四、众数、中位数和均值的关系
偏度系数小于0中位数平均数众数的关系
偏度系数小于0中位数平均数众数的关系一、概述在统计学中，偏度系数是描述数据分布形状的重要指标之一。
而中位数、平均数和众数是描述数据集中趋势的统计量。
本文将探讨偏度系数小于0时，中位数、平均数和众数之间的关系。
二、偏度系数小于0的含义偏度系数是衡量数据分布形状对称程度的统计量，其数值大于0表示偏斜向右，小于0表示偏斜向左，等于0表示对称分布。
偏度系数小于0意味着数据分布呈现左偏态，即在数据的左侧有一个长尾。
三、中位数、平均数和众数的定义1. 中位数：将一组数据从小到大排列，处于中间位置的数值即为中位数。
当数据个数为奇数时，中位数为中间的数值；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数值的平均数。
2. 平均数：即为数据的算术平均值，是将所有数据相加然后除以数据个数所得到的值。
3. 众数：在一组数据中出现频率最高的数值即为众数。
一个数据集可能有一个或多个众数。
四、偏度系数小于0与中位数、平均数、众数的关系根据偏度系数小于0的特征，数据分布呈现左偏态。
在这种情况下，我们可以得出以下结论：1. 中位数小于平均数：由于数据分布呈现左偏态，即数据的左侧有一个长尾，导致中位数偏向数据的左侧。
而平均数受到特殊值的影响，偏向数据的右侧，因此中位数一般小于平均数。
2. 众数小于中位数和平均数：在左偏态的数据分布中，频率最高的数值一般位于数据的左侧，因此众数通常小于中位数和平均数。
五、实例分析为了更直观地理解偏度系数小于0时中位数、平均数和众数的关系，我们通过一个实际数据集进行分析。
假设某班级的学生成绩分布如下：60, 70, 80, 80, 85, 90, 90, 90, 95, 100我们首先计算这组数据的中位数、平均数和众数。
中位数：(85 + 90) / 2 = 87.5平均数：(60 + 70 + 80 + 80 + 85 + 90 + 90 + 90 + 95 + 100) / 10 = 83众数：90可以看到，这组数据的偏度系数小于0，而根据我们之前的结论，这组数据的中位数大于平均数，众数小于中位数和平均数。
统计学试卷及答案
统计学试卷及答案一、判断题1．统计学是一门方法论科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。
（）2．统计研究的过程包括数据收集、数据整理、分析数据和解释数据四个阶段。
（）3．统计数据误差分为抽样误差和非抽样误差。
（）4．按所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为时间序列数据和截面数据（）5．用来描述样本特征的概括性数字度量称为参数。
（）6．如果数据呈左偏分布，则众数、中位数和均值的关系为：均值＜中位数＜众数。
（）7．通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系。
（）8．所有可能样本均值的数学期望等于总体均值。
（）9．影响时间序列的因素可分为：长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动四种。
（）10．狭义的统计指数是用来说明那些不能直接加总的复杂现象综合变动的一种特殊相对数。
（）二、单项选择题1．为了估计全国高中生的平均身高，从20个城市选取了100所中学进行调查。
在该项研究中样本是（）。
A 100所中学B 20个城市C 全国的高中生D 100所中学的高中生2．一名统计学专业的学生为了完成其统计作业，在《统计年鉴》中找到的2005年城镇家庭的人均收入数据。
这一数据属于（）。
A 分类数据B 顺序数据C 截面数据D 时间序列数据3．某连续变量数列，其首组为50以下。
又知其邻近组的组中值为75，则首组的组中值为（）A 24B 25C 26D 274．两组数据相比较（ ）。
A 标准差大的离散程度也就大B 标准差大的离散程度就小C 离散系数大的离散程度也就大D 离散系数大的离散程度就小 5．在下列指数中，属于质量指数的是（ ）。
A 产量指数B 单位产品成本指数C 生产工时指数D 销售量指数 6．定基增长速度与环比增长速度的关系为（ ）。
A 定基增长速度等于相应的各个环比增长速度的算术和 B 定基增长速度等于相应的各个环比增长速度的连乘积C 定基增长速度等于相应的各个环比增长速度加1后的连乘积再减1D 定基增长速度等于相应的各个环比增长速度的连乘积加1（或100%）7．某企业报告期产量比基期增长了10%，生产费用增长了8%，则其产品单位成本降低了（ ）。
怎样计算平均值、中位数与众数
怎样计算平均值、中位数与众数平均值、中位数和众数是统计学中常用的三种描述数据集中趋势的指标。
在分析数据和做出决策时，了解如何计算这些指标是非常重要的。
本文将详细介绍如何计算平均值、中位数和众数，并提供一些实际应用的例子。
1. 平均值的计算方法平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
下面是计算平均值的步骤：（1）将所有数值相加得到总和。
（2）将总和除以数据的个数得到平均值。
例子1：假设有一组数据：3，4，5，6，7。
（1）将这些数值相加得到总和：3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25。
（2）将总和除以数据的个数得到平均值：25 ÷ 5 = 5。
因此，这组数据的平均值为5。
2. 中位数的计算方法中位数是按照从小到大排列的一组数据中处于中间位置的数值。
如果数据的个数是奇数，中位数就是中间的那个数；如果数据的个数是偶数，中位数就是中间两个数的平均值。
