图论4最短路问题

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可以利用上面定义的运算求任意两点间的最短距离。
已知n阶加权简单图G，设D＝(dij)m×n 是图G的边权矩阵，
即dij＝ω(i,j)(若G是有向图，则dij＝ω<i,j>),若结点i到结
点 j无边相连时，则取dij＝∞。然后依次计算出矩阵D[2], D[3],…, D[n]及S
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7.4.2 Floyd算法

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7.4.2 Floyd算法

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如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若 i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。通过这个 距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短路径找出来。 【分析】 对于任何一个城市而言，i 到 j 的最短距离不外乎存在经过 i 与 j 之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n 是城市的数目)，检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；d(ik)与d(kj)分别是目 前为止所知道的 i 到 k 与 k 到 j 的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是 i 到 j 经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从 i 出 发经过 k 再到j的距离要比原来的 i 到 j 距离短，自然把i到j的d(ij) 重写为d(ik)+d(kj)<这里就是动态规划中的决策>，每当一个k查完 了，d(ij)就是目前的 i 到 j 的最短距离。重复这一过程，最后当查 完所有的k时，d(ij)里面存放的就是 i 到 j 之间的最短距离了<这就 是动态规划中的记忆化搜索>。
1
用Dijkstra算法求a和z之间最短 路所用的步骤。
L(b)＋ω (b,z)＝3＋∞＝∞ L(d)＝8，L(e)＝12，L(z)＝∞ 4次 迭 代 u＝d，S＝{a,c,b,d} L(d)＋ω (d,e)＝8＋2＝10＜L(e) L(d)＋ω (d,z)＝8＋6＝14＜L(z) L(e)＝10，L(z)＝14 5次 迭 代 结 束 u＝e，S＝{a,c,b,d,e} L(e)＋ω (e,z)＝10＋3＝13＜L(z) L(z)＝13 u＝z，S＝{a,c,b,d,e,z} 从a到z的最短路的长度为13。
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7.4 .1 Dijkstra算法
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图) {G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞} for i:＝1 to n dij L(vi)＝∞
L(a):＝0 S:＝ （初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}

4
例一位旅客要从A城到B城
1. 2. 3.
他希望选择一条途中中转次数最少的路线； 他希望选择一条途中所花时间最短的路线； 他希望选择一条途中费用最小的路线；
这些问题均是带权图上的最短路径问题。
100
v5
30
60
v0
10
v4
10 20
v1
5
50
v3
1. 边上的权表示一站 2. 边上的权代表距离 3. 边的权代表费用
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7.4 .1 Dijkstra算法

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Dijkstra算法要求图上的权是非负数，否则 结果不正确；
Dijkstra算法同样适用于无向图，此时一个 无向边次相当于两个有向边。 利用求最短路的方法求最长路。由于存在 负权（求最长路和负权等价），所以在这 里Dijkstra算法不适用了，必须采用Floyd算 法--动态规划算法 Floyd算法的功能是通过一个图的权值矩阵 求出它的每两点间的最短路径矩阵.
[带权路径长度] 对上述网络，路径 v1, v2 , … ,vk 的带权路径长度定义为
d wi ,i 1
i 1
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k 1
7.4 最短路问题
最短路问题在实际工作中应用
1、通讯网络中最可靠问题 2、最大容量问题
3
3、统筹方法中求关键路线
4、背包问题 5、选址问题
6、工件加工顺序问题

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Dijkstra算法只求出图中一个特定的顶点到其他各定点的最短 路。但在许多实际问题中，需求出任意两点之间的最短路， 如全国各城市之间最短的航线，选址问题等。当然，要求出 一个图的任意两点间的最短距路，只需将图中每一个顶点依 次视为始点，然后用Dijkstra算法就可以了。 Dijkstra算法在物流配送中的应用 OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。
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7.4 .1 Dijkstra算法

