哈尔滨工业大学研究生湍流力学复习题

1 f (r , t ) （5） g (r , t ) f (r , t ) r 2 r
9、 请根据 Kolmogorov 假设，画图解释说明湍流旋涡的主要分区，并给出各个分区的分 界尺度与湍流特征尺度的关系？ Kolmogorov 局部各向同性假设：在充分高 Re 数条件下，小尺度旋涡的运动（l <<l0）为统 计上各向同性。引入 lEI 作为分界线，区分各向同性旋涡和各向异性旋涡。 lEI ≈l0/6 存在能量的传递和耗散，ε=TEI。 Kolmogorov 第一相似性假设：在充分高 Re 数条件下，最小尺度旋涡具有通用的形式，唯 一决定于 ε，ν。 在 l< lEI 区域称为通用平衡区。 利用量纲分析的方法可得特性尺度， 利用耗散率通过对比知： 在高 Re 数下，最小旋涡尺度远远小于大尺度旋涡。 Kolmogorov 第二相似性假设：在充分高 Re 数条件下，存在具有特征尺度 l 的旋涡（η <<l <<l0 ），其统计特性具有通用形式，并只决定于 ε，与 ν 无关。 定义 lDI，lDI=60η 惯性子区（ lDI < l < lEI ），粘性耗散可忽略 耗散子区（ l < lDI ），粘性耗散起作用
出现U V的实验次数 所有实验次数
dF (V ) 。 dV
表征意义：样本空间内单位长度上随机变量概率大小，其量纲为随机变量量纲倒数。 PDF 的性质： 1．f(V)是非负函数，即 f(V)≥0； 2．

f (V )dV 1
3．f(-∞)=f(∞)=0 对于具有两个相同 PDF 函数的随机变量，被认为是统计上相等。 3、 湍流产生的原因和其随机特性本质的来源？ 湍流产生来源：湍流产生于高速流动时流体粘性力造成的涡，涡的形成、发展和迁移是其 产生的根本原因。随着 Re 增加，流动在不同边界条件作用下，由于其方程固有特性，失去 对称性。 湍流随机特性本质的来源：1.在任何湍流流动中不可避免存在小的摄动，主要存在于初始条 件、边界条件和物性参数里。2.湍流场特性表现为对这些摄动很强的敏感性。在高雷诺数下 流动体系高度敏感于小的摄动。 4、 请给出统计静止湍流、统计均匀湍流和各向同性湍流的定义？

(n)


( n)



(n)


( n)
x, t ( n ) 所有 N 点 PDF 统计量不变。

统计均匀湍流： 如果任意 n 点空间几何构形在空间坐标系平移后， 脉动速度任意 n 阶统计相 关函数不变（或任意 n 点联合概率密度不变），则称湍流流场是均匀。即只要脉动速度场
u x, t 为统计均匀即可。
E1(n)为湍流脉动在 n 与 n+dn 频率之间对脉动速度方差的贡献量。 Taylor 冻结流假设成立，由于 f(x1)=ρE(t)，且 x1 U1t ，得
f ( x1 )

1 u
2 1
0
dn E1 (n) cos(
2 nx1 U1
) ， E1 (n)
4u12 U1


0
模拟式？ 湍流动能方程的精确输运方程：
k 方程中各项依次为：时间导数项、对流项 Ck、扩散项 Dk、产生项 Pk、耗散项 ε。 1．湍动能能产生项——由雷诺应力与均流速度梯度相互作用而产生，产生项定量描述了均 流能量向湍流能量转化。在均流动能方程中有与其大小相等，符号相反项。 2．湍流扩散项——湍流能流扩散率梯度项，由三部分构成，湍流涡团输运、压力脉动输运、 分子热运动输运。 3．耗散项——在湍流能量传递和转化过程中湍流动能消耗速率。 代数模型： T x, y
T