下面是计算中位数的步骤：（1）将一组数据按照从小到大的顺序排列。
（2）根据数据的个数，确定中位数的位置。
（3）如果数据的个数是奇数，中位数就是排在中间的那个数；如果数据的个数是偶数，中位数就是中间两个数的平均值。
例子2：假设有一组数据：4，7，2，9，5，1。
（1）将这些数值按照从小到大的顺序排列：1，2，4，5，7，9。
（2）根据数据的个数，确定中位数的位置。
这组数据的个数是偶数，中位数就是中间两个数的平均值。
（3）中位数为4 + 5 ÷ 2 = 4.5。
因此，这组数据的中位数为4.5。
3. 众数的计算方法众数是一组数据中出现频率最高的数值。
一个数据集可以有一个或多个众数，也可以没有众数。
下面是计算众数的步骤：（1）确定数据集中每个数值出现的频率。
（2）找出频率最高的数值。
例子3：假设有一组数据：2，4，5，2，4，1。
（1）确定每个数值出现的频率：1出现1次，2出现2次，4出现2次，5出现1次。
（2）找出频率最高的数值。
统计学研究生数据分析单选题100道及答案解析
统计学研究生数据分析单选题100道及答案解析1. 数据的收集、整理、分析和解释的过程被称为（）A. 统计学B. 数据分析C. 数据挖掘D. 机器学习答案：A解析：统计学是研究数据的收集、整理、分析和解释的一门学科。
2. 以下哪种数据收集方法属于观察法？（）A. 问卷调查B. 实验C. 直接观察D. 电话访谈答案：C解析：直接观察是观察法的一种，通过直接观察对象来收集数据。
3. 对于定类数据，最适合的描述统计量是（）A. 均值B. 中位数C. 众数D. 标准差答案：C解析：众数适用于定类数据，用来表示出现频率最高的类别。
4. 一组数据中最大值与最小值之差称为（）A. 极差B. 方差C. 标准差D. 平均差答案：A解析：极差是最大值减去最小值。
5. 若一组数据呈右偏分布，则其众数、中位数和均值的关系为（）A. 众数< 中位数< 均值B. 众数= 中位数= 均值C. 众数> 中位数> 均值D. 中位数< 众数< 均值答案：A解析：右偏分布时，均值大于中位数，中位数大于众数。
6. 抽样误差是指（）A. 调查中所产生的登记性误差B. 调查中所产生的系统性误差C. 随机抽样而产生的代表性误差D. 由于违反随机原则而产生的误差答案：C解析：抽样误差是由于随机抽样的随机性导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
7. 简单随机抽样中，抽样平均误差与样本容量的关系是（）A. 样本容量越大，抽样平均误差越大B. 样本容量越大，抽样平均误差越小C. 两者无关D. 不确定答案：B解析：样本容量越大，抽样平均误差越小，抽样精度越高。
8. 在其他条件不变的情况下，置信水平越高，置信区间（）A. 越窄B. 越宽C. 不变D. 不确定答案：B解析：置信水平越高，需要包含更多的可能性，所以置信区间越宽。
9. 假设检验中，第一类错误是指（）A. 原假设为真时拒绝原假设B. 原假设为假时接受原假设C. 原假设为真时接受原假设D. 原假设为假时拒绝原假设答案：A解析：第一类错误又称拒真错误，即原假设为真时拒绝原假设。
中位数平均数众数之间的关系
中位数平均数众数之间的关系中位数、平均数、众数是描述数据集的重要统计量，它们在数据分析、数据挖掘、机器学习等领域中都具有重要的作用。
那么，中位数、平均数、众数之间究竟有什么联系与区别呢？本文将从三种统计量的概念、求法、使用场景等方面探讨它们之间的关系，并指出它们的优劣与互补性。
一、中位数：把一组数据从小到大排列，位置处于中间的数即为该组数据的中位数，如果数据总个数为奇数，则中位数就是该组数据中间的那个数，反之，如果数据总个数为偶数，则中位数就是中间两个数的平均数。
中位数适用于数据分布不均匀或存在极端值的情况，它可以有效地减少异常值的影响，具有很强的稳定性和代表性。
二、平均数：一组数据的平均数就是所有数据之和除以数据的个数。
如果样本是随机且均匀的，那么样本平均值应该能够代表该组数据的中心点。
平均数在数据分布比较均匀的情况下能够体现数据的大小关系，并且在某些场景中能够更好地评估相关变量的趋势和大小。
三、众数：一组数据中出现最频繁的数即为该组数据的众数，一个数据集可以有一个或多个众数，也有可能不存在众数。
众数在数据分布比较集中和单峰的情况下具有最好的代表性，能够体现数据分布的最高峰位置和分布密度的峰度，通常用于分类型变量的数据分析，如性别、年级、工作岗位等。
通过以上对中位数、平均数、众数的概念描述，我们可以发现它们有一些相同的特点，特别是在一些基础统计分析场景中它们也是在数据描述和分析中最容易想到的统计量；还有一些存在明显的差异，它们有各自的适用范围、含义和统计意义。
同时它们之间也存在着某些联系与互补性。
在数据集的分布比较对称或数据相对均匀的情况下，中位数和平均数比较接近；在数据分布比较集中和单峰的情况下，众数和中位数比较接近。
所以，只有综合分析这三种统计量，才能更加全面地了解数据分布的情况，避免由某一种统计量的缺陷导致的误解和错误分析。
总之，中位数、平均数、众数三者之间既有相似性又有差异性，在实际应用时需要根据具体情况综合选择。
众数中位数(PPT课件)
x=
1 ( x1 x2 xn ) n
3
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加 男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩 (单位:米)
1．50 2
1．60 1．65 1．70 3 2 3
1．75 1．80 1．85 1．90 4 1 1 1
