第三讲 平均数标准差和变异系数

设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
x1 x2 xn x n
简写：
x x n
x
i 1
n
i
n
（4.1）
【例1】 某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、 520、535、560、585、600、480、510、505、490 （mg），求其平均数。
【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和5个小麦麦穗， 测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计 算结果。
【例3】 140行水稻产量（P38），用两种方法求其 平均数，并比较计算结果。
（1）直接法：
（2）加权法：
三、算术平均数的重要特性
1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有 关。 2、如果 是n1个值的平均数, 是n2个值
一、平均数的意义和种类
平均数(average)是数据的代表值，表示资料中 观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与 另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情 况。 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均 数主要包括有： 1. 算术平均数（arithmetic mean） 2. 中位数（median） 3. 众数（mode） 4. 几何平均数（geometric mean） 5. 调和平均数（harmonic mean）
6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。
注意：必须性状同质时，
x
才有代表性。
S
AY 100 400 500
S·AY 10000 200000 200000 410000
S 900 600 500 2000
AY 160 500 600
S·AY 144000 300000 300000 744000
H 1
1 n 1 (x 1 1 x2
x1n )

1 n

1
1 x
（4.6）
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
二、算术平均数的计算方法
算术平均数可根据样本大小及分组情况而
采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于未经分组资料平均数的计算。
1、算术平均数
算术平均数: 一个数量资料中各个观察值的总和
除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数
(arithmetic mean)，记作 察值。
1 2 3 4 5 6 7 14
。因其应用广泛，常简称
平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均数 = 5
平均数 = 6
2、中位数
中位数: 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察 值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间 两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时， 中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料， 先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个 数（ n为偶数），之后求平均即可。
第三章 平均数、标准 差和变异系数
平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观 测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数 （variation coefficient）反映资料的离散性，即 观测值分散变异的性质。
第一节 平均数
一、平均数的意义和种类 二、算术平均数的计算方法 三、算术平均数的重要特性 四、算术平均数的作用 五、总体平均数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
众数 = 9
没有众数
4、几何平均数
几何平均数: 如有n个观察值，其相乘积开n次方 ，即为几何平均数(geometric mean)，用G代表。 其计算公式如下：
G n x1 x2 x3 xn ( x1 x2 x3 xn )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
中位数= 5
中位数= 5
3、众数
众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称
为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即
为众数。
众数可能不存在 可能有多个众数 多用于属性数据
山Fra Baidu bibliotek 丘陵 平地
Σ
100 500 400 1000
x
410000/1000=410
744000/2000=372
的平均数，那么全部n1＋n2个值的算术平均数是
（加权平均数）
3、样本各观测值与平均数之差的和为零， 即离均差之和等于零。
( xi x ) 0
i 1
n
或简写成
(x
x) 0
4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小， 即离均差平方和为最小。 （常数 ）
或简写为：
5、若A为任意常数，
f1x1 f 2 x2 f k xk x f1 f 2 f k
fi xi fx i 1 k f fi
i 1
（4.2）
式中： xi -第i 组的组中值； fi -第i组的次数；k -分组数
第i组的次数 fi 是权衡第i组组中值 xi 在资料中所占 比重大小的数量，因此将 fi 称为是 xi 的“权”，加权 法也由此而得名。
1 n
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加
除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，
即：
1 G lg [ (lg x1 lg x2 lg xn )] n
1
5、调和平均数
调和平均数:（harmonic mean）各观测 值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均 数，记为H。即
由于 Σx = 500 + 520 + 535 + 560 + 585
= 5285， n =10 得：
+ 600 + 480 + 510 + 505 + 490
x 5285 ∑ x 528.5(mg) n 10
即 10只害虫的平均体重为528.5 mg。
（二）加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料，可以 在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算 公式为： k