1 ti T i
r U1
f (r )
u1 ( x1 )u1 x1 r u12
0

u1 (t )u1 t u12
E ( )
积分长度 L11 f (r )dr U1

2

0
E ( )d U1 TE
2
Taylor 微尺度 λg 与 Eular 耗散时间尺度 τE 的关系：
E k , t Pk k , t Tk (k , t ) 2 k 2 E (k , t ) t k
右侧第一项—能谱产生项，由于外界引入均流速度梯度引起，是各向异性项，所有各向异性 均在含能涡中。 右侧第二项—能谱输运速率项，是由能量在波数小于 k 部分向波数大于 k 部分传递速率， 称为输运谱函数。 右侧第三项—为耗散谱函数。湍流能量耗散速率和各波数能量密度分量贡献与 k2 权因子积 分相等，这就使湍流总粘性耗散主要由高波分量，即小尺度涡决定。这部分涡只包含总能量 中微不足道的份额，但却承担了全部粘性耗散，把湍流动能转化为热能。 13、 请推出湍流中质点扩散位移的计算公式，并给出长时间扩散和短时间扩散质点扩散位 移与扩散时间的关系和意义？ 令 u2(t)为一流体质点在 x2 方向上的湍流速度，在 t 时刻以后，这一质点沿 x2 方向经过的距 离可写为 y2 (t ) y2 (0)
2 湍流剪切流中： uv / k 0.5 3
11、 请给出频率空间内一维能谱函数的定义和物理意义， 请推导一维能谱函数在频率 n→0 时与积分尺度 TE、Λf 的关系？ 一维能谱函数： E1 (n) 2 2 IT (n) / T
2
u12 E1 (n)dn
0

dt u (t )
0 2
t
令 y2(0)=0，在时空均匀流场假设条件下，只有在 x2 方向上有扩散的情况，则可得到起始时 刻 t0 的质点经 t 时刻后的位移为
2 1 2 f 2 2E r t U1 1
2 g

U
1
E
2
2g U1 E
2
7、
TE g E L11
写出湍流动能方程的精确输运方程，解释各项物理意义，并给出未封闭项模拟方法和
Dk k U k T Pk Dt t
如果已知湍流粘性系数 νT 分布，雷诺平均动量方程封闭可解。可利用湍流特征速度和特征 尺度求 νT 。 T u*l * 本征假设（雷诺应力的各向异性张量决定于速度梯度）的不足： 本征假设通常下并不存在，只能为近似关系。 对于湍流剪切流，其时间尺度 k/ε 与平均剪切时间尺度 S-1 的比值较大。 因此，湍流不能迅速响应均流剪切率。湍流粘性系数假设（即湍流各向异性张量与局部变形 率确定）并不一定成立。 特征假设（雷诺应力各向异性张量与速度变形率呈线性，比例系数为湍流粘性系数）的不 足： 对湍流剪切流，各向异性和各向同性的比值较大，变形率较大，线性条件并不成立。
2 R22 / u2 g (r , t ) u2 x e1r , t u2 x, t / u2
对于各向同性流场，在 r e1r ， 纵向相关系数 f (r ) 横向相关系数 g (r )
R22 R33 , Rij 0, i j
其中 u 为脉动速度的标准方差. 在均匀各向同性流场内，两种相关系数的特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2）|g(r)|≤1 , |f(r)|≤1 （3）g(r)=g(-r)，对称性 （4）g(∞)= f(∞)=0 因为相隔无穷远距离两点的脉动速度完全不相关。
U0 x x RT
2 混合长度模型： t lm
U y
单方程模型： T ck1/2lm ， CD k 3/2 / lm
u k-ε 双方程模型： T C k / ， v i x j
2