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间 的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
6
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
7
3、由于平均数与每一个样本的 数据有关，所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变，这是众 数、中位数都不具有的性质。
也正因如此 ，与众数、中位数比较起 来，平均数可以反映出更多的关于样 本数据全体的信息，但平均数受数据 中的极端值的影响较大，使平均数在 估计时可靠性降低。
S 2的数量单位与原数据的数量单位不
一致了，因此在实际应用时常将求出的方差 再开平方，这就是标准差
（standard deviation）．
标准差 方差
方差出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
平均数中位数众数的特点和应用场合
平均数中位数众数的特点和应用场合
平均数、中位数和众数是常见的统计概念，用于描述一组数据的特点和趋势。
平均数指一组数据的全部数值之和再除以数据个数，可以理解为数据的均值。
平均数对于数据的总体趋势有较好的反映，适用于数据分布均匀、无明显异常值的情况。
常见应用场合包括：计算一组数据的平均水平、代表整体情况、做数据比较和分析等。
中位数指一组数据按照大小顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数对于极端值、异常值的影响较小，更能反映数据的中间水平。
适用于数据分布不均匀、存在异常值的情况。
常见应用场合包括：测量一组数据的典型水平、分析数据集的中心位置等。
众数指一组数据中出现频率最高的数值，即出现次数最多的数。
众数对于描述数据的集中趋势较为有力，尤其适用于描述具有高峰值的数据分布。
常见应用场合包括：统计人口普查数据、分析购物热销商品等。
这三个统计概念在不同场合具有不同的应用价值，根据数据的分布情况和目标需求选择合适的统计指标可以更准确地描述数据的特点和趋势。
总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数知识要点整理
● 本章重点：1．了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图．2．掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法．● 知识要点：1. 样本均值：∑=i x nx 1 2. 加权平均： 0,1,11>==∑∑==i ni i n i i i p p p x x3. 方差：∑∑==-=-=n i i n i i x x n x x n s 1221221)(1 标准差（均方差）2s s =4. 中位数：将数据),,2,1(n i x i=由小到大重新排列为**2*1n x x x ，，， ，其中位数（处于中间位置的数）⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数n x x n x m x n n n )(21*12*2215. 众数：重复出现次数最多的那个数给定一组数据x 1, x 2, …, x n ，则这组数据的均值、方差和标准差分别为：∑==n j j x n x 11，∑=-=n j j x x n s 122)(1，∑=-=n j j x x n s 12)(1若存在一组数p 1, p 2, …, p n ，满足11=∑=n j j p ，则数据x 1, x 2, …, x n 的加权平均数为， ∑==n j j j x p n x 11● 例题示范 例1 设有一组5个数据: x 1=0.051, x 2=0.055, x 3=0.045, x 4=0.065, x 5=0.048. 记 0528.05151==∑=k k x x , 则∑=-51)(51k k x x =( )A.0B.0.0528C.150⨯.0528D. 1500000(.051.055.045.065.048)++++解 因为∑=-51)(51k k x x =∑∑==-51515151k k k x x =x x -= 0所以，应该选A ．例2 一组数据19，16，22，25，35，20，32，24的中位数是（ ）．A . 22B . 23C . 24D . 25解 因为将这组数据按大小顺序排列：35，32，25，24，22，20，19，16，所以这些数据的中位数为23)2224(21=+所以，应该选B ．例 3 设一组数据1x =0, 2x =1, 3x =2，它们的权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是x = .解 加权平均数x =∑=31j j j x p =23.016.001.0⨯+⨯+⨯= 1.2 所以，应该填写：1.2。
统计学(6)平均指标
例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间， 得到资料如下表所示：
耐用时间 600以下 600-800 800-1000 产品个数（个） 84 161 244
令M xf
则x
M 1 x M
xf 1 x xf
H
三、 几何平均法
（一）什么是几何平均法？
• 几何平均法是n个变量连乘积的n次根。 • 几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、 各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法。 • 1、简单几何平均法
