“一名一角”在三角函数经典题型中的应用

屮孝生皋理化解题篇经典题突破方法

高考数学2019年1月

■啊■!!

隹三話数亘典题竝中品用

■河南省沈丘县第一高级中学孙鹏飞

纵观近5年的高考试题，对三角函数的考査主要围绕三角函数的图像及其变换，三角函数的图像与性质。考题多以中档难度岀现，有时也会以解答题形式进行考查，不仅要求考生熟练掌握三角函数的图像与性质，还要求考生注意三角恒等变换，切割化弦，名称不同化同名，角不同化同角，降幕等，最终化成；y=A sin（ojjr+甲）+&-,y=A.cos（udjc+甲）+h,夕=A tan（sr+卩）+怡型，简称"一名一-角”。利用整体代换、数形结合、化归转化等数学思想方法，在解题时明方向、巧转化、化繁为简，达到事半功倍的效果。

三角函数的周期

捌I函数/（工）=（＞/^sin工+cos工）•（73cos—sin工）的最小正周期是（）。

A.今

B.7T

C.Y

D.2tt

解法一：因为/X h）=（箱sin工+cos工）•（a/^~cos x—sin H）=3sin jc cos oc~F a/T cos2jt一a/T sin"jc—sin jc cos jc=sin2«r+y^cos2工= 2sin（2_r+专），所以丁=警=兀。故选B o

解法二：因为/(J：)=(a/3^sin jc+cos jc)•(>/3^cos x一sin jc)=4

cos JC+=2sin(2jr+于)，所以T=-^

f)7Co 故选B o

方法技巧：函数y=A sin（wjc+°）+&或y—A cos（tjujc+卩）+上的最小正周期是丁=耐，函数y=AtanS+卩）+人的周期

I3

二、三角函数的奇偶性

侧2已知函数/（^）=sin（jr+箱cos（h+0）,0W［—今，今］是偶函数，则0

的值是（）。

A.0B.—

6

C工D-

43

解析：由辅助角公式，把/（^）=sin（x+ 0）+屈cos（工+。）化成f（工）= 2sin

若函数/'（乂〉为偶函数，则5+y=y+

kn,k&z.即&=手+smwz,结合9e

6

'今］令b=0,所以°=晋。故选B。

归纳感悟：（1）在三角函数中，判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y=A sin wjt或y=A tan tjujc的形式，而偶函数一般可化为y=Acos vujc+b的形式。

（2）已知函数的奇偶性求参数时，充分利用三角函数的性质化归到y=sin j:,y= cos j?,3/=tan x简单函数模型上去。对于》=Asin（sH+卩），若为奇函数，贝」（p=kn, &WZ；若为偶函数，则甲=今+—对于y=A cos（3乂+卩），若为奇函数，则（p=

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解题篇经典题突破方法高考数学2019年1月样生浚浬化

今+g A W Z ；若为偶函数.则v = kit, AWZ 。对于y = A tan （ wjt +卩），若为奇函 b -rr

数，则（p — ,怡 W Z 。

三、三角函数的单调性

伸1孑已知函数f （H ）= 4tan x •

（1） 求于（工）的定义域与最小正周期；（2） 讨论于（工）在区间［一计，于］上的单

调性。

分析：将函数f 5 ）化简为十（工）=

A sin （ tujc +卩）+上，'‘一名一角"的形式后，利 用整体换元思想及正弦函数的单调性求函数

八工）的单调区间，结合讣一（一于）=守v

丁，得函数八工）在区间［-于，于］上的单 调性。

解：（1）函数f （工）的定义域为

｛工|工工今+ «穴,上 Wz ］。

因为sin （今一工）=cos 工，所以=/ （ ）

设 A =

［—于冷｝ B =

|—+ = = + 易 知

ACB=卜誇冷］。

所以，当［一于’于］时，/"）在区间

7T

7

上是单调递增函数.在区间

上是单调递减函数。

归纳感悟：（1）求函数的单调区间应遵循

简化原则，将函数解析式化成“一名一角”，并 注意复合函数的单调性规律“同增异减”。

（2）求形如 j> = Asin （wjr + ^>） +上或，=

A cos （ wjt +申）+丘的单调区间，要视3工+ （p

为一个整体，通过解不等式求解•如果w<0,

借助诱导公式将w 化为正数。

（3）已知三角函数的单调区间求参数时， 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的 关系求解。

15*1 4 若函数 f (.x') — cos x — sin jc 在

函数［一0,幻上是减函数，则R 的最大值是

（ ）。

4tan hcos jc cos

7T

—屈=4sin x

cos

G —才)—\/3~= 4 sin x (^-cos x +

/3 . -^-sin jc

—a /3~ = sin 2j : + 2 晅 sin 2 jc

73 = sin 2jc + 2a /3 X 1 ~C |^- —-^/3 = sin 2工

分析：先确定三角函数的单调减区间，再

根据集合的包含关系确定函数的最大值。

解：因为 f （工）=cos JC — sin x =

\［2 cos （工+于），由0 + 2上穴=工+中=兀+

—cos 2 x — 2sin （2jc ----）。

所以/（小的最小正周期为丁=竽=心

（2）令 z = 2jc ---，函数 y = 2sin z 的单

调递增区间是［— +2代穴,今+ 2上穴］，上W Z 。

由---+2"W 2工 V专• + 2及7T ,得

—

—£ +上穴WhW 密+代穴，& W Z 。2""WZ).得一于+ 2—三乂€才 + 2"（^ez ）o

因此E-«,a ］CZ ［-讣，乎］所以一QV

a ,—aN ,aW 甞,所以OVaW 手,从而Q

4 4 4的最大值为于。故选A 。

归纳感悟：函数y=A sin （ sr +卩）+ B

（A>0,o>>0）的性质：

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