平面向量的坐标运算(一)(教案)

平面向量的坐标运算（一）（教案）

中卫市第一中学俞清华

教学目标：

知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算.

过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；

（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.

情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；

（2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；

（3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.

教学重点和教学难点：

教学重点：平面向量的坐标运算；

教学难点：平面向量坐标的意义.

教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式.

教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计：

一、创设问题情境，引入课题.

同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？

我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量.

思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答）

（不能，因为向量既有大小，又有方向）

思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）

在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题：

探究一：如图，,i j

为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d

请学生动手完成并回答：

根据向量加法的几何意义，我们只要把a

分解在,i j

的方向上，就可得到：

33a i j =+

，同理可得2b i j =-+

33c i j =+

42d i j

=-

我们用,i j 来表示a

的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生）

由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+

，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底.

强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一

向量在基底方向的分解形式就是唯一的.

二、理解概念，加深认识.

根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d

四

个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底i 、j

来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标.

推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义）

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i

、

j

作为基底任作一个向量a

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，

使得

a xi yj

=+

…………○

1

我们把),(y x 叫做向量a

的（直角）坐标，记作

(,)a x y =

…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a

在y 轴上的坐标，○

2式叫做向量的坐标表示 在定义中，要注意a xi yj =+

(,)x y =

定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底,i j

方向的分解

形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i 、j

方向的分解形式.

结合定义，指导学生求出向量i

、j 、0

，OP 的坐标.（多媒体演示）

在坐标系中观察，向量,i j

及OP

的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向

量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标.

类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生

变化？结合向量坐标的定义，将平移前后的向量分别分解在基底,i j

的方向上，

所得四边形是全等的，因此，这两个向量的坐标相同.也可这样理解，通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量. 三、自主探索，推导法则.

前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量后，这些运算的结果也能用坐标表示，

1122(,),(,),,(,),a x y b x y a b a b a x y a λλ==+-=

探究二： (1)已知 求 的坐标.

(2)已知和实数求 的坐标.

请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：

（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

)

,(2121y y x x b a ±±=±→

→

（其中),(),,(2211y x b y x a ==→

→）

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→

，则),(y x a λλλ=→

；

(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+

练习1 .已知求 的坐标.

探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？

先来看一个具体的例子：求出图中的向量a

的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？

(2,3)

1