解答：
H
f 1 xf
200 200 200 600 25.2 (公里/小时) 1 1 1 23.81 200 200 200 30 28 20
x
xf f
30 2 28 2 20 2 156 26(公里/小时) 222 6
xf f
• 其中： X 代表算术平均数，Xn 代表各单位标志值（变量值），fn代表各组单 位数（项数）。
• （1）根据单项数列计算加权算术平均 • 例2：
零件数（件） 工人数（人） 产量=零件数*工人数
xi
30 32 34 35 36
fi
20 50 76 40 14
Xi*fi
600 1600 2584 1400 504
四、众数和中位数
（一）众数
• 1.众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。 • 2.适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。 • 3.众数的计算方法
统计学试卷及答案_
（本题10 分）一、判断题（在题后的括号里正确划“√”、错误划“×”，每题1分，共计10分）1．统计学是一门方法论科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。
（）2．统计研究的过程包括数据收集、数据整理、分析数据和解释数据四个阶段。
（）3．统计数据误差分为抽样误差和非抽样误差。
（）4．按所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为时间序列数据和截面数据（X ）5．用来描述样本特征的概括性数字度量称为参数。
（X ）6．如果数据呈左偏分布，则众数、中位数和均值的关系为：均值＜中位数＜众数。
（）7．通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系。
（）8．所有可能样本均值的数学期望等于总体均值。
（）9．影响时间序列的因素可分为：长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动四种。
（）10．狭义的统计指数是用来说明那些不能直接加总的复杂现象综合变动的一种特殊相对数。
（）（本题15分）二、单项选择题（从下列每小题的四个选项中，选出一个正确的，并填写在题后的括号内，每题1分，共计15分）1．为了估计全国高中生的平均身高，从20个城市选取了100所中学进行调查。
在该项研究中样本是（）。
A 100所中学B 20个城市C 全国的高中生D 100所中学的高中生2．一名统计学专业的学生为了完成其统计作业，在《统计年鉴》中找到的2005年城镇家庭的人均收入数据。
这一数据属于（）。
A 分类数据B 顺序数据C 截面数据D 时间序列数据3．某连续变量数列，其首组为50以下。
又知其邻近组的组中值为75，则首组的组中值为（）A 24B 25C 26D 274．两组数据相比较（）。
A 标准差大的离散程度也就大B 标准差大的离散程度就小C 离散系数大的离散程度也就大D 离散系数大的离散程度就小5．在下列指数中，属于质量指数的是（）。
A 产量指数B 单位产品成本指数C 生产工时指数D 销售量指数6．定基增长速度与环比增长速度的关系为（）。
众数、中位数和平均数的特点和应用场合
众数、中位数和平均数的特点和应用场合示例文章篇一：《众数、中位数和平均数：数字中的小秘密》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊众数、中位数和平均数这三个超有趣的数学概念。
这可不是什么枯燥的东西哦，它们就像我们生活中的小伙伴，各自有着独特的性格和用处呢。
先来说说众数吧。
众数啊，就像是一群小伙伴里最受欢迎的那个。
怎么理解呢？比如说，我们班同学最喜欢的颜色。
我拿着小本本去问每个同学，最后发现喜欢蓝色的同学最多。
这个蓝色就是众数啦。
众数就是一组数据里出现次数最多的那个数。
它可有意思了，能一下子让我们知道在这一堆数据里，哪个是最“流行”的。
我再给你们举个例子哈。
我们学校门口有个小商店，老板想知道哪种小零食最受欢迎，好进更多的货。
他就把每天卖出去的小零食都记下来。
最后发现，小薯片卖出去的次数最多。
这个小薯片就是众数。
这时候众数就帮了老板大忙啦，老板就可以多进些小薯片，这样就能赚更多钱呢。
你说，众数是不是很有用？要是没有众数，老板可能就会乱进货，有些东西卖不出去，那不就亏大了嘛。
接着咱们来聊聊中位数。
中位数就像是一个裁判，站在中间，把数据分成了两半。
想象一下，我们有一组数字，1、3、5、7、9。
中间的数字5就是中位数啦。
那要是数字的个数是偶数个呢？比如说1、3、5、7。
那我们就把中间的3和5加起来除以2，得到4，这个4就是中位数。
中位数在生活中也很有用哦。
就像我们考试成绩一样。
有时候，平均分可能会被几个特别高或者特别低的分数影响。
这时候中位数就能更公平地反映出大家的一般水平。
比如说，有一次考试，我们班有几个学霸考了特别高的分，还有几个同学因为生病没考好，分数很低。
这时候如果看平均分，就不太能准确知道大部分同学考得怎么样。
但是中位数就不一样啦，它能把那些极端的分数排除掉，让我们知道中间水平的同学大概考了多少分。
我有个好朋友叫小明，他就特别有感触。
有一次他们班考试，平均分看起来挺高的，可是他觉得自己考得还不错，怎么排名却很靠后呢。
众数、中位数、平均数与频率分布直方图关系
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图； （3）估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h以上的概率； （5）估计总体的数学期望.