2
ε 模型方程： 8、
P D 2 T C 1 k C 2 Dt k k
1、
请给出湍流定义和湍流流动主要特点？
定义：湍流是一种流动的状态，当雷诺数超过某一临界值时流动会从层流转变为湍流。这种 流动状态显示出空间和时间上的不规则性和随机性， 具有大量的不同尺度的涡结构， 具有特 殊的耗散特性。 特点：湍流被大含能涡主导，具有很强湍流扩散能力和较大湍流应力；湍流涡存在使得其特 性参数不能由当地参数确定，其特性与大涡历史行程有较大关系；旋涡之间发生能量传递， 其耗散速度受小涡从大涡接受能量速率控制。 2、 请给出概率密度函数和累积概率函数的定义，解释其表征意义是什么？ 累计概率函数（CDF）：随机变量小于某个数值的概率：F(V)=P{U<V}。 表征意义：任何一个事件的概率，随机变量 U 小于某个数值 V 的概率。当规定全系综的测 度等于 1 时，一切随机变量 U 小于 V 的事件的测度，即 F (V) 性质： 1．F(V)是小于等于 1 的正值函数，即 0≤ F(V) ≤1； 2．F(V)是递增函数，即 F(Vb)≥F(Va), 当 Vb>Va ； P(C)=P{Va≤U<Vb}=P{U<Vb}-P{U<Va}=F(Vb)-F(Va)≥0 3．F(-∞)=0，不可能事件；F(∞)=1，确定性事件 概率密度函数（PDF）：PDF 可以由累积函数给出， f (V )
各向同性湍流：如果任意 n 点空间几何构形在空间坐标系平移、转动和对称后，脉动速度 任意 n 阶统计相关函数不变（或任意 n 点联合概率密度不变），则湍流流场是各向同性。 5、 画图说明由随机变量的实测值如何计算出其概率密度函数？ 实验中求取某一随机变量概率密度函数的算法， 利用在 ΔV 范围内试验曲线所占有的时间份 额来计算，如 f (V )V lim T——测量时间 6、 Taylor 冻结流假设基本思想是什么？利用此假设推导积分尺 L11 和积分时间尺度 TE 以 及 Taylor 微尺度 λg 与 Eular 耗散时间尺度 τE 之间关系？ Taylor 冻结流假设：均匀湍流场内有一常数平均速度<U1>，假定 U1 u1 ，则在流场内一 固定空间点上所观测到 u1(t)随时间变化情况，可以近似的看成是沿着过此点的 x1 方向的直 线上分布的速度空间变化，设想被冻结起来，以平均速度<U1>移过此点形成。 积分尺 L11 和积分时间尺度 TE 的关系：
统计静止：当时间平移任意时间间隔 T 后， x , t ( n ) 变成 x , t ( n ) T 所有 N 点 PDF 统计 量不变。 统计静止湍流： 如果任意 n 点空间几何构形在时间平移任意时间间隔 T 后， 脉动速度任意 n 阶统计相关函数不变（或任意 n 点联合概率密度不变），则称湍流流场是静止。即只要脉动 速度场 u x, t 为统计静止即可。 统计均匀：当 x , t ( n ) 变成 x
1）含能区：l EI< l <L 含能尺度
l Eห้องสมุดไป่ตู้≈l0/6
l0 大尺度涡的下限
2）通用平衡区：惯性子区 lDI<l <lEI ；耗散子区 l < lDI 10、 从本证假设和特征假设方面，给出湍流粘性系数模型中主要不足和原因？ 湍流粘性系数模型：
Uj Ui 2 ui u j k ij T ( ) 3 x j xi
纵向相关系数和横向相关系数的定义式和推导说明其四个特点？
对于各向同性湍流，两点相关表示为 Rij (r , t ) ui x r , t u j x, t 在原点 r=0
Rij (0, t ) ui u j R11 / u2 f (r , t ) u1 x e1r , t u1 x, t / u12
dx1 f ( x1 ) cos(
2 nx1 U1
)
当 n→0 时，有
lim
n 0
1 u
2 1
E1 (n) 4 dt E (t ) 4TE
0

lim
n 0
1 u12
E1 (n)
4 4 dx1 f ( x1 ) f 0 U1 U1
12、 请给出均匀湍流中能谱平衡方程，并给出方程中各项物理意义？ 对于均匀湍流，可推出能谱平衡方程：