v
A 2 exp
2i
x
Vt
w
A 3 exp
2i
u rer u rr r
拉普拉斯算子：
U Aex2 p ik1xk2yk3zVtd AieAco sisin
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k 1 x k 2 y k 3 z V c t为传播项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
x
Vt
将上式代入波的Navier方程 2 U (
)gr a F d 2 tU 2
整理简化，并令体力F=0，可得
2A1V2A1 0
A2 V2A2 0
A3V2A3 0
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无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当 VV p(2)/时，
UA1expiV ((xVpt))
7
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪
若 以
k k 1 k x 1 ,kk 22 ,k y 3 k 为3 z法 V 向 量c t的为平常面数，，波t固在定每，个该这方样程的代平表面一上个
必然有相同的相位，即平面波是垂直于 k1xk2yk3z
平面传播的。不同的t，有不同的波前面。平面波的波
视频率f
地震波的动力学特点
能量密度
能量和球面扩散
能流密度
球面扩散
地震波的谱分析（傅立叶变换 ）
应用 识别不同的地震波
识别岩性
3
3 波动方程的解及地震波的特点
▪ ▪ ▪ 地震波的运动特点
惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分
▪
费马原理和波的射线
▪
时间场和视速度定理
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3 波动方程的解及地震波的特点
量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，
称为SH波。
10
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
显然 rx ， 2y2z2
为矢量r和z轴之间的夹角， 为矢量r在 xoy平面
上的投影与x轴之间的夹角
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gra d reru rersin e 对于球面 u 只纵 存 r方 波 在 向 ， u 只 上 (位 r是 ,， t)的 移 即 函 u 数 u， 0
在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 6
3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪ 一、沿任意方向传播的平面波
▪ 直接用位移向量所表示的波动方程式求解
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs / 时，
u0
i
v
A2
exp[ V
( xVst )]
i
w
A3
exp[ V
( xVst )]
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪
切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分
第三章波动方程
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 源 性 旋转力 质
旋转点震源——球面横波
位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
2
3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点
视波长λ
Hale Waihona Puke 波剖面视波数k 关
振动图（实际记录） 视周期T 系
当t<0时，整个空间位函数有：
(x ,y ,z,t)
x ,y ,z,t 0 ,
0
t
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δt；
t>△t时，点震源作用完毕。 边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不
存在任何弹性分界面，故无边界条件。
球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t )
0
t0 0 t t t t
（初始条件）
（t） 是震源力
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波