寿命 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600
合计
频率/组距
总体分布的估计
练习.（广东11变式题1）为了调查某厂工人生产 某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生
产该产品的数量.产品数量的分组区间为 45,55，
5 5 ,6 5 ,6 5 ,7 5 ,7 5 ,8 5 ，85,95 由此得到频率
分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产
该产品 数量在
的中位 数.
3、平均数是频率分布直方图的“重心”.
用样本数字特征估计总体数字特征
众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数，只是描述的角 度不同，其中以平均数的应用最为广泛.
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数．
解：平均数是6，方差是8，标准差是 2 2 .
如果求 2a1 、 2a2、 2a3的平均数、方差、 标准差？已知ai的平均数X、方差Y、标准差Z, 则b+kai的平均数
是b+kx, 方差是k的平方与Y的乘积,标准差是k与Z的乘积。
(当然Y=Z的平方!)
总结
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
众数中位数算术平均数三者之间的关系
众数中位数算术平均数三者之间的关系答：我们要探讨众数、中位数和算术平均数三者之间的关系。
首先，我们需要了解这三个概念的定义：1. 众数：在一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数。
如果数据量是奇数，中位数是中间那个数；如果数据量是偶数，中位数是中间两个数的平均值。
3. 算术平均数：所有数据的和除以数据的数量。
为了更好地理解它们之间的关系，我们将通过一个例子来解释：假设我们有一个包含以下数字的数据集：[1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]。
1. 众数是4，因为它在这个数据集中出现了3次，比其他任何数字都多。
2. 中位数是3，因为当我们把数据从小到大排列后（1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5），中间的数字是3。
3. 算术平均数是3.75，计算方式为 (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5) / 8 = 3.75。
现在，我们来探讨它们之间的关系：1.众数与中位数：在某些情况下，众数和中位数可能是相同的。
例如，如果数据集中所有的数值都相同，那么众数和中位数都是相同的。
但在其他情况下，它们可能不同。
例如，在我们的例子中，众数是4而中位数是3。
2.众数与算术平均数：众数不一定等于算术平均数。
在我们的例子中，众数是4而算术平均数是3.75。
如果众数在数据集中多次出现，并且其他数值只出现一次或少数几次，那么众数可能会接近算术平均数。
但如果众数在数据集中多次出现，并且其他数值也出现多次，那么众数和算术平均数可能会有较大的差异。
3.中位数与算术平均数：中位数和算术平均数也不一定相等。
在我们的例子中，中位数是3而算术平均数是3.75。
如果数据集中的数值比较均匀分布，那么中位数和算术平均数可能会比较接近。
但如果数据集中的数值有较大的差异或偏向某一端，那么中位数和算术平均数可能会有较大的差异。
总结：众数、中位数和算术平均数是描述一组数据的三个不同统计量，它们各自有其独特的意义和用途。
统计学基本知识
1.总体：我们所要研究的所有基本单位（通常是人、物体、交易或事件）的总和。
2.变量：总体单位中个体单位所具有的特征或特性。
3.样本：是从总体中抽取的一部分单位。
4.描述统计：是用图形、表格和概括性的数字对数据进行描述的统计方法。
5.推断统计：是根据样本信息对总体进行估计、假设检验、预测或其他推断的统计方法。
6.众数、中位数和均值的关系：(1)对称统计分布M0=M e=均值（2）右偏：M0<M e<均值（3）左偏：M0>M e>均值。
7.常用抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样、整群抽样。
8.评价估计量的标准：（1）无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数（2）有效性：与总体参数的离散程度要小（3）相合性（一致性）：随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
9.1-α含义：指置信水平，即总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。
10. 置信区间：是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。
置信区间越大，置信水平越高。
11.原假设：通常是研究者想收集证据予以反对的假设。
备择假设：通常是予以支持的假设。
12.假设检验的步骤：1）陈述原假设H0和备择假设H1；2）从所研究的总体中抽出一个随机样本；3）确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值4）确定一个适当的显著性水平α，并计算出其临界值，指定拒绝域5）将统计量的值与临界值进行比较，并做出决策。
13.方差分析：是检验多个总体均值是否相等的统计方法。
它是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
