九年级数学专题复习---探索开放性问题.docx

初三数学专题复习…探索开放性问题

知识要点：

开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题。对于条件开放与探索问题，要善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；

对于结论开放与探索问题，包扌舌相应的结论的“存在性”问题，解决这类问题的关键是充分利用条件进行大胆而合理的推理、猜想，发现规律，得出结论，主要考查发散性思维和所学基础知识的应用能力；

策略开放与探索问题，一般是指解题方法不唯一，或解题路径不明确，解答这类题要注意不能墨守成规，要善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

注意：复习中要对各种题型进行针对性练习，优选各地中考试题，强化训练。善于类比、联想、转化等数学思想方法的应用，提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作的能力。

例题分析：

1.若a、b是无理数且a+b=2,则n, b的值可以是____________ .（填上一组满足条件的值即可）

分析与解答：这是一个条件开放题，山于题中只有一个关系式，因此只要先确定，其中一个无理数的大小，另一个也随z确定，木题答案不唯一，如・=Ab=2-^

2.如图：在厶ABC和ADEF中，AB=DE, ZB=ZE,要使△ ABC A DEF,需要补充的一

个条件是_____ •

分析与解答：木题考查全等三角形的判定及分析问题能力和逻辑推理能力，已知一边一角对应相等，可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等。

如1： BC=EF（或ZA二ZD 或ZC=ZF）

3.已知两条抛物线y=X2+2X-3和y=2x2+x-3,请至少写出三条它们的共同特点：

分析与解答：本题是结论开放性问题，考査二次函数的图彖、性质及发散思维、归纳探索的能力，所以可以从两函数图象特征（开口方向，对称轴，顶点）及两函数图象交点与坐标轴交点等

方面入手。

(1)开口方向都向上；

(2)都过点(1, 0), (0,・3)；

(3)对称轴都在y轴左侧；

(4)都有最小值;

(5)两函数图象的顶点都在第三象限等等。

4.如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A】，A2, A3,……，A10tt 10个点中任意三点

为顶点，其能纽成________ 个等腰直角三角形？

A9 A JQ

Ai A2 A3 A 4

分析与解答：本题考查正方形的性质，等腰岂角三角形定义，轴对称性质，图形计数规律及分析，归纳，探索能力。山图形的轴对称性，先计算出以A|, A2, A5, A9这五个点为直角顶点的等腰直角三角形的个数，然后将结果乘以2即为所求等腰宜角三角形的个数。

解：・・•以A” A2, A5, A6, A9这五个点为直角顶点的等腰直角三角形有1+3+1+6+2= 13(个), 山轴对称性可知，在整个图形中共有13x2=26个等腰直角三角形。

5.如图，正厶ABC内接于OO, P是BC 上任一点，PA交BC于点E,则以下结论:

丄=2十丄

(l)_________________________________________________________________ PA=PB+ BC；⑵“ PB PC；⑶PA・PE=PB・PC；其中正确结论的序号____________________________

分析与解答：木题考查三角形和圆的有关性质，延长BP到F,使BF=PA,易证：ABCF竺AACP,从而APCF是等边三角形，可证得结论(1)成立，则结论⑵不成立，再证：APAB S A PCE可知结论(3)成立，从而正确结论序号(1), (3)

6.在平面内确定四个点，连结每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，口每两点之间的线段长只有两个数值，如图

图中相等线段冇：AB=BC=CD=AD, AC=BD

请你再画出满足题目条件的三个图形，并指出每个图形中相等的线段。

分析与解答:本题是一道以方案设计为背景的开放性问题,考査等腰三角形定义及动手操作, 分析问题及创新能力。从题日的条件和要求上，可以从平面上的四点构成六条线段入手。分别设 计五条、四条、三条、两条分别相等线段的情形。

本题答案不唯一，如：

其中(1 )AB=BC=CD=AD=BD, AC=AC

(2) AB=AC=AD=BD, BC=DC

(3) AB=BC=AC, AD=BD=CD

(4) AB=AD=CD, AC=BC=BD

(5) AB=AC, AD=BC=BD=CD

7. 如图1,在ZkABC 中(AB>AC),若直线AD 平分ZBAC 且与AABC 的外接圆相交于点E, 交BC 边于点D.

D B

(1)

A A

⑷ ⑸

⑴求证：AB AC 二AD AE ；

(2)若把题中的条件“直线AD 平分ZBAC”改为“宜线AD 平分ZBAC 的外角"，如图2,那么

(1)中结论是否仍成立？请说明理山。

分析与解答：本题是存在性问题，考査直线和圆的有关知识及推理探索能力。

可以从已知条件出发，结合定义、定理，对AB AC 与AD ・AE 的关系进行推理： 要证等积式，需证比例式四条线段所在三角形是否相似。

⑴连结 BE 则ZE=ZC, XZBAE=ZDAC,

A AABE^AADC

AB AE

Q AC ••• AB ・ AC 二AD ・ AE ；

⑵⑴中结论仍成立

连结BE, •・•四边形AEBC 内接于OO

/.ZE=ZACD

XVZBAE=ZCAD

AAABE^AADC

AB AE r.——=—— AD AC

•••AB ・AC=AE ・AD ・ 图1

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