高三数列列项求和与放缩法专题

（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++

基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等

差，分别求奇数项通项，偶数项通项。

例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____．

(2)积型：)(1n f a a n n =⋅+

基本思路是，由)(1n f a a n n =⋅+，得)1(21+=⋅++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反．

例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n

n n a a )2

1(1=⋅+，则数列}{n a 的通项公式为________．

特别地：

(1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。

递推公式为：⎩⎨⎧=+=+c a a a

a n n 1

1 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

数项也相等．

(2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。

递推公式为：⎩⎨⎧=⋅=+p b b b

b n

n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶

数项也相等．

9.周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例如：已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______.

10.取对数法

形如r

n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

11.换元法：适用于含有根式递推关系式

类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例如.已知数列}{n a 中，111

(14116

n n a a a +=++=，，求数列}{n a 的通项公式.

练习：

1.数列{}n a 满足01=a ，n a a n n 21=++，则数列{}n a 的通项公式为_________.

2.数列{}n a 中，若31=a ，)(*1N n a a n n ∈=+，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.

3.若数列{}n a 满足⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<≤-≤≤=+)

121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2014a 的值为___________。

4.在数列}{n a 中，12211,5,n n n a a a a a ++===-，则1998a 的值为___________。

5.已知数列}{n a 满足：11=a ，543221+++=+n n a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.

总结：形如)001(21≠≠+++=+a p c bn an pa a n n ，，解法： 利用待定系数法构造等比数列，令2

21(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，

与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为

{}2n

a

xn yn c +++是公比为p 的等比数列。

6.已知数列}{n a 满足：11=a ，3221++=-n n n a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.

7.已知数列}{n a 满足：21=a ，*

N n ∈∀，0>n a ， 且0)1(2

112=-++++n n n n na a a a n ，则数列{}n a

的通项公式=n a ________.

总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得a n . 8.已知在各项均不为零的数列}{n a 中，11=a ，)(02*

11N n a a a a n n n n ∈=-+++. （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .

总结：数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

9.已知数列}{n a 满足2

2221

3221n

a a a a n n =

++++- ，*N n ∈. （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前项和n S .

10.已知数列}{n a 满足：11=a ，2

1

41+=++n a a n n ，*N n ∈. （Ⅰ）证明数列}{12-n a 为等差数列；

（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S .

11.已知数列}{n a 满足：c a =1，)1(12*1N n c a a n n ∈≠+=+，，记数列}{n a 的前n 项和为n S .

（Ⅰ）令1-=n n a b ，证明：数列}{n b 是等比数列；

（Ⅱ）求最小的实数c ，使得对任意*

N n ∈，都有3≥n S 成立.