14.方差分析原理：【网络搜索的】方差分析作为一种统计方法，是把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。
因而它所依据的基本原理是变异的可加性。
不同来源的变异只有当它们可加时，才能保证总变异分解的可能。
具体地讲，它是将总平方和分解为几个不同来源的平方和(这里的平方和指实验数据与平均数离差的平方和)。
众数、中位数和均值的关系
3.易受极端值的影响 4.用于数值型数据
原来只是计 算时使用了 不同的数据
！
5. 不能用于分类数据和顺序数据
调和平均数 （算例）
第三章
例：某人开车，前10公里以时速50 公里驾驶，后10公 里以时速30公里驾驶，问此人跑这20 公里的平均时速是 多少？
解：由题意知：求平均时速以调和平均数为宜，即：
X M 0 3( X Md )
2．算术平均数适用于数值型数据；中位数适用 于顺序变量；众数适用于分类变量。
3．对分组资料来说，用算术平均数是非常合适 的。
四、众数、中位数和均 值的关系
第三章
4．算术平均数包含的信息是最多、最丰富的，所有 观测值与算术平均数差的和等于0，所有观测值与算术平 均数的平方和是最小的，在数学上容易计算。
非常不满意
24
24
Q3位置＝(3×300)/4＝225
不满意
108
一般
93
满意
45
132
从累计频数看， Q1在“不满意
225
”这一组别中； Q3在“一般”
270
这一组别中。因此
非常满意
30
300
合计
300
—
Q1＝不满意 Q3＝一般
数值型未分组数据的四分位数第三章
(7个数据的算例)
原始数据: 23 21 30 32 28 25 26
第三章
例：求平均价格 某商场某种商品的销售情况表
批次
零售价格 零售额（元）
（元/件）x
M
第一批
16
20000
第二批
25
30000
合计
－
50000
加权调和平均数
统计学名词解释与简答题答案
1. 分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据，(1分)它是对事物进行分类的结果，(1分)数据表现为类别，使用文字来表述的。
(1分)2. 四分位数(quartile)也称四分位点，他是一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。
(1分)四分位数是通过3个点将全部数据等分为4部分，(1分)其中每部分包括25%的数据。
(1分)3. 方差分析（analysis of variance, ANOVA）就是通过检验各总体的均值是否相等，(1分)来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
(2分)4. 相关系数（correlation coefficient）是根据样本数据计算的，(1分)度量两个变量之间线性关系强度的统计量。
(2分)5. 居民消费价格指数（consumer price index， CPI）是度量居民消费品和服务项目价格水平随时间变动的相对数，(1分)反映居民家庭购买的消费品和服务价格水平的变动情况。
(2分)五、简答题6. 简述直方图和茎叶图的区别。
答：（1）直方图虽然能很好地显示数据的分布，但不能保留原始的数值；茎叶图类似于横置的直方图，与直方图相比，茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，即保留了原始数据的信息。
（3分）（2）在应用方面，直方图通常用于大批量数据，茎叶图通常适用于小批量数据。
（2分）7. 回归分析主要解决那几个方面的问题？答：（1）从一组样本数据出发，确定出变量之间的数学关系式；（1分）（2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从中影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的；（2分）（3）利用这些所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值，并给出这种估计或预测的可靠程度。
（2分8. 简述概率抽样的定义及特点。
答：概率抽样（probability sampling）也称随机抽样，是指遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本。
中间值和平均值的区别，众数，标准差
中间值和平均值的区别，众数，标准差 stddev, Standard Deviation中位数（Median）统计学名词，是指将统计总体当中的各个变量值按⼤⼩顺序排列起来，形成⼀个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数，⽤Me表⽰。
当变量值的项数N为奇数时，处于中间位置的变量值即为中位数；当N为偶数时，中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数。
（注意：中位数和众数不同，中位数不⼀定在这组数据中。
⽽众数必定在该组数据）平均数是指在⼀组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
平均数是表⽰⼀组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的⼀项指标。
解答平均数应⽤题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
在统计⼯作中,平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。
中位数的作⽤与算术平均数相近，也是作为所研究数据的代表值。
在⼀个等差数列或⼀个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数。
在数列中出现了极端变量值的情况下，⽤中位数作为代表值要⽐⽤算术平均数更好，因为中位数不受极端变量值的影响；如果研究⽬的就是为了反映中间⽔平，当然也应该⽤中位数。
