流体力学-第一讲 场论与张量分析初步

ax ay az
10.01.2021
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
a x b x a yb y a zb z 标量
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1
如a、b正交 ，则
abab0
2
如a、b平行 ，则
aba b
3 4
如 分a在 配b正 律交 ab投 c影 aba用 表 b示 ac
n0 grad
式 中 “ .” 表 示 点 乘
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梯度意义的证明： 流场中两相邻等势线
则 n 如函 s 0 图数 ，c 设沿n , sss o ) 方 方 向向c 单的s 位变, 而 o 向化M ( 量为1 ：s s 0 M M M co M s M1 M'
s
c1
lim lim
ddxdydz
= g x ra yd drz
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b)若任给一封闭曲线L，agrad，且 是矢径
r
的单值函数，则：
adr 0
证明：
L
L a d r L grd r a d d 0
梯度的性质：
①标量场不均匀程度的量度；
②梯度方向和等位面的法线方向重合，指向函数值 增大的方向。
（1）无源矢量经过矢量管任一截面上的通量保持同一数量； （2）矢量管不能在场内发生或终止； （3）无源矢量经过同一张于已知周线 L 的所有曲面 S 上通 量相同，即通量只依赖于周线 L 而与所张曲面 S 的形状无关。
散度的基本运算法则为：
A1 A2 A1 A2
A A A
(M)(M)cos
(M1)(M)
s MM0
MM
MM 10
MM 1
c
cosn,(s)nnns0
grads0
另：s0 与
n同向时， s
最大
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沿梯度方 向的方向导数 达到最大值
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定理证明:
a） grad 满足关系式：ddrgrad
证明： gradijk
xy z d r di x dj y dkz
• 标量场（scalar field）：f (r,t) • 向量场（vector field）：g (r,t) g=f(r,t)
• 均匀场（homogeneous field）：f c
• •
非 定均常匀流场场（（nstoen-adhyomfoigeelndou）s：ffi(erl)d）：f
(r)
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数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a bc
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
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向量三重积：
abc
a a b b c c a a c c b b b a b c a c
括号不能交换或移动
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直角坐标系中：
gr a x i d y j zk ＝ i x j y k z
是一个算子（operator），
它具有向量与微分的双重性质， 称为哈密顿算子（Hamilton operator）
物理量沿任一方向（其单位向量为n0）的变化率为：
• 非定常流场(unsteady field)：f(r,t)
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(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表
示，它独立于坐标系的选择。
流体的温度，密度等均是标量。
(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的
方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的 分量来表示,因此向量是三维的量。
向量为速度，为二元流动：
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周 线内所有涡束的旋涡强度之和。这就是斯托克斯（G·G·Stokes）定 理。
d u xy u yx dx d2 yzd＝ A 2 ndA
通 式：
L adr S a yz a zy co n,xs) ( a zx a xz co n,y s) ( a xy a yx co n .z)s d ( s
方向：采用矢量线来几何地表示。 矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向 重合。
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设 dr是矢量线的切向元素 id x jd y k dz a ia xja y k a z
则有：
i
jk
dx dy dz 0
a b － b a
a b c a b a cm a b a m b m a b
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ab axi ay jazk bxi by j bzk i jk
ax ay az bx by bz
平面面积可作为
一个向量 ssn
有 r (i jk )(ix jyk z)3
x y z
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五、向量的旋度（rotation）
1、预备知识
1)向量a 的环量（Circulation）
L a d r L ( a x d a x y d a y z d )z
如向量为速度，速度环量说明：
（1）速度环量表示在某一瞬时所有在AB线上的质点沿AB运
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
引言
工程流体力学
从实用角度，对工程中涉及的问题建立相 应的理论基础，并进行计算。
静力学 运动学 动力学
以理想流体为主
对于实际流体讨论了管 流阻力计算,是在理想流 体得出规律基础上进行
修正,并结合实验.
高等流体力学
以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。
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uuxiuyjuzk
向量的加减 ：
a ＋ b c
acb
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矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
1、预备知识
a.向量通过曲面的通量（flux）：
Qa n dsa ds
s
s
b.Gauss定理：
若 ax,ay,az 在 sv有一阶连续偏导数，
则：
s a dsv(axx ayy azz)dv
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2、散度的定义
由封闭曲面s流出的通量可 以看成是体积V的膨胀量。所 以散度也就是流体的体积膨胀 量。
散度是标量，而不是向量。
dia v lv i0 m sa vds a xx a yy a zz a
于是Gauss定理可以写作：
sa n d s sa d s v( a x x a y y a z z)d v v( a )dv
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div A 0 的场称为无源场。其性质：
i
jk
0
x y z
动的趋势，和力所作功的概念相类似，即可以理解为速度所作的功。
（2）速度环量是个标量，具有正负号。
当速度方向和AB曲线方向同向时（成锐角）为正，异向时（成
钝角）为负。线积分方向相反的速度环量相差一个负号，即
Budr－Audr
A
B
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2) Stokes定理： (L围成S，S单连通）
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3）向量场的旋度：向量场
a
中任一点
M
，过
M
点任一
方向 n，以 n 为法向作一微小面积 S ，其边界为 l 。若极
限
lim
l
adl
存在，称为向量场
a
在
M
点处沿
n
方向上的环
S0 S
量面密度。
在过 M 点的所有方向中存在一个环量面密度最大的方 向。
方向旋 ，度 其就 大是 小这 即样 为一 这个 个向 最量 大， 的它环的量方面向密即度环的量值面，密记度为最ro大ta的。