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下面给出该算法的框图：
通过框图，容易计算该算法计算量 f ( p, q) ( p
2பைடு நூலகம்
)
。
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7.4 .1 Dijkstra算法
下面通过一个实例来说明Dijkstra算法是如何工作的。 ∞
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7.4 .1 Dijkstra算法
2. 判结束：令 S(m+1) S(m) {vk}, S(m+1) S(m) {vk} 若 m = n1，结束。 3. 修改临时标号：对所有vjS(m+1) ，令 uj(m+1) =min{uj(m) , uk(m)+dkj}，m m+1；转1。
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7.4 .1 Dijkstra算法
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while z S begin
u:＝不属于S的L(u)最小的一个顶点 S:＝S∪{u}
for 所有不属于S的顶点v if L(u)＋ω(u,v)＜L(v) then L(v):＝L(u)＋ω(u,v) {这样就给S中添加带最小标记的顶点并且更新不在S中的顶点的标记} end{L(z)＝从a到z的最短长度}
7、中国邮递员问题 背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。 问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价 格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格 最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包 中。
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7.4 最短路问题
v2
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7.4 最短路问题
Dijkstra算法 Floyd算法 Floyd-Warshall算法

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7.4 最短路问题

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Dijkstra算法
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉 （Dijkstra）于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。 是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向 图中最短路径问题。 荷兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra(1930-) 在1972年 获得美国计算机协会授予的图灵奖，这是计算机科学中最具 声望的奖项之一。 Dijkstra算法是求出一个连通加权简单图中从结点a到结 点z的最短路。边(i,j)的权ω(i,j)＞0，且结点x的标号为L(x)。 结束时，L(z)是从a到z的最短长度。 举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表 示城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个 城市之间的最短路径。
u＝b，S＝{a,c,b} L(b)＋ω (b,d)＝3＋5＝8＜L(d) L(b)＋ω (b,e)＝3＋∞＝∞
7.4 .1 Dijkstra算法

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Dijkstra算法(另外一种说明)
求有向网络 G=(V, A) 中结点v1 到其它结点的最短距离。 设D为G的距离矩阵，n=|V|，向量U=(u1, u2, …, un)的ui 标记结点v1到vi 的距离。 S为已取得最短路的结点集合，其中每个结点在U中有 固定标号标记取得的最短路的长度；S为未取得最短路的结 点集合，其中每个结点在U中有临时标号。
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2次 迭代
u＝c，S＝{a,c} L(c)＋ω (c,b)＝2＋1＝3＜L(b) L(c)＋ω (c,d)＝2＋8＝10＜L(d) L(c)＋ω (c,e)＝2＋10＝12＜L(e) L(c)＋ω (c,z)＝2＋∞＝∞ L(b)＝3，L(d)＝10，L(e)＝12，L(z) ＝∞
3次 迭代

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7.4.2 Floyd算法
定义7.4.1:已知矩阵A＝(aij)m×l，B＝(bjk)l×n，规定C＝A*B ＝(cij)m×n，其中cij＝min(ai1＋b1j, ai2＋b2j, …, ail＋blj) 定义7.4.2已知矩阵A＝(aij)m×n，B＝(bij)m×n，规定D＝A B ＝(dij)m×n，其中dij＝min(aij,bij)
7.4 最短路问题

1
一、问题的提出
(G )
赋权图（网络）： G=(V, E) 中，给每条边 a=<vi,
vj> 赋予一个非负实数权 wij ，得到一个有向 网络
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7.4 最短路问题

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路径
路径长度
非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
[距离矩阵] 对上述网络，定义 D=(dij)nn，n=|V| dij = wij 当<vi, vj> E 其它
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7.4 .1 Dijkstra算法
0. 初始化：u1(1) 0，uj(1) d1j ( j =2,3,…,n) S(1) {v1}，S(1) {v2 , v3 , … , vn}，m=1;
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1. 选固定标号：在S(m)中求vk，使得 uk(m) =min{uj(m) | vjS(m)}。 若 uk(m) =，则S(m)中的结点无最短路径； 否则转2。