在统计数据的处理和分析时，可结合使⽤中位数。
在概率统计中最常使⽤作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平⽅的算术平均数的平⽅根。
它反映组内个体间的离散程度。
众数是最多的那个数,中位数是取中间数,均值就是平均数,跟数有关系.众数、中位数和均值是三种描述数据集中趋势的主要测量值.当数据呈正态分布时,三个测量值完全相等；当分布出现偏态时,三者表现出差别.如果是右偏分布,则；如果是左偏分布,则.⼀般说来,均值与中位数间的距离约是中位数与众数间距离的1/2.。
六西格玛黑带知识点(中位数题型)
中位数题型中位数与众数及平均数的关系：1、众数、中位数与算术平均数之间有着一定的关系,这种关系决定于总体次数分布的状况.当次数分布呈对称的钟型分布时,算术平均数位于次数分布曲线的对称点上,而该点又是曲线的最高点和中心点,因此,众数、中位数和算术平均数三者相等。
2、当总体次数分布呈非对称的钟型分布,由于这三种平均数受极端数值影响程度的不同,因而它们的数值就存在一定的差别,但三者之间仍有一定的关系.当次数分布右偏时,算术平均数受偏高数值影响较大,其位置必然在众数之右,中位数在众数与算术平均数之间,因而有如下的关系：.反之.当次数分布左偏时,算术平均数受偏小数值的影响较大,其位置在众数之左,中位数仍在两者之间,3、对于具有单峰分布的大多数数据而言，众数、中位数和均值之间具有以下关系：①如果数据的分布是对称的，众数、中位数和算术平均数必定相等；②②如果数据是左偏分布，众数、中位数和算术平均数的关系为：算术平均数＜中位数＜众数；③③如果数据是右偏分布，众数、中位数和算术平均数的关系为：众数＜中位数＜算术平均数。
题目：某地区工薪阶层的收入（每月月薪）服从单峰的右偏态分布，统计显示其众数为1200元，均值为2800元。
根据上述推断得到以下结论，错误的是？AA. 至少50%的人月薪高于2800元B. 分布的中位数在1200元至2800元之间C. 至少50%的人月薪低于2800元D. 月薪在1200元左右的人数属于工薪阶层的多数解析：如果数据是右偏分布，众数、中位数和算术平均数的关系为：众数＜中位数＜算术平均数。
因此，B、C 是对的。
众数：是样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，因此D是对的。
统计资料显示，我国男性平均寿命已达71岁。
由于寿命数据一般是右偏分布，以下说法正确的是：BA.平均寿命为71岁，说明我国男性有50%能够活到71岁B.右偏分布中位数比均值更能代表位置，所以要分析我国男性寿命的中位数，寿命能够达到中位数的人数占50%C.平均寿命为71岁，说明我国有多于50%的男性寿命能达到71岁D.右偏分布众数比均值更能代表位置，所以要分析我国男性寿命的众数，寿命能够达到众数的人数占50%解析：当分布呈非对称的钟型分布,由于这三种平均数受极端数值影响程度的不同,因而它们的数值就存在一定的差别,但三者之间仍有一定的关系.当分布右偏时,算术平均数受偏高数值影响较大,其位置必然在众数之右,中位数在众数与算术平均数之间,因而有如下的关系：.反之.当次数分布左偏时,算术平均数受偏小数值的影响较大,其位置在众数之左,中位数仍在两者之间。
中位数众数平均数三者关系
中位数众数平均数三者关系算术平均数、中位数、众数三者之间的关系：1、众数、中位数和平均数是集中趋势的三个主要测度值，只是它们具有不同的特点和应用场合。
2、对于具有单峰分布的大多数数据而言，众数、中位数和平均数之间具有以下数量关系：1）如果数据的分布时对称的，中位数、算术平均数、众数三者完全相等。
2）如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动平均数向极小值一方偏移，而众数和中位数由于是位置代表值，不受极值的影响，因此三者之间的关系表现为：平均数3）如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动平均数向极大值一方偏移，则众数算术平均数（ arithmetic mean）：又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（特殊在各项的权重相等）。
在实际问题中，当各项权重不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数；当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。
众数（Mode）：是统计学名词，在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平（众数可以不存在或多于一个）。
修正定义：是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。
用M表示。
理性理解：简单的说，就是一组数据中占比例最多的那个数。
中位数（又称中值，英语：Median）：统计学中的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。
对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。
如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。
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但当数据呈明显的偏态时，应选择中位数或众数。
五、集中趋势的其他计量 第三章
（一）分位数 四分位数 十分位数 百分位数
（二）调和平均数 （三）几何平均数
（一）分位数
第三章
四分位数：将资料按大小顺序排列后， 分成四等份，得到三个分割点Q1、Q2和Q3 ， 处于25%和75%位置上的值Q1和Q3称为 （下、上）四分位数或四分位点。
平均价格＝ 20000 30000 ＝20.1（4 元）
20000 30000
16
25
（三）几何平均数 （geometric mean）
第三章
定义：n个变量值乘积的n次方根，称 为几何平均数
计算公式为
n
G.M . n x1 x2 xn n xi i 1
（三）几何平均数
X M 0 3( X Md )
2．算术平均数适用于数值型数据；中位数适用 于顺序变量；众数适用于分类变量。
3．对分组资料来说，用算术平均数是非常合适 的。
四、众数、中位数和均 值的关系
第三章
4．算术平均数包含的信息是最多、最丰富的，所有 观测值与算术平均数差的和等于0，所有观测值与算术平 均数的平方和是最小的，在数学上容易计算。
四分位数
性质
第三章
1. 集中趋势的测度值之一
2. 排序后处于25%和75%位置上的值
25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
3. 不受极端值的影响
4. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据， 但不能用于分类数据
四分位数
(位置的确定)
第三章
未分组数据：
n+1 下四分位数(Q1)位置 = 4
3(n+1) 上四分位数(Q3)位置 = 4
（3）如果资料中含有零项，则无法计算调和平均数。
加权调和平均数
第三章
加权调和平均数：
n
Mi
H
i 1
n Mi
i 1
xi
或
xi fi
H i
(xi fi / xi )
i
H――调和平均数；
x i――各个变量值；
fi ――各变量的频数
M i――每组标志值的总量，同时也作为权数。
加权调和平均数
（二）调和平均数 (Harmonic mean)
第三章
定义：调和平均数又称为倒数平均数，一组 观测值的倒数的算术平均数的倒数。
即：令H表示n项观测值x1, x2,…，xn的调和 平均数，则有：
H n i 1
n 1xi
调和平均数 性质
第三章
1.集中趋势的测度值之一
2.均值的另一种表现形式
四、众数、中位数和均 值的关系
第三章Leabharlann 在密度分布图中，中位数位于密度曲线与横轴所围面 积的一半的位置，众数位于密度曲线的最高处，平均数位 于？
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
四、众数、中位数和均 值的关系
第三章
1．当数据分布为轻度偏态时，中位数大约位于 均值与众数之间的1/3处，公式如下：
(算例)
第三章
例：求平均价格 某商场某种商品的销售情况表
批次
零售价格 零售额（元）
（元/件）x
M
第一批
16
20000
第二批
25
30000
合计
－
50000
加权调和平均数
(算例)
第三章
解：
则该商场两批商品的平均价格应为：
平均价格＝ 零售额 零售量
由于资料中没有直接得到零售量的资料，不能
直接利用均值计算公式，应先求零售量，然后进行 计算，即：
排 序: 21 23 25 26 28 30 32
位 置: 1 2 3 4 5 6 7
Q1位置 =
n+1 7+1
=
4
4
=2
3(n+1) 3(7+1)
Q3位置 =
4
=
=6 4
Q1= 23
Q3= 30
数值型分组数据的四分位数 第三章
Qi
Li
(i / 4)N fi
Fi1
di
式中，Li表示第i个四分位数所在组的下限；
非常不满意
24
24
Q3位置＝(3×300)/4＝225
不满意
108
一般
93
满意
45
132
从累计频数看， Q1在“不满意
225
”这一组别中； Q3在“一般”
270
这一组别中。因此
非常满意
30
300
合计
300
—
Q1＝不满意 Q3＝一般
数值型未分组数据的四分位数第三章
(7个数据的算例)
原始数据: 23 21 30 32 28 25 26
组距分组数据：
n 下四分位数(Q1)位置 = 4
3n 上四分位数(Q3)位置 = 4
顺序数据的四分位数
(算例)
第三章
【例】根据表中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价
的四分位数
表 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别
甲城市
户数 (户)
累计频数
解：下四分位数(Q1)的位置为： Q1位置＝(300)/4＝75 上四分位数(Q3)的位置为：
3.易受极端值的影响 4.用于数值型数据
原来只是计 算时使用了 不同的数据
！
5. 不能用于分类数据和顺序数据
调和平均数 （算例）
第三章
例：某人开车，前10公里以时速50 公里驾驶，后10公 里以时速30公里驾驶，问此人跑这20 公里的平均时速是 多少？
解：由题意知：求平均时速以调和平均数为宜，即：
第三章
1. 集中趋势的测度值之一
2. 适用于特殊的数据
3. 主要用于计算平均发展速度
4. 可看作是均值的一种变形 n
log G.M.
1 (log n
x1 log
x2
log
xn )
log
i 1
n
xi
5.当观测值有一项为零或负值时，不 宜计算几何平均数
fi表示第i个四分位数所在组的次数；
Fi1表示累计至第i个四分位数以前一组的累计 次数；
N为总次数；
di为第i个四分位数所在组组距。
用Excel求四分位数、十分位 第三章 数、百分位数
在Excel中，四分位数函数为：Quartile 在Excel中，相关的函数有：Percentil、 Percentrank
H
2
(
1 50
130)
37.5公里/小时
在Excel中，简单调和平均数的函数为：Harmean
调和平均数
第三章
应用场合：
（1）求相对指标的平均值时，如平均价格、平均成本、 平均劳动生产率，多数情况下必须使用调和平均数；
（2）当算术平均数计算公式中的分母项――总体单位 数未知时，无法直接应用算术平均数时，可用调和平